2009届高三数学二轮专题复习教案――数列人教版

2009届高三数学二轮专题复习教学设计――数列一、本章知识结构：二、要点知识回首１．数列的观点及表示方法（１）定义：依据必定次序摆列着的一列数．（２）表示方法：列表法、分析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限仍是无穷分为有穷数列和无量数列；按项与项之间的大小关系可分为单一数列、摇动数列和常数列．（４）an与Sn的关系：anS1(n1)Sn．Sn1(n≥2)2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．（２）递推公式：an1andan1an·qq0nN．（３）通项公式：ana1(n1)dana1qn1nN．（４）性质等差数列的主要性质：①单一性：d≥0时为递加数列，d≤0时为递减数列，d0时为常数列．②若mnpq，则amanapaq(mnpqN)．特别地，当mn2p，，，时，有aman2ap．③anam(nm)d(mnN)．SkS2kSkS3kS2k成等差数列．等比数列的主要性质：a1，a10a1，a10①单一性：当00或时，为递加数列；当，或时，为0q1q1q，0q11递减数列；当q0时，为摇动数列；当q1时，为常数列．②若mnpq，则am·anap·aqmnpqN)．特别地，若mn2p，(，，，则am·anap2．③anqnm(m，nN，q0)．am④Sk，S2kSk，S3kS2k，，当q1时为等比数列；当q1时，若k为偶数，不是等比数列．若k为奇数，是公比为1的等比数列．三、考点分析考点一：等差、等比数列的观点与性质例1.（2008深圳模拟）已知数列{an}的前n项和Sn12nn2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn.解：（1）当n1时,a1S11211211；、当n2时,anSnSn1(12nn2)[12(n1)(n1)2]132n.，a111也切合132n的形式.所以,数列{an}的通项公式为an132n.、（2）令an132n0,又nN*,解得n6.n2；当n6时,Tn|a1||a2||an|a1a2anSn12n当n6时,Tn|a1||a2||a6||a7||an|综上，Tn12nn2,n6,n212n72,n6.评论：本题考察了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时状况，在解题时常常会忘掉。第二问要分状况议论，表现了分类议论的数学思想．nn，3，225.例２、（2008广东双合中学）已知等差数列{a}的前n项和为S且a5S15数列{b}是等比数列，baa,bb128（此中n1,2,3,）.n32325（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；（II）记cnanbn,求数列{cn}前n项和Tn.解：（I）公差为d，a12d5,a11,故an2n1(n1,2,3,).则157d225,d2,15a1b38,设等比数列{bn}的公比为q，则b3b3q2128,b38,q2.qbnb3qn32n(n1,2,3,).（II）cn(21)2n,Tn2322523(2n1)2n,n作差：Tn22324252n1(2n1)2n1Tn(2n3)2n16(n1,2,3,).评论：本题考察了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特点，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变为此外的一个式子，表现了数学的转变思想。考点二：求数列的通项与乞降例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：依据以上摆列的规律，第n行（n13个数为3）从左向右的第232456n个，所以第n解：前n－1行共有正整数行第3个1＋2＋＋（n－1）个，即n7891021112131415n22n6．数是全体正整数中第2n＋3个，即为n2评论：本小题考察概括推理和等差数列乞降公式，难点在于求出数列的通项，解决本题需要必定的察看能力和逻辑推理能力。例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包括1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会祥瑞物“福娃迎迎”，按相同的方式结构图形，设第n个图形包括f(n)个“福娃迎迎”，则f(5)；f(n)f(n1)＿＿＿＿解：第1个图个数：1第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，所以，f（５）＝４１f(2)-f(1)=４，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６评论：由特别到一般，考察逻辑概括能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时求数列的通项公式，能够转变递推公式来求解，表现了转变与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列an的首项为a11，公比q知足30q1。又已知a1，5a3，9a5成等差数列。1）求数列an的通项（2）令bn11111log3an，求证：对于随意nN，都有...2b1b2b2b31bnbn1（1）解：∵25a3a19a5∴10a1q2a19a1q4∴9q410q210∵q0q1∴q1∴ana1qn13n311111（2）证明：∵bnlog3anlog33nn，bnbn1n(n1)nn1∴11...111111111b1b2b2b3bnbn1223nn1n1评论：把复杂的问题转变为清楚的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。例６、(2008辽宁理)在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且anbnan1成等差数列，bnan1bn1成等比数列（nN*）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1115．a1b1a2b2anbn12解：（Ⅰ）由条件得2bnanan1an21bnbn1由此可得a26b29a312b316a420b425．猜想ann(n1)bn(n1)2．用数学概括法证明：①当n=1时，由上可得结论建立．②假定当n=k时，结论建立，即akk(k1)bk(k1)2，那么当n=k+1时，a12ba2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，b1ak22(k2)2．kkkkbk所以当=+1时，结论也建立．nk1)2对全部正整数都建立．由①②，可知ann(n1)bn(n（Ⅱ）115．a1b1612n≥2时，由（Ⅰ）知anbn(n1)(2n1)2(n1)n．故11111111a1b1a2b2anbnn(n1)622334综上，原不等式建立．评论：本小题主要考察等差数列，等比数列，数学概括法，不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行概括、总结、推理、论证等能力．例７.（2008安徽理）设数列an知足a00,an1can31c,cN*,此中c为实数（Ⅰ）证明：an[0,1]对随意nN*建立的充分必需条件是c[0,1]；（Ⅱ）设0c1，证明：an1(3c)n1,nN*;3（Ⅲ）设0c1，证明：a12a22an2n12,nN*313c解：(1)必需性：∵a10,∴a21c，又∵a2[0,1],∴01c1，即c[0,1]充分性：设c[0,1]，对nN*用数学概括法证明an[0,1]当n1时，a10[0,1].假定ak[0,1](k1)则ak1cak31cc1c1，且ak1cak31c1c0∴ak1[0,1]，由数学概括法知an[0,1]对全部nN*建立(2)设0c10，结论建立，当n1时，a1当n23时，∵0C1,由（1）知an1[0,1]，所以1an1an213且1an103(3)设0c1，当n1时，a12022，结论建立3(3c)n113c当n2时，由（2）知an10评论：本题是数列、充要条件、数学概括法的知识交汇题，属于难题，复习时应惹起注意，增强训练。考点四：数列与函数、概率等的联系例题８..(2008福建理)已知函数f(x)1x3x22.3（Ⅰ）设{an}是正数构成的数列，前n项和为Sn，此中a1=3.若点(an,an212an1)(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,S）也在y=f′(x)的图象上；n（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.(Ⅰ)证明：由于f(x)1x3x22,所以f′(x)=x2+2x,由点(an,an2312an1)(nN)在函数y=f′(x)的图象上,又an0(nN),所以(an1an)(an1an2)0,所以Sn3nn(n1)2=n22n,又由于f′(n)=n2+2n,所以Snf(n),2故点(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上.(Ⅱ)解:f(x)x22xx(x2),由f(x)0,得x0或x2.当x变化时,f(x)﹑f(x)的变化状况以下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗注意到(a1)a12,进而①当a12a,即2a1时,f(x)的极大值为f(2)2f(x)无极小,此时3值；②当a10a,即0a1时,f(x)的极小值为f(0)2,此时f(x)无极大值；③当a2或1a0或a1时,f(x)既无极大值又无极小值.评论：本小题主要考察函数极值、等差数列等基本知识，考察分类与整合、转变与化归等数学思想方法，考察分析问题和解决问题的能力.例９、（２００７江西理）将一骰子连续投掷三次，它落地时向上的点数挨次成等差数列的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：一骰子连续投掷三次获得的数列共有个，此中为等差数列有三类：（1）公差为0的有

6个；（

2）公差为

1或-1

的有

8个；（3）公差为

2或-2

的有

4个，共有

18个，成等差数列的概率为

，选

B评论：本题是以数列和概率的背景出现，题型新奇而别出心裁，有采纳分类议论，

分类时要做到不遗漏，不重复。考点五：数列与程序框图的联系例１０、（２００９广州天河区模拟）依据以下图的程序框图，将输出的x、y值挨次分别记为x1,x2,,xn,,x2008；y1,y2,,yn,,y2008（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式xn；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；的一个通项公式yn，并证明你的结论;（Ⅲ）求znx1y1x2y2xnyn(xN,n2008)．解：（Ⅰ）由框图，知数列{xn}中，x11,xn1xn2∴xn12(n1)2n1(nN*,n2008)（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想yn3n1(N*,n2008).n证明：由框图，知数列{y}中，y=3y+2nn+1n∴yn113(yn1)∴yn113,y113.yn1∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。n－1n∴yn+1=3·3=3∴yn=3n－1（nN*,n2008）（Ⅲ）zn=x1y1x2y2xnyn=1×（3－1）+3×（32－1）++（2n－1）（3n－1）=1×3+3×32n－[1+3++（2n－1）]++（2n－1）·3记Sn=1×3+3×32++（2n－1）·3n，①231）×3n+1②则3n=1×3+3×3++（2－Sn①－②，得－n23nn+12S=3+2·3+2·3++2·3－（2n－1）·32nn+1=2（3+3++3）－3－（2－1）·3n=2×3(13n)3(2n1)·3n1=3n16(2n1)·3n12(1n)·3n1613∴Sn(n1)·3n13.又1+3++（2n－1）=n2zn(n1)3n13n2(nN*,n2008).评论：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，由于程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应惹起重视。四、方法总结与2009年高考展望（一）方法总结求数列的通项往常有两种题型：一是依据所给的一列数，经过察看求通项；一是依据递推关系式求通项。数列中的不等式问题是高考的难点热门问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩往常有化归等比数列和可裂项的形式。数列是特别的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是简单命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）2009年高考展望数列中Sn与an的关系向来是高考的热门，求数列的通项公式是最为常有的题目，要切实注意Sn与an的关系.对于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“认识递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前几项”。但实质上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考察。探究性问题在数列中考察许多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给予证明.探究性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这种考题既有选择题，填空题，又有解答题；有简单题、中等题，也有难题。乞降问题也是常有的试题，等差数列、等比数列及能够转变为等差、等比数列乞降问题应掌握，还应当掌握一些特别数列的乞降.将数列应用题转变为等差、等比数列问题也是高考取的要点和热门，从本章在高考取所在的分值来看，一年比一年多，并且多着重能力的考察.相关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考察的要点，也是考察的难点。此后在这方面还会表现的更突出。７、数列与程序框图的综合题应惹起高度重视。五、复习建议在进行数列二轮复习时，建议能够详细从以下几个方面着手:1．运用基本量思想(方程思想)解决相关问题；2．注意等差、等比数列的性质的灵巧运用；3．注意等差、等比数列的前n项和的特点在解题中