2021年辽宁省锦州市中考数学试卷（含详解）

第1页（共1页）2021年辽宁省锦州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）（2021•锦州）SKIPIF1<0的相反数是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．22．（2分）（2021•锦州）据相关研究，经过SKIPIF1<0完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2分）（2021•锦州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A． B． C． D．4．（2分）（2021•锦州）某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：时间SKIPIF1<06789人数7181510那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．18，16.5 B．18，7.5 C．7，8 D．7，7.55．（2分）（2021•锦州）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2分）（2021•锦州）二元一次方程组SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2分）（2021•锦州）如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点（位于SKIPIF1<0下方），SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2分）（2021•锦州）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，另一个顶点SKIPIF1<0（在点SKIPIF1<0左侧）在射线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时停止．设SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平移过程中与四边形SKIPIF1<0重叠部分的面积为SKIPIF1<0，则下列图象能正确反映SKIPIF1<0与SKIPIF1<0函数关系的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A． B． C． D．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2021•锦州）若二次根式SKIPIF1<0有意义，则SKIPIF1<0的取值范围是．10．（3分）（2021•锦州）甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选（填“甲”或“乙”SKIPIF1<0．11．（3分）（2021•锦州）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为．12．（3分）（2021•锦州）关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有两个实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是．13．（3分）（2021•锦州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边的垂直平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．14．（3分）（2021•锦州）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心、SKIPIF1<0的长为半径画弧交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，再分别以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心、大于SKIPIF1<0的长为半径画弧，两弧交于点SKIPIF1<0，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．15．（3分）（2021•锦州）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限内，顶点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，经过点SKIPIF1<0的反比例函数SKIPIF1<0的图象交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为15，则SKIPIF1<0的值为．16．（3分）（2021•锦州）如图，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将△SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠得到△SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上；过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将△SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠得到△SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上；SKIPIF1<0按此作法进行下去，在SKIPIF1<0内部作射线SKIPIF1<0，分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积为（用含有SKIPIF1<0的式子表示）．三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）17．（6分）（2021•锦州）先化简，再求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．18．（8分）（2021•锦州）教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到SKIPIF1<0．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：睡眠时间SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：SKIPIF1<0睡眠时间SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：SKIPIF1<0睡眠时间SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：睡眠时间SKIPIF1<0如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）被调查的学生有人；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足SKIPIF1<0的人数．四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）19．（8分）（2021•锦州）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到SKIPIF1<0卡片的概率为；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．20．（8分）（2021•锦州）小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了SKIPIF1<0．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）21．（8分）（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树SKIPIF1<0，坡面上点SKIPIF1<0处放置高度为SKIPIF1<0的测倾器SKIPIF1<0，测倾器的顶部SKIPIF1<0与树底部SKIPIF1<0恰好在同一水平线上（即SKIPIF1<0，此时测得树顶部SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0．已知山坡的坡度SKIPIF1<0（即坡面上点SKIPIF1<0处的铅直高度SKIPIF1<0与水平宽度SKIPIF1<0的比），求树SKIPIF1<0的高度（结果精确到SKIPIF1<0．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<022．（8分）（2021•锦州）如图，四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．六、解答题（本题共10分）23．（10分）（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元SKIPIF1<0，加工过程中原料的质量有SKIPIF1<0的损耗，加工费SKIPIF1<0（万元）与原料的质量SKIPIF1<0之间的关系为SKIPIF1<0，销售价SKIPIF1<0（万元SKIPIF1<0与原料的质量SKIPIF1<0之间的关系如图所示．（1）求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式；（2）设销售收入为SKIPIF1<0（万元），求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式；（3）原料的质量SKIPIF1<0为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润SKIPIF1<0销售收入SKIPIF1<0总支出）．七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）24．（12分）（2021•锦州）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如图1，当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，当SKIPIF1<0时，①探究SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的数量关系，并说明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，在点SKIPIF1<0移动过程中，SKIPIF1<0是否存在最小值？若存在，请直接写出SKIPIF1<0的最小值；若不存在，请说明理由．25．（12分）（2021•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的另一个交点为点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）SKIPIF1<0为抛物线上的动点．①SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，当四边形SKIPIF1<0为平行四边形时，求点SKIPIF1<0的坐标；②如图2，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方，直线SKIPIF1<0的情况除外）交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与坐标轴平行时，直接写出点SKIPIF1<0的横坐标．

2021年辽宁省锦州市中考数学试卷参考答案与试题详解一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）（2021•锦州）SKIPIF1<0的相反数是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解答】解：SKIPIF1<0的相反数是2．故选：SKIPIF1<0．2．（2分）（2021•锦州）据相关研究，经过SKIPIF1<0完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：将数据25000用科学记数法表示为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．（2分）（2021•锦州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A． B． C． D．【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选：SKIPIF1<0．4．（2分）（2021•锦州）某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：时间SKIPIF1<06789人数7181510那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．18，16.5 B．18，7.5 C．7，8 D．7，7.5【解答】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为7小时的有18人，出现的次数最多，所以众数是7，因为有50个学生，所以第25、26个数的平均数是中位数，又因为25、26个数分别是7，8，所以中位数是7.5．故选：SKIPIF1<0．5．（2分）（2021•锦州）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．6．（2分）（2021•锦州）二元一次方程组SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0，把②代入①得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入②得：SKIPIF1<0，则方程组的解集为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．7．（2分）（2021•锦州）如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点（位于SKIPIF1<0下方），SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．8．（2分）（2021•锦州）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，另一个顶点SKIPIF1<0（在点SKIPIF1<0左侧）在射线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时停止．设SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平移过程中与四边形SKIPIF1<0重叠部分的面积为SKIPIF1<0，则下列图象能正确反映SKIPIF1<0与SKIPIF1<0函数关系的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A． B． C． D．【解答】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该部分图象开口向上，当SKIPIF1<0时，如图，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交与点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该部分图象开口向下，当SKIPIF1<0时，重叠部分的面积为SKIPIF1<0，是固定值，SKIPIF1<0该部分图象是平行SKIPIF1<0轴的线段，故选：SKIPIF1<0．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2021•锦州）若二次根式SKIPIF1<0有意义，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【解答】解：根据题意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．（3分）（2021•锦州）甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选甲（填“甲”或“乙”SKIPIF1<0．【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则甲的成绩比较稳定，故答案为：甲．11．（3分）（2021•锦州）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为8．【解答】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.4，所以估计这个口袋中红球的数量为SKIPIF1<0（个SKIPIF1<0．故答案为8．12．（3分）（2021•锦州）关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有两个实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【解答】解：根据题意得△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．13．（3分）（2021•锦州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边的垂直平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．【解答】解：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．14．（3分）（2021•锦州）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心、SKIPIF1<0的长为半径画弧交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，再分别以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心、大于SKIPIF1<0的长为半径画弧，两弧交于点SKIPIF1<0，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．【解答】解：如图，连接SKIPIF1<0，根据作图过程可知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．（3分）（2021•锦州）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限内，顶点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，经过点SKIPIF1<0的反比例函数SKIPIF1<0的图象交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为15，则SKIPIF1<0的值为18．【解答】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为15，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：18．16．（3分）（2021•锦州）如图，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将△SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠得到△SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上；过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将△SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠得到△SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上；SKIPIF1<0按此作法进行下去，在SKIPIF1<0内部作射线SKIPIF1<0，分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0（用含有SKIPIF1<0的式子表示）．【解答】解：由折叠可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，同理可证，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0依次为线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上的高与△SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上的高之比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上的高为SKIPIF1<0，同理可得△SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上的高为SKIPIF1<0，由折叠可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）17．（6分）（2021•锦州）先化简，再求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．【解答】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0代入，原式SKIPIF1<0．18．（8分）（2021•锦州）教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到SKIPIF1<0．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：睡眠时间SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：SKIPIF1<0睡眠时间SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：SKIPIF1<0睡眠时间SKIPIF1<0SKIPIF1<0组：睡眠时间SKIPIF1<0如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）被调查的学生有200人；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足SKIPIF1<0的人数．【解答】解：（1）本次共调查了SKIPIF1<0（人SKIPIF1<0，故答案为：200；（2）SKIPIF1<0组学生有：SKIPIF1<0（人SKIPIF1<0，补全的条形统计图如图2所示：（3）SKIPIF1<0（人SKIPIF1<0，即估计该校学生平均每天睡眠时间不足SKIPIF1<0的有480人．四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）19．（8分）（2021•锦州）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到SKIPIF1<0卡片的概率为SKIPIF1<0；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为SKIPIF1<0．20．（8分）（2021•锦州）小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了SKIPIF1<0．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．【解答】解：设小杰平均每分钟清点图书SKIPIF1<0本，则小江平均每分钟清点图书SKIPIF1<0本，依题意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0是原方程的解，且符合题意，SKIPIF1<0．答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本．五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）21．（8分）（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树SKIPIF1<0，坡面上点SKIPIF1<0处放置高度为SKIPIF1<0的测倾器SKIPIF1<0，测倾器的顶部SKIPIF1<0与树底部SKIPIF1<0恰好在同一水平线上（即SKIPIF1<0，此时测得树顶部SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0．已知山坡的坡度SKIPIF1<0（即坡面上点SKIPIF1<0处的铅直高度SKIPIF1<0与水平宽度SKIPIF1<0的比），求树SKIPIF1<0的高度（结果精确到SKIPIF1<0．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0山坡SKIPIF1<0的坡度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即树SKIPIF1<0的高度约为SKIPIF1<0．22．（8分）（2021•锦州）如图，四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．【解答】（1）证明：如图1，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线；（2）解：如图2，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径是4.5．六、解答题（本题共10分）23．（10分）（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元SKIPIF1<0，加工过程中原料的质量有SKIPIF1<0的损耗，加工费SKIPIF1<0（万元）与原料的质量SKIPIF1<0之间的关系为SKIPIF1<0，销售价SKIPIF1<0（万元SKIPIF1<0与原料的质量SKIPIF1<0之间的关系如图所示．（1）求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式；（2）设销售收入为SKIPIF1<0（万元），求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式；（3）原料的质量SKIPIF1<0为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润SKIPIF1<0销售收入SKIPIF1<0总支出）．【解答】解：（1）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0；（2）设销售收入为SKIPIF1<0（万元），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式为SKIPIF1<0；（3）设销售总利润为SKIPIF1<0（万元），SKIPIF1<0，整理，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为65.2，SKIPIF1<0原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）24．（12分）（2021•锦州）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如图1，当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，当SKIPIF1<0时，①探究SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的数量关系，并说明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，在点SKIPIF1<0移动过程中，SKIPIF1<0是否存在最小值？若存在，请直接写出SKIPIF1<0的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0