初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析)

可编辑版/锐角三角函数提高题与常考题和培优题<含解析>一．选择题〔共11小题1．如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍,那么锐角A的余切值〔A．扩大为原来的3被 B．缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定2．在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,那么∠A的正弦值是〔A． B． C． D．3．已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,BC=2,那么AB的长等于〔A． B．2sinα C． D．2cosα4．如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是〔A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°5．如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为〔A． B． C． D．36．在Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则角A的正弦值〔A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定7．如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=6km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离〔即AB的长为〔A．3km B．3km C．4km D．〔3﹣3km8．如图,在2×2的网格中,以顶点O为圆心,以2个单位长度为半径作圆弧,交图中格线于点A,则tan∠ABO的值为〔A． B．2 C． D．39．如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是〔A．2 B． C． D．10．如图,点D〔0,3,O〔0,0,C〔4,0在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=〔A． B． C． D．11．如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动〔点D与点B、C不重合,作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则BE+CF的值〔A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小二．填空题〔共12小题12．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6,那么底角的余弦值等于．13．如图,△ABC中∠C=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA=．14．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,联结DB,那么tan∠DBC的值是．15．如图,小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD,小明在自己所住楼AB的底部A处,利用对面楼CD墙上玻璃〔与地面垂直的反光,测得楼AB顶部B处的仰角是α,若tanα=0.45,两楼的间距为30米,则小明家所住楼AB的高度是米．16．如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则的值=,tan∠APD的值=．17．如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD=．18．如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为〔﹣1,0,∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为．19．如图,测量河宽AB〔假设河的两岸平行,在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为m〔结果保留根号．20．如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cos∠AOB的值是．21．如图,P〔12,a在反比例函数图象上,PH⊥x轴于H,则tan∠POH的值为．22．已知cosα=,则的值等于．23．如图,△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上,则tan〔α+βtanα+tanβ．〔填"＞""=""＜"三．解答题〔共17小题24．计算：cos245°+﹣•tan30°．25．计算：2cos230°﹣sin30°+．26．如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=．〔1求BC的长；〔2利用此图形求tan15°的值〔精确到0.1,参考数据：=1.4,=1.7,=2.227．如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E．〔1若∠A=60°,求BC的长；〔2若sinA=,求AD的长．〔注意：本题中的计算过程和结果均保留根号28．如图,在四边形ABCD中,∠BCD是钝角,AB=AD,BD平分∠ABC,若CD=3,BD=,sin∠DBC=,求对角线AC的长．29．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,联结CE,求：〔1线段BE的长；〔2∠ECB的余切值．30．如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值．31．如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E．〔1求线段CD的长；〔2求cos∠ABE的值．32．如图,已知∠MON=25°,矩形ABCD的边BC在OM上,对角线AC⊥ON．当AC=5时,求AD的长．〔参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47,结果精确到0.133．一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,BC=10,试求CD的长．34．已知：如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,且sin∠DAB=,DB=3．求：〔1AB的长；〔2∠CAB的余切值．35．数学老师布置了这样一个问題：如果α,β都为锐角．且tanα=,tanβ=．求α+β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．〔1请你分别利用图1,图2求出α+β的度数,并说明理由；〔2请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题：如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α﹣β．求出α﹣β的度数,并说明理由．36．如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据〔0.97、0.26为近似数,解答下列问题：〔1sin60°=；cos75°=；〔2若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长．〔结果精确到0.01,参考数据：≈1.414,≈1.73237．阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果α,β都为锐角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1,把α,β放在正方形网格中,使得∠ABD=α,∠CBE=β,且BA,BC在直线BD的两侧,连接AC．〔1观察图象可知：α+β=°；〔2请参考该数学小组的方法解决问题：如果α,β都为锐角,当tanα=3,tanβ=时,在图2的正方形网格中,画出∠MON=α﹣β,并求∠MON的度数．38．阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后,老师提出一个这样的问题：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=1,∠A=α,求sin2α〔用含sinα,cosα的式子表示．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2,取AB的中点O,连接OC,过点C作CD⊥AB于点D,则∠COB=2α,然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC,BC,在Rt△ACD中表示出CD,则可以求出sin2α====2sinα•cosα．阅读以上内容,回答下列问题：在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=1．〔1如图3,若BC=,则sinα=,sin2α=；〔2请你参考阅读材料中的推导思路,求出tan2α的表达式〔用含sinα,cosα的式子表示．39．图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知BC=0.64米,AD=0.24米,α=18°．〔sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32〔1求AB的长〔精确到0.01米；〔2若测得EN=0.8米,试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度〔结果保留π40．某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°,大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC．〔不考虑其它因素〔参数数据：sin8°=,tan8°=,sin10°=,tan10°=锐角三角函数常考题型与解析参考答案与试题解析一．选择题〔共11小题1．〔2017•奉贤区一模如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍,那么锐角A的余切值〔A．扩大为原来的3被 B．缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定[分析]根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答．[解答]解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的余切值也不变．故选：C．[点评]本题考查了锐角三角函数的定义,掌握在直角三角形中,一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．2．〔2017•金山区一模在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,那么∠A的正弦值是〔A． B． C． D．[分析]根据sinA=代入数据直接得出答案．[解答]解：∵∠C=90°,AB=5,BC=4,∴sinA==,故选D．[点评]本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边．3．〔2017•浦东新区一模已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,BC=2,那么AB的长等于〔A． B．2sinα C． D．2cosα[分析]根据锐角三角函数的定义得出sinA=,代入求出即可．[解答]解：∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,BC=2,∴sinA=,∴AB==,故选A．[点评]本题考查了锐角三角函数的定义,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键,注意：在Rt△ACB中,∠ACB=90°,则sinA=,cosA=,tanA=．4．〔2017•静安区一模如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是〔A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°[分析]正弦值随着角度的增大〔或减小而增大〔或减小,可得答案．[解答]解：由＜＜,得30°＜α＜45°,故选：C．[点评]本题考查了锐角三角形的增减性,当角度在0°～90°间变化时,①正弦值随着角度的增大〔或减小而增大〔或减小；②余弦值随着角度的增大〔或减小而减小〔或增大；③正切值随着角度的增大〔或减小而增大〔或减小．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．5．〔2017•莒县模拟如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为〔A． B． C． D．3[分析]根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度,然后证明△FDE∽△ABC,所以[解答]解：由勾股定理可求出：BC=2,AC=2,DF=,DE=,∴,,,∴,∴△FDE∽△CAB,∴∠DFE=∠ACB,∴tan∠DFE=tan∠ACB=,故选〔B[点评]本题考查解直角三角形,涉及勾股定理,相似三角形的判定与性质．6．〔2017春•兰陵县校级月考在Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则角A的正弦值〔A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定[分析]根据锐角三角函数的定义,可得答案．[解答]解：由题意,得Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则角A的正弦值不变,故选：C．[点评]本题考查了锐角三角函数的定义,利用锐角三角函数的定义是解题关键．7．〔2017•兴化市校级一模如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=6km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离〔即AB的长为〔A．3km B．3km C．4km D．〔3﹣3km[分析]根据题意,可以作辅助线AC⊥OB于点C,然后根据题目中的条件,可以求得AC和BC的长度,然后根据勾股定理即可求得AB的长．[解答]解：作AC⊥OB于点C,如右图所示,由已知可得,∠COA=30°,OA=6km,∵AC⊥OB,∴∠OCA=∠BCA=90°,∴OA=2AC,∠OAC=60°,∴AC=3km,∠CAD=30°,∵∠DAB=15°,∴∠CAB=45°,∴∠CAB=∠B=45°,∴BC=AC,∴AB=,故选A．[点评]本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题,解答此类问题的关键是明确题意,利用在直角三角形中30°所对的边与斜边的关系和勾股定理解答．8．〔2017春•萧山区月考如图,在2×2的网格中,以顶点O为圆心,以2个单位长度为半径作圆弧,交图中格线于点A,则tan∠ABO的值为〔A． B．2 C． D．3[分析]连接OA,过点A作AC⊥OB于点C,由题意知AC=1、OA=OB=2,从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣,在Rt△ABC中,根据tan∠ABO=可得答案．[解答]解：如图,连接OA,过点A作AC⊥OB于点C,则AC=1,OA=OB=2,∵在Rt△AOC中,OC===,∴BC=OB﹣OC=2﹣,∴在Rt△ABC中,tan∠ABO===2+,故选：C．[点评]本题主要考查解直角三角形,根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．9．〔2016•XX如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是〔A．2 B． C． D．[分析]根据勾股定理,可得AC、AB的长,根据正切函数的定义,可得答案．[解答]解：如图：,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan∠B==,故选：D．[点评]本题考查了锐角三角函数的定义,先求出AC、AB的长,再求正切函数．10．〔2016•XX如图,点D〔0,3,O〔0,0,C〔4,0在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=〔A． B． C． D．[分析]连接CD,可得出∠OBD=∠OCD,根据点D〔0,3,C〔4,0,得OD=3,OC=4,由勾股定理得出CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．[解答]解：∵D〔0,3,C〔4,0,∴OD=3,OC=4,∵∠COD=90°,∴CD==5,连接CD,如图所示：∵∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．[点评]本题考查了圆周角定理,勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．11．〔2016•XX如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动〔点D与点B、C不重合,作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则BE+CF的值〔A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小[分析]设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=α,易知BE+CF=BC•cosα,根据0＜α＜90°,由此即可作出判断．[解答]解：∵BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBF,设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=α,∴CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,∴BE+CF=〔DB+DCcosα=BC•cosα,∵∠ABC=90°,∴O＜α＜90°,当点D从B→D运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．[点评]本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识,利用三角函数的定义,得到BE+CF=BC•cosα,记住三角函数的增减性是解题的关键,属于中考常考题型．二．填空题〔共12小题12．〔2017•普陀区一模如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6,那么底角的余弦值等于．[分析]如图,△ABC中,AB=AC,AC：BC=5：6,作AE⊥BC于E,则BE=EC,在Rt△AEC中,根据cos∠C===,即可解决问题．[解答]解：如图,△ABC中,AB=AC,AC：BC=5：6,作AE⊥BC于E,则BE=EC,,在Rt△AEC中,cos∠C===,故答案为．[点评]本题考查等腰三角形的性质,解直角三角形锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握所学知识,掌握等腰三角形中的常用辅助线,属于中考常考题型．13．〔2017•宝山区一模如图,△ABC中∠C=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA=．[分析]先证明△BDC∽△CDA,利用相似三角形的性质求出CD的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．[解答]解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°,∴∠BCD=∠A,∵CD⊥AB,∴∠BDC=∠CDA=90°,∴△BDC∽△CDA,∴CD2=BD•AD,∴CD=6,∴tanA==故答案为：[点评]本题考查解直角三角形,涉及锐角三角函数,相似三角形的判定与性质．14．〔2017•青浦区一模如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,联结DB,那么tan∠DBC的值是．[分析]由DE垂直平分AB,得到AD=BD,设CD=x,则有BD=AD=3﹣x,在直角三角形BCD中,利用勾股定理求出x的值,确定出CD的长,利用锐角三角函数定义求出所求即可．[解答]解：∵边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,∴AD=BD,设CD=x,则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x,在Rt△BCD中,根据勾股定理得：〔3﹣x2=x2+22,解得：x=,则tan∠DBC==,故答案为：[点评]此题考查了解直角三角形,以及线段垂直平分线性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键．15．〔2017•黄浦区一模如图,小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD,小明在自己所住楼AB的底部A处,利用对面楼CD墙上玻璃〔与地面垂直的反光,测得楼AB顶部B处的仰角是α,若tanα=0.45,两楼的间距为30米,则小明家所住楼AB的高度是27米．[分析]作PE⊥AB于点E,在直角△AEP中,利用三角函数求得AE的长,根据AB=2AE即可求解．[解答]解：作PE⊥AB于点E,在直角△AEP中,∠APE=∠α,则AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5〔米,则AB=2AE=27〔米．故答案是：27．[点评]本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义,解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系,学会把问题转化为方程解决,属于中考常考题型．16．〔2016•XX如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则的值=3,tan∠APD的值=2．[分析]首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易得DP：CP=1：3,即可得PF：CF=PF：BF=1：2,在Rt△PBF中,即可求得tan∠BPF的值,继而求得答案．[解答]解：∵四边形BCED是正方形,∴DB∥AC,∴△DBP∽△CAP,∴==3,连接BE,∵四边形BCED是正方形,∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD,∴BF=CF,根据题意得：AC∥BD,∴△ACP∽△BDP,∴DP：CP=BD：AC=1：3,∴DP：DF=1：2,∴DP=PF=CF=BF,在Rt△PBF中,tan∠BPF==2,∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2,故答案为：3,2．[点评]此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中,解题的关键准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用．17．〔2016•枣庄如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD=2．[分析]连接BC可得RT△ACB,由勾股定理求得BC的长,进而由tanD=tanA=可得答案．[解答]解：如图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=6,AC=2,∴BC===4,又∵∠D=∠A,∴tanD=tanA===2．故答案为：2．[点评]本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形,连接BC构造直角三角形是解题的关键．18．〔2016•XX如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为〔﹣1,0,∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为4．[分析]首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形,分四种情况进行计算：①点P从O→B时,路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时〔QC⊥AB,C为垂足,点Q从O运动到Q,计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时,点Q由Q向左运动,路程为QQ′；④点P从A→O时,点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．[解答]解：在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°,AO=1,∴AB=2,BO==,①当点P从O→B时,如图1、图2所示,点Q运动的路程为,②如图3所示,QC⊥AB,则∠ACQ=90°,即PQ运动到与AB垂直时,垂足为P,当点P从B→C时,∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1,③当点P从C→A时,如图3所示,点Q运动的路程为QQ′=2﹣,④当点P从A→O时,点Q运动的路程为AO=1,∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4[点评]本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形,此题的解题关键是理解题意,正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点,将线段移动问题转化为点移动问题．19．〔2016•新疆如图,测量河宽AB〔假设河的两岸平行,在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为30m〔结果保留根号．[分析]先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数,判断出△ACD的形状,再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．[解答]解：∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,∴∠CAD=30°,∴AD=CD=60m,在Rt△ABD中,AB=AD•sin∠ADB=60×=30〔m．故答案为：30．[点评]本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值,难度适中．20．〔2016•港南区二模如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cos∠AOB的值是．[分析]首先连接AB,由勾股定理易求得OA2=12+32=10,AB2=12+32=10,OB2=22+42=20,然后由勾股定理的逆定理,可证得△AOB是等腰直角三角形,继而可求得cos∠AOB的值．[解答]解：连接AB,∵OA2=12+32=10,AB2=12+32=10,OB2=22+42=20,∴OA2+AB2=OB2,OA=AB,∴△AOB是等腰直角三角形,即∠OAB=90°,∴∠AOB=45°,∴cos∠AOB=cos45°=．故答案为：．[点评]此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用．21．〔2016•于田县校级模拟如图,P〔12,a在反比例函数图象上,PH⊥x轴于H,则tan∠POH的值为．[分析]利用锐角三角函数的定义求解,tan∠POH为∠POH的对边比邻边,求出即可．[解答]解：∵P〔12,a在反比例函数图象上,∴a==5,∵PH⊥x轴于H,∴PH=5,OH=12,∴tan∠POH=,故答案为：．[点评]此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边．22．〔2016•XX校级模拟已知cosα=,则的值等于0．[分析]先利用tanα=得到原式==,然后把cosα=代入计算即可．[解答]解：∵tanα=,∴==,∵cosα=,∴==0．故答案为0．[点评]本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系〔积的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanA•cosA．23．〔2016•XX二模如图,△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上,则tan〔α+β＞tanα+tanβ．〔填"＞""=""＜"[分析]根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ,根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan〔α+β,比较即可．[解答]解：由正方形网格图可知,tanα=,tanβ=,则tanα+tanβ=+=,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴α+β=45°,∴tan〔α+β=1,∴tan〔α+β＞tanα+tanβ,故答案为：＞．[点评]本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质,熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．三．解答题〔共17小题24．〔2017•普陀区一模计算：cos245°+﹣•tan30°．[分析]根据特殊角三角函数值,可得答案．[解答]解：原式=〔2+﹣×=+﹣1=．[点评]本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键．25．〔2017•浦东新区一模计算：2cos230°﹣sin30°+．[分析]根据特殊角三角函数值,可得答案．[解答]解：原式=2×〔2﹣+=1++．[点评]本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键．26．〔2016•XX如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=．〔1求BC的长；〔2利用此图形求tan15°的值〔精确到0.1,参考数据：=1.4,=1.7,=2.2[分析]〔1过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2,由三角函数求出CD=2,在Rt△ABD中,由三角函数求出BD=16,即可得出结果；〔2在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,求出∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD=即可得出结果．[解答]解：〔1过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示：在Rt△ADC中,AC=4,∵∠C=150°,∴∠ACD=30°,∴AD=AC=2,CD=AC•cos30°=4×=2,在Rt△ABD中,tanB===,∴BD=16,∴BC=BD﹣CD=16﹣2；〔2在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示：∵∠ACB=150°,∴∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD====2﹣≈0.27≈0.3．[点评]本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．27．〔2016•XX如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E．〔1若∠A=60°,求BC的长；〔2若sinA=,求AD的长．〔注意：本题中的计算过程和结果均保留根号[分析]〔1要求BC的长,只要求出BE和CE的长即可,由题意可以得到BE和CE的长,本题得以解决；〔2要求AD的长,只要求出AE和DE的长即可,根据题意可以得到AE、DE的长,本题得以解决．[解答]解：〔1∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=,∴∠E=30°,BE=tan60°•6=6,又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE=,∠E=30°,∴CE==8,∴BC=BE﹣CE=6﹣8；〔2∵∠ABE=90°,AB=6,sinA==,∴设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x,∴3x=6,得x=2,∴BE=8,AE=10,∴tanE====,解得,DE=,∴AD=AE﹣DE=10﹣=,即AD的长是．[点评]本题考查解直角三角形,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用锐角三角函数进行解答．28．〔2016•XX如图,在四边形ABCD中,∠BCD是钝角,AB=AD,BD平分∠ABC,若CD=3,BD=,sin∠DBC=,求对角线AC的长．[分析]过D作DE⊥BC交BC的延长线于E,得到∠E=90°,根据三角形函数的定义得到DE=2,推出四边形ABCD是菱形,根据菱形的性质得到AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=,根据勾股定理得到结论．[解答]解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E,则∠E=90°,∵sin∠DBC=,BD=,∴DE=2,∵CD=3,∴CE=1,BE=4,∴BC=3,∴BC=CD,∴∠CBD=∠CDB,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,同理AD∥BC,∴四边形ABCD是菱形,连接AC交BD于O,则AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=,∴OC==,∴AC=2．[点评]本题考查了菱形的判定和性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键．29．〔2016•上海如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,联结CE,求：〔1线段BE的长；〔2∠ECB的余切值．[分析]〔1由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°,由勾股定理求出AB=3,求出∠ADE=∠A=45°,由三角函数得出AE=,即可得出BE的长；〔2过点E作EH⊥BC,垂足为点H,由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2,得出CH=1,在Rt△CHE中,由三角函数求出cot∠ECB==即可．[解答]解：〔1∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,∴∠A=∠B=45°,AB===3,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∠ADE=∠A=45°,∴AE=AD•cos45°=2×=,∴BE=AB﹣AE=3﹣=2,即线段BE的长为2；〔2过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示：∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2,∵BC=3,∴CH=1,在Rt△CHE中,cot∠ECB==,即∠ECB的余切值为．[点评]本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质,通过作辅助线求出CH是解决问题〔2的关键．30．〔2016•XX校级模拟如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值．[分析]依题意设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,先证明△CEM是直角三角形,再利用三角函数的定义求解．[解答]解：设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴EC==5x,EM==x,CM==2x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∴sin∠ECM==．[点评]本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形,把问题转化到直角三角形中求解．31．〔2016•XX模拟如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E．〔1求线段CD的长；〔2求cos∠ABE的值．[分析]〔1在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==,则可计算出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC,则S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,于是可计算出BE=,然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．[解答]解：〔1在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴sinA==,而BC=8,∴AB=10,∵D是AB中点,∴CD=AB=5；〔2在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,∴AC==6,∵D是AB中点,∴BD=5,S△BDC=S△ADC,∴S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,∴BE==,在Rt△BDE中,cos∠DBE===,即cos∠ABE的值为．[点评]本题考查了解直角三角形：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．32．〔2016•启东市二模如图,已知∠MON=25°,矩形ABCD的边BC在OM上,对角线AC⊥ON．当AC=5时,求AD的长．〔参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47,结果精确到0.1[分析]延长AC交ON于点E,如图,利用互余计算出∠OCE=65°,再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°,接着在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可计算出BC,然后根据矩形的性质即可得到AD的长．[解答]解：延长AC交ON于点E,如图,∵AC⊥ON,∴∠OEC=90°,在Rt△OEC中,∵∠O=25°,∴∠OCE=65°,∴∠ACB=∠OCE=65°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD=BC,在Rt△ABC中,∵cos∠ACB=,∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1,∴AD=BC=2.1．[点评]本题考查了解直角三角形：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活由于勾股定理、互余关系和三角函数关系．33．〔2016•松阳县二模一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,BC=10,试求CD的长．[分析]过点B作BM⊥FD于点M,根据题意可求出BC的长度,然后在△EFD中可求出∠EDF=45°,进而可得出答案．[解答]解：过点B作BM⊥FD于点M,在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,BC=10,∴∠ABC=30°,AC=10,∵AB∥CF,∴BM=BC×sin30°=10×=5,CM=BC×cos30°=15,在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴MD=BM=5,∴CD=CM﹣MD=15﹣5．[点评]本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质,难度较大,解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．34．〔2016•闸北区二模已知：如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,且sin∠DAB=,DB=3．求：〔1AB的长；〔2∠CAB的余切值．[分析]〔1在Rt△BDE中,求得BE=DE=3,在Rt△ADE中,得到AE=4,根据线段的和差即可得到结论；〔2作CH⊥AB于H,根据已知条件得到BC=6,由等腰直角三角形的性质得到BH=CH=6,根据三角函数的定义即可得到结论．[解答]解：〔1在Rt△BDE中,DE⊥AB,BD=3∠ABC=45°,∴BE=DE=3,在Rt△ADE中,sin∠DAB=,DE=3,∴AE=4,AB=AE+BE=4+3=7；〔2作CH⊥AB于H,∵AD是BC边上是中线,BD=3,∴BC=6,∵∠ABC=45°,∴BH=CH=6,∴AH=7﹣6=1,在Rt△CHA中,cot∠CAB==．[点评]本题考查了解直角三角形,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．35．〔2016•XX一模数学老师布置了这样一个问題：如果α,β都为锐角．且tanα=,tanβ=．求α+β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．〔1请你分别利用图1,图2求出α+β的度数,并说明理由；〔2请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题：如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α﹣β．求出α﹣β的度数,并说明理由．[分析]〔1①如图1中,只要证明△AMC≌△CNB,即可证明△ACB是等腰直角三角形．②如图2中,只要证明△CEB∽△BEA,即可证明∠BED=α+β=45°．〔2如图3中,∠MOE=α,∠NOH=β,∠MON=α﹣β,只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．[解答]解：〔1①如图1中,在△AMC和△CNB中,,∴△AMC≌△CNB,∴AC=BC,∠ACM=∠CBN,∵∠BCN+∠CBN=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,∴α+β=45°．②如图2中,设正方形边长为1,则CE=1,AE=2,BE=,∴==,=,∴=,∵∠CEB=∠AEB∴△CEB∽△BEA,∴∠CAB=∠CBE=α,∵∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β,∵DE=DB,∠D=90°,∠BED=45°,∴α+β=45°．〔2如图3中,∠MOE=α,∠NOH=β,∠MON=α﹣β．在△MFN和△NHO中,,∴△MFN≌△NHO,∴MN=NO,∠MNF=∠NOH,∵∠NOH+∠ONH=90°,∴∠ONH+∠MNF=90°,∴∠MNO=90°,∴∠NOM=∠NMO=45°,∴α﹣β=45°．[点评]本题考查了作图﹣应用与设计图,全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理等知识,根据函数值作出直角三角形是解题的关键,属于中考创新题目．36．〔2016•玄武区一模如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据〔0.97、0.26为近似数,解答下列问题：〔1sin60°=；cos75°=0.26；〔2若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长．〔结果精确到0.01,参考数据：≈1.414,≈1.732[分析]〔1根据图形中的数据可以解答本题；〔2要求MN的长,只要求出MH的长和NH的长,即可求得MN的长,根据题意可以求得MH和NH的长,本题得以解决．[解答]解：〔1由图可知,sin60°=,cos75°==0.26,故答案为：；0.26；〔2在Rt△MHO中,sin∠MOH=,即MH=MO•sin∠MOH=1×=．∴OH=,设PA⊥x轴,垂足为A,如右图所示,∵∠NHO=∠PAO=90°,∴NH∥PA,∴△ONH∽△OPA,∴=,即=,∴NH≈0.134．∴MN=MH﹣MN=≈0.73．[点评]本题考查解直角三角形、相似三角形的性质和判定,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件．37．〔2016•XX校级一模阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果α,β都为锐角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1,把α,β放在正方形网格中,使得∠ABD=α,∠CBE=β,且BA,BC在直线BD的两侧,连接AC．〔1观察图象可知：α+β=45°；〔2请参考该数学小组的方法解决问题：如果α,β都为锐角,当tanα=3,tanβ=时,在图2的正方形