数学建模第二次课程市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学建模第二次课程目的：简介一些简朴数学建模问题；简介数学建模普通思想和思绪；简介简朴初等数学模型；增长大家对数学建模兴趣；为此后参与数学建模竞赛打下良好基础；第1页第1页初等模型简介2.1公平席位分派2.2录像机计数器用途2.3双层玻璃窗功效2.4汽车刹车距离2.5划艇比赛成绩第2页第2页2.1公平席位分派系别学生百分比20席分派人数（%）百分比结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席分派百分比结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按百分比分派，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分派。若增长为21席，又如何分派。百分比加惯例对丙系公平吗系别学生百分比20席分派人数（%）百分比结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生百分比20席分派人数（%）百分比结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席分派百分比结果10.815116.61573.570321.00021第3页第3页“公平”分派办法衡量公平分派数量指标人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分派公平

p1/n1–p2/n2~对A绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A不公平程度已大大减少!虽两者绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对不公平A

p1/n1–p2/n2=5第4页第4页公平分派方案应使rA,rB尽也许小设A,B已分别有n1,n2席，若增长1席，问应分给A,还是B不妨设分派开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性席位分派转化为动态席位分派,即“公平”分派办法若p1/n1>p2/n2，定义第5页第5页1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论下列几种情况初始p1/n1>p2/n2

问：p1/n1<p2/(n2+1)

是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),则这席应给B第6页第6页当rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB定义该席给A不然,该席给B定义该席给Q值较大一方推广到m方分派席位该席给Q值最大一方Q

值办法计算，第7页第7页三系用Q值办法重新分派21个席位按人数百分比整数部分已将19席分派完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值办法分派第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值办法分派结果Q1最大，第20席给甲系第8页第8页问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩余一段还能否录下1小时节目？要求不但回答问题，并且建立计数器读数与录像带转过时间关系。思考计数器读数是均匀增长吗？2.2

录像机计数器用途经试验，一盘标明180分钟录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。第9页第9页录像机计数器工作原理积极轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮变慢录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观测计数器读数增长越来越慢！第10页第10页模型假设

录像带运动速度是常数

v；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目建立时间t与读数n之间关系（设v,k,w,r为已知参数）第11页第11页模型建立建立t与n函数关系有各种办法1.右轮盘转第

i圈半径为r+wi,

m圈总长度等于录像带在时间t内移动长度vt,因此第12页第12页2.考察右轮盘面积改变，等于录像带厚度乘以转过长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕长度，有模型建立第13页第13页思考3种建模办法得到同一结果但仔细推算会发觉稍有差别，请解释。模型中有待定参数一个拟定参数办法是测量或调查，请设计测量办法。思考第14页第14页参数预计另一个拟定参数办法——测试分析将模型改记作只需预计a,b理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可事实上，由于测试有误差，最好用足够多数据作拟合既有一批测试数据：

t020406080n0000114127603413

t

100120140160184n40044545505155256061最小二乘法(大家编程序实现)第15页第15页程序t=[020406080100120140160184];n=[000011412760341340044545505155256061];R=[(n.^2)'n'];A=R\t'第16页第16页模型检验应当另外测试一批数据检查模型：模型应用回答提出问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩余录像带能录184-116.4=67.6分钟节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带状态改变时，只需重新预计a,b即可。第17页第17页2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3双层玻璃窗功效第18页第18页dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导热量Q1Ta~内层玻璃外侧温度Tb~外层玻璃内侧温度k1~玻璃热传导系数k2~空气热传导系数建模第19页第19页记单层玻璃窗传导热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2减少许作最保守预计，取k1/k2=16建模第20页第20页hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料单层玻璃窗相比，可减少97%热量损失。结果分析Q1/Q2因此如此小，是由于层间空气极低热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失热量更多。双层窗功效不会如此之大大家画出图形第21页第21页2.4

汽车刹车距离美国一些司机培训课程中驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车距离应增一个车身长度。实现这个规则简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车通过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而无论车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否同样；建立数学模型，寻求更加好驾驶规则。第22页第22页问题分析常识：刹车距离与车速相关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)>>车身平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机情况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数第23页第23页假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车质量m成正比第24页第24页反应时间t1经验预计值为0.75秒参数预计利用交通部门提供一组实际数据拟合k模型最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第25页第25页“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第26页第26页2.5划艇比赛成绩赛艇米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

浆手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军成绩进行比较，发觉与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇尺寸和重量l/b,w0/n

基本不变第27页第27页问题分析迈进阻力~浸没部