专题06一元一次不等式组（热考题型）-

/25/25/专题06一元一次不等式组【思维导图】◎考点题型1一元一次不等式组的定义定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．注意：（1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式。（2）这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上。（3）这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数。（4）不等式组可以用“｛”表示，也可以用如的方式表示。例．（2023春·八年级课时练习）下列选项中是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意；B、未知数的最高次数是2，不符合题意；C、含有两个未知数，不符合题意；D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；故选：D．【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．变式1．（2022春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（????）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．【详解】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，答案：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.变式2．（2021春·七年级课时练习）下列是一元一次不等式组的是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可．【详解】解：是一元一次不等式组．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．变式3．（2020春·七年级统考课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．【详解】①是一元一次不等式组，故①正确；②是一元一次不等式组，故②正确；③是一元二次不等式组，故③错误；④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误；⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；⑥是一元一次不等式组，故⑥正确.故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．◎考点题型2求不等式组的解集1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。2、不等式组解集的确定方法：注意：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分。(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况。例．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）不等式组的解集是（????）．A． B． C． D．无解【答案】A【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可．【详解】解：，解①得，，解②得，，∴不等式组的解集是．故选A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．变式1．（2022春·海南海口·七年级琼山中学校考阶段练习）不等式组的解集是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：∵解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．变式2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期末）不等式组的解集里（????）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】分别解出不等式的值，在根据“同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小无解”即可求解．【详解】解：由得，；由得，，∴原不等式组的解集为：，故选：．【点睛】本题主要考查求不等式组的解集，掌握解不等式组的方法，取值的方法，不等式的性质是解题的关键．变式3．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）不等式组的解集在数轴上表示为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出每一个不等式，确定不等式组的解集，在数轴上表示出来，进行判断即可．【详解】解：由得：；由得：；∴不等式组的解集为：，在数轴上表示为：故选A．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．◎考点题型3：解不等式组求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。解一元一次不等式组的一般步骤：1.求出不等式组中各不等式的解集2.将各不等式的解决在数轴上表示出来。3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。例．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【分析】首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，即可求得该不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：由得：，解得，由得：，解得，故原不等式组的解集为，把解集在数轴上表示出来，如下图：【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在数轴上表示解集时，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．变式1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）解不等式组：【答案】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：∵由①得；由②得.所以不等式组的解集为.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．变式2．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）解下列不等式或不等式组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）不等式移项合并，将x系数化为1，即可求出解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【详解】（1）解：，移项得：，合并同类项得：，解得：，（2）由①得：；由②得：，∴不等式组的解集为，【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式3．（2021春·宁夏银川·八年级校考期中）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来．(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)无解(4)【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法步骤求解即可得到答案；（2）根据解一元一次不等式的方法步骤求解即可得到答案；（3）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案；（4）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案．【详解】（1）解：去括号得，移项、合并同类项得，系数化为1得；（2）解：，去分母得，去括号得，移项、合并同类项得，系数化为1得；（3）解：，由①得；由②得；原不等式组无解；（4）解：，由①得；由②得；原不等式组的解集为．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法及求一元一次不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及一元一次不等式组解集的求解法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．◎考点题型4：求一元一次不等式组的整数解例．（2023春·八年级课时练习）不等式组的最小整数解是（????）A．5 B．0 C． D．【答案】C【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，据此即可写出这个不等式组的最小整数解．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为，所以，这个不等式组的最小整数解是，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．变式1．（2022·全国·七年级专题练习）如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2，，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．变式2．（2022春·四川眉山·七年级统考期末）已知，则关于x的不等式组的整数解共有（????）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】先解不等式组求出不等式组的解集，再根据即可得．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组有整数解，，又，不等式组的整数解为，共有4个，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．变式3．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的不等式组的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若，为整数，则的值是（????）A．3 B．4 C．5或6 D．6或7【答案】C【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组的整数解确定m，n的取值范围，再根据m，n都为整数，即可确定m，n的值，代入计算即可．【详解】解不等式，得解不等式，得，∴不等式组的解集为：又∵不等式组的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，∴，又∵，为整数，∴或，∴或故选择：C【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．◎考点题型5：由一元一次不等式组的解集求参数例．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）不等式组的解集是，则m的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别解出每一个不等式，根据不等式组的解集的确定方法，同大取大，求出m的取值范围即可．【详解】解：由，得：，∵不等式组的解集为：，∴．故选C．【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围．熟练掌握不等式组的解集的确定方法：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，是解题的关键．变式1．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）关于的不等式组无解，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分别求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到结论．【详解】解：解不等式，得；解不等式，得，∵不等式组无解，∴，故选：D．【点睛】此题考查了根据不等式组的解集的情况求参数，正确掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．变式2．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意求a的取值范围即可．【详解】解：，解①得，解②得，所以不等式组的解集为，因为不等式组只有4个整数解，所以，所以．故选：D．【点睛】本题考查了求不等式组的解集和根据解集求取值范围，正确求出的取值范围是解题的关键．变式3．（2021春·河南新乡·七年级校考期中）已知不等式组的解集如图所示（点没标出，数轴单位长度为1），则的取值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再结合数轴进行求解即可．【详解】解：由得：；由得：，由数轴可知不等式的解集为：，∴，∴；故选C．【点睛】本题考查根据一元一次不等式组的解集求字母的值．用字母正确的表示出不等式的解集是解题的关键．◎考点题型6：由不等式组解集的情况求参数例．（2023春·八年级课时练习）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：由，解得：，由的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得：或，解得：或，∵不等式组有解，∴，解得：，综上分析可知，，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．变式1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集与的关系，可得答案．【详解】解：解，得，由不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，得或，解得或，故选：B．【点睛】本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x的值均不在的范围内得出不等式是解题关键．变式2．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）已知关于的不等式组恰好有6个整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有6个整数解，确定整数解的值，进而求得的范围．【详解】解：，解①得：，解②得：，∴，∵不等式组的整数解有6个，∴不等式组的整数解为、0、1、2、3、4，则，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于的不等式组．变式3．（2022秋·八年级单元测试）若不等式组无解，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了，确定关于a的不等式，解之可得．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组无解，，解得，故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．◎考点题型7不等式组和方程组相结合问题例．（2023春·八年级课时练习）若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为（????）．A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3【答案】D【分析】根据的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式组求出的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可．【详解】得，，解得：，将代入①得，，解得：，∵方程组得解为非负整数，∴，解不等式①得：，解不等式②得：，∴，∵，是整数，∴是8的因数，∴正整数是1，3故选：D【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件．变式1．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）若关于的不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和为（????）A．9 B．6 C．-2 D．-1【答案】C【分析】求出不等式组的解集为：，利用不等式组有解且最多有3个整数解，可得，解方程组可得：，讨论可知当，当时，方程组有整数解，进一步可求出符合条件的所有整数的和．【详解】解：由题意可知：解不等式的组，解不等式①得；解不等式②得，∴不等式组的解集为：，∵不等式组有解，且最多有3个整数解，∴，解方程组可得：，当时，方程组有整数解；当时，方程组有整数解；∴符合条件的所有整数的和为-2．故选：C【点睛】本题考查不等式组，方程组，解题的关键是熟练掌握解不等式组，求出a的取值范围，解方程组．变式2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（????）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．【详解】解：解方程组得：，∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，∴≥，解得：a≥-，∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，∴，解得-2≤a＜1，∴≤a＜1，∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个，故选：C．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．变式3．（2022秋·八年级单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，∴，∴3＜a＜7，∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．◎考点题型8解特殊不等式组例．（2022秋·八年级单元测试）阅读以下例题：解不等式：解：①当，则即可以写成：解不等式组得：②当若，则即可以写成：解不等式组得：综合以上两种情况：不等式解集：或．（以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可；（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可．【详解】（1）当时，，可以写成,解得：；当时，，可以写成,解得：，综上：不等式解集：或；（2）当时，，可以写成，解得；当时，，可以写成，解得：无解，综上：不等式解集：．【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算．变式1．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读理解题：（1）原理：对于任意两个实数、，若，则和同号，即：或若，则和异号，即：或（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．（3）应用：解不等式①②【答案】（3）①或；②【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．【详解】解：（3）①，∴当时，解得：；当时，解得：；∴原不等式的解集为或；②∴当时，解得：；当时，不等式组无解；∴原不等式的解集为．【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解．变式2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．例1解方程．解：∵，∴