高二数学必修数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结

1(q1(q数

列

求

通

项

与

求

和

常

用

方

法

归

纳一、知要点1求通项公式方法：(1)观察法：找项与项数的关系然后猜想检验，即得通项公式；(2)利用前项和与通项的关系＝

n＝n

，；(3)公式法：利用等差(比数求通项公式；a(4)累加法：如a－＝fn)，累积，如＝()；na(5)转化法：＝＋A≠0，且A≠1)．n2求和常用的法：(1)公式法：①

Sn

(a)(n1nadna(②S(1)1(2)裂项求和：将数列的通项分两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多.应握以下常见的裂项：

11n(1)n1()n(n)nn111(2k2

11k(k1)2(1)kk1④

111[n(n1)(2)(1)n1)(n2)

]⑤

2(n

)

n1

n1

n1)错位相减法：如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常用错位相减法这是等比数列前n项和式的推导方).倒序相加法：若式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其性的作用求和这等差数列前n项和公式推导方).分组求和法在接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运公式法求二、知运用典型例考1求列通nnnnnnnnnnnnn11nnnnnnnnnnnnn11[题型1]

a

n

af(n)n解法：把原递推公式转化为a已知数列【例1】a

(n)，用累加(差相加法求。n满足1，1，求。2解：由条件知：

a

n

n

n

2

11(n分

别

令

n入上式得n

个

等

式

累

加

之，

即)a)2123

n

111)))224nn所以

an

1n1

111，2nn[题型2]

a

n

fn)a

na解法：把原递推公式转化为f()，用累乘法(逐相乘)求解。an已知数列满足2，n求。【例2】aaa解：由条件知

nnn

，分别令

n

，代入上式得

(

个等式累乘之，即aa234aa34n13

a1na1

又

22，3[题型3]

a

n

pan

(其中p，均常数，且

pq

)。解法(待定系数法)：转化为：

a

n

p(a)n

，其中

t

q1

，再利用换元法转化为等比数列求解。【例3】已知数列

n

，

n

a，a。n解：设递推公式

a

n

2an

可以转化为

a)即2atnnn

.故递推公式为a

n

ba3),令，且n.所以b是以bn

为首项，2为公比的等比数列，则

2

,所以

.[题型4]

pa

(其中p，均常数，且

(

)。(或

n

rqn

n

,其中p，q,r均常)。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以

n

，得：

aannqnn

引入辅助数列

n

bn

aq

nn

)，nnnnnnnn22nnnnnnnn22得：

bn

p1bq

再待定系数法解决。【例4】已知数列

n

1,)32

n

，求

a

n

。解：在

a

n

112a)n边乘以n得nn)323令

2

，则

bn

2b,解得：)33

n所以

an

bn))23

n[题型5]递公式为

n

与

a

n

的关系式。或

fan

)解法：这种类型一般利用a

与

af(afnn

消去

(n或与

f(n

n

(

消去

a

n

进行求解。【例5】已知数列

n

项

Sn

2

1n

.(1)求

n

与的关系；求项公式a.n解：由

Sn

2

1n

得：

S4n

2

1n于是

S

n

ann

n

)

2

1n

2

1n

)所以

a

n

n

n

2

11annn

.(2)应用题型4(

pa

，其中p，q均常数，且

(q

)的方法，上式两边同乘以

n

得：

2

由

a11

11

a1

.于是数列

n

a

n

是以2为首项，2为公差列所

2nan

2

nnr0,0)[题型6]解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为

a

n

pan

，再利用待定系数法求解。【例6】已知数列

{}，n1

1a

(0)

，求数列

{}n

的通项公式。解：由

a

11两取对数得lga2lgaaa

，令

blga，bn

b

11，再利用待定系数法解得：()aa

。31n31n考2数求[题型1]公法【例7】已知

3的差数列，数列n

bn

13

,nbnnn(1)求n和(2)求n解：依ab+b，b=1，

13

，解得=2…2分通项公式为=2+3(-1)=3-1…6分11(2)由(Ⅰ)知nb=，b=，所以是公比为的比数列…9分33所以{}前项=n[题型2]裂求和

11)n31122n3

…12分【例8】

n

为数列

n

}的前

项和.已

n

＞，

a

n

2

nn

.(1)求

n

}的项公式；(2)设bn

1ann

,求数列{

n

}的前

项和.解析：a=2n

；(2)由1)知，=n

()(2n

，所以数列{

n

}前n项和为

12

n

=

1[()

11)]=n264

.[题型3]错相减求和【例9】已知数列{a}{b

}，

1

a(n*n11bb23

1

*

)

.(1)求

n

与

n

；(2)记数列

{ab

}和为

n

，求.n解析：由

2,a1

，n

n

.当n

时，

12

，故

2

.当

时，

1n

bnn

，整理得

bnnbn

，所以

n

.41443nnnn1nnn141443nnnn1nnn1(2)由(1)知，

bn

n所以

n

n2n

所以

Tnn

2

3

n

n

n

所以

nn

.[题型4]分求和【例】已知{}等差数列，满足＝3，＝12数列{}足＝，＝20且{－a}等数列．n4n4n(1)求数列{a}{}通公式；nn(2)求数列{b}前n项．n解：设等差数列{}公为d，由题意得n－a－＝＝＝所以＝＋(－d＝n＝12…．n设等比数列{－a}公比为q，由题意得nn－a20＝＝＝，解得q＝－a411所以－＝(b－a)＝.n1从而＝＋(n，2…)．n(2)由(1)知＝＋2n

n

(n＝1，2…)．－数列{n}前n项为n(＋1)，数列{}前项为×＝2－，－2所以，数列{}前项和为nn1)＋2n2三、知能运用训练题

－1、(1)已知数列

n

aaa1n

n

2)

，求数列

n

式；已S为列n

n

项和，

，

Snn

n

，求数列

n

式【解】(1)2,a1n

n

n

，n

n

an

n

n

a

n

n

n

aa21n(2n3

n(22

(2)a

，

Sn2n

n

，当

时，

n2

ann

n

n2an

n

nnn

.aan1annaann(nn

2、已知数列

n

a1

n

2n

，求数列

n

式nnannnnann3【解】a

n

2a，an

n

2(na是n

为公比的等比数列，其首项为

a14

2

3、已知数列

n

a1

n

2n

n

，求数列

n

式【解】a

2a

，

aaa3)n，则)2n2

，b(n

bn

n

b213)n))2a

333)2)222

4、已知为数列n

n

项和，

3a2(N2)n

，求数列

n

式【解析】当

n

时，

a1

，当2时ann

n

(3(3n

n

2).2a

n2n

32

为公比的等比数列，其首项为

a

，3)2

.5、已知数列

n

a1

n

3n

n

，求数列

n

式【解析】

，

aan，b3n3nn数

n

bnn

，ann

n

.6、已知数列

n

2

1a(n3)33

，求数列

.n【解】由a

1a得(a)(n3又

a21

，所以数列

n

n

为首，公比为

的等比数列，a

2)

a(an

n

a

n

n

n

n

aa21122))))33

8)5

．121n2n222n122122n2n2n12n121n2n222n122122n2n2n12n7、已知数列

数等差数列，列

n

的前项和为.n(1)求数列

式(2)设

b

，求数列

项和

n

.【解析）设数列

，令n

11得，所以aaa31

.令n

得

，所以aa15解得d，所an5122（）（）2

n

n

,

所以

,所以4T

......n

,两式相减，得......4(1)144(3所Tn99＋n*、已知数列{}前n项＝，nNnn2(1)求数列{}通项公式；n

(2)设b＝n

＋(－1)，数{}前n项．n解：当n，＝＝111＋n（－1＋－1）当≥2时，a＝－＝－＝nn故数列{}通公式为a＝nn(2)由(1)知2n

n

＋(－1)

记数列{b}前2和为T＝(2＋2nn

＋＋2＋(－12－＋4－n)．记A＋2＋…＋2，B＝－1－3＋－＋2，（－2）则A＝－，－B＝(－12)＋(－3＋4)＋＋－(2－1)n]＝n故数列{}前n项＝＋＝＋n－2.n2n9、已知数列

项和n+8n

且

ann

.(1)求数列

式(2)令

cn

(n(nn

.

求数列

和T.解析）由题意知当n时n

n

n

，当

n

时，

111

，所以

a6n

.，即b2322aaa由条件可知a>0,，即b2322aaa由条件可知a>0,故。得，所以。故数列{a}的通项式为a=。33322**设数列

d，

ab11ab172b23

，可解得

b4,d

，所以

bn

.（）（Ⅰ）知

n

n

3(

n

，又

Tcn13

n

，得n

2

3

4

，5n两式作差，得

，3[222]4(2nn

]

所以nn

n

10、等比数列n

为数，且

a123

2

a2(1)求数列n

式(2)设

baloglogn133

求数列的n项.解1）设数列a}的公比为q，由

a得aa323

所以

。111q1212)（）

blogalogan333

)

(n故

)n

n1112...