章数学建模概述市公开课金奖市赛课一等奖课件

第一章数学建模概述1.1数学应用与数学建模1.2数学建模基本问题1.3数学建模示例1.4插值法与最小二乘法简介第1页第1页1.1数学应用与数学建模数学广泛地应用于各个领域，如:老式物理学、天文学、力学，及当代工程技术、社会生活、信息技术等。计算机技术发展为数学广泛应用创造了条件，尤其是一些数学软件开发使用，使得诸多数学思想、办法得以实现。第2页第2页生物学航空宇宙滤波设计第3页第3页动力传播系统第4页第4页数学模型(MathematicalModel)

数学建模（MathematicalModeling)1.1数学应用与数学建模第5页第5页对于一个现实对象，为了一个特定目的，依据其内在规律，做出必要简化假设，利用适当数学工具,得到一个数学结构数学模型(MathematicalModel)

数学模型是实际对象一个抽象模拟，它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实对象中数量关系。第6页第6页数学建模（MathematicalModeling)建立数学模型全过程（包括表述、求解、解释、验证等）第7页第7页数学建模全过程现实对象信息数学模型现实对象解答数学模型解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学办法求得数学模型解答将数学语言表述解答“翻译”回实际对象用现实对象信息检查得到解答实践现实世界数学世界理论实践第8页第8页1.2数学建模基本问题数学建模办法数学建模基本过程数学模型分类如何学好数学建模数学建模竞赛第9页第9页测试分析办法：对客观事物特性不能准确结识，只能通过对问题观测数据测量和分析，找到与数据吻合最好模型。如：回归分析办法，方差分析办法等。数学建模办法机理分析办法：依据对客观事物特性结识，分析其因果关系，通过推理分析得到数学模型。如：微分方程办法，最优化办法等。第10页第10页数学建模基本过程1.模型准备理解问题实际背景，明确建模目的，搜集掌握必要数据资料。2.模型假设在明确建模目的,掌握必要资料基础上,

通过对资料分析计算,找出起主要作用原因,经必要精炼、简化,提出若干符合客观实际假设。

3.模型建立在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系,建立相应数学结构——即建立数学模型。

4.模型求解选择适当办法（解析法、数值法、画图法等）求解数学模型。

5.模型分析与检查对模型进行理论或计算分析，并用实际数据检查是否符合实际。

在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

实体信息(数据)假设建模求解验证应用第11页第11页数学模型分类分类原则详细类别建模目的描述、优化、预报、决议…对某个实际问题理解进一步程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量特性连续型模型、离散型模型或拟定性模型、随机型模型等建模中所用数学办法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题实际范围人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等第12页第12页如何学好数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大体有章可循艺术无法归纳成普遍合用准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人做过模型

亲自动手，认真做几种实际题目第13页第13页数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一次，时间在2月初第一个周五至下周二，共96小时。三名学生构成一队参赛，要完毕以包括数学建模全过程为素材撰写论文（英文）。全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共72小时。三名学生构成一队参赛，要完毕以包括数学建模全过程为素材撰写论文。第14页第14页1.3

数学建模示例1.3.1

稳定椅子1.3.2

商人安全过河1.3.4

人口增长预测1.3.3

传送系统效率第15页第15页1.3.1稳定椅子问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿同样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。椅子能在不平地面上放稳吗？问题第16页第16页模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)对称性用(对角线与x轴夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性两个距离xBADCOD´C´B´A´第17页第17页f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：

f(),g()是连续函数;对任意，

f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.

证实：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来模型构成第18页第18页模型求解给出一个简朴、粗糙证实办法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g连续性知

h为连续函数,据连续函数基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).由于f()•g()=0,因此f(0)=g(0)=0.建模关键:假设条件本质与非本质考察四脚连线呈长方形椅子和f(),g()拟定评注和思考:第19页第19页问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河任一岸,一旦随从人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河方案由商人决定.商人们如何才干安全过河?问题分析多步决议过程决议~

每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员要求~在安全前提下(两岸随从数不比商人多),

经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)1.3.2商人安全过河第20页第20页模型构成yk~第k次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~过程状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上商人数vk~第k次渡船上随从数dk=(uk,vk)~决议D={(u

,v)u+v=1,2}~允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk

+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按状态转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决议问题xk~第k次渡河前此岸商人数设第21页第21页模型求解xy3322110

穷举法~编程上机

图解法状态s=(x,y)~16个格点

~10个点允许决议~移动1或2格;

k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案规格化办法,易于推广考虑4名商人各带一名随从情况d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}评注和思考:第22页第22页传送带挂钩产品工作台背景1.3.3

传送系统效率

在机械化生产车间里你能够看到这样情景：排列整洁工作台旁工人们紧张地生产同一个产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干个钩子，工人们将产品挂在通过他上方钩子上带走。第23页第23页1.3.3传送系统效率问题

衡量这种传送系统效率能够看它是否及时地把工人们生产产品带走。显然在工人数目不变情况下传送带速度越快,带上钩子越多,效率会越高。我们要结构一个衡量传送系统效率指标,并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目,钩子数量等参数关系.传送带挂钩产品工作台第24页第24页问题分析系统稳态生产系统周期性运转传送系统效率一个周期效率一个周期内传送带运走产品数占产品总数百分比作为衡量传送带效率数量指标1.3.3

传送系统效率第25页第25页问题分析每人做完一件产品后,要么恰有空钩通过他工作台,使他可将产品挂上运走,要么没有空钩通过,迫使他放下这件产品并马上投入下件产品生产。工人们生产周期即使相同,但稳态下每生产完一件产品时刻不会一致,能够认为是随机,并且在一个周期内任一时刻也许性相同。系统稳态生产系统周期性运转工人们生产周期(生产一件产品时间)相同1.3.3

传送系统效率第26页第26页系统稳态生产系统周期性运转工人们生产周期(生产一件产品时间)相同

生产完一件产品时刻是随机且在一个周期内任一时刻也许性相同问题分析挂上产品时刻也是随机一个周期内传送带运走产品数占产品总数百分比作为衡量传送带效率数量指标1.3.3

传送系统效率第27页第27页模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产互相独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品时刻在一个周期内是等也许；3）一周期内m个均匀排列挂钩通过每一工作台上方，到达第一个工作台挂钩都是空；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩,若这只挂钩是空,则可将产品挂上运走；若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统。1.3.3

传送系统效率第28页第28页模型建立为拟定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个以便?传送带效率=一周期内运走产品数s(待定)生产总数n（已知）=s/n=D

定义:从工人角度考虑,

工人能将自己产品挂上钩子概率与工人所在位置相关在稳态下钩子没有顺序，处于同等地位从钩子角度考虑1.3.3

传送系统效率第29页第29页模型建立从钩子角度考虑：若求出一周期内每只挂钩非空概率p，则s=mp

设每只挂钩为空概率为q，则

p=1-q

设每只挂钩不被一工人触到概率为r，则q=rn

设每只挂钩被一工人触到概率为u，则

r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台上方如何求概率P

1.3.3

传送系统效率第30页第30页模型解释若(一周期运营)挂钩数m远不小于工作台数n,则

传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比)定义E=1-D

(一周期内未运走产品数与生产总数之比)提升效率路径：

增长m当n远不小于1时,E

n/2m~

E与n成正比,与m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)1.3.3

传送系统效率第31页第31页背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增长1.3.4人口增长预测目第32页第32页指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式N(t)~时刻t人口基本假设:

人口(相对)增长率r

是常数,今年人口N0,年增长率r=b-d，k年后人口伴随时间增长，人口按指数规律无限增长第33页第33页指数增长模型应用及不足

与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合

适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地域人口增长规律

不能预测较长期人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐步下降)第34页第34页阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降原因：1.资源、环境等原因对人口增长阻滞作用2.

阻滞作用随人口数量增长而变大假设r~固有增长率

(N很小时)Nm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是N减函数第35页第35页0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)~S形曲线,N增长先快后慢N0Nm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第36页第36页

阻滞增长模型有一个稳定平衡值Nm,这比指

数增长模型更符合实际。利用美国人口统计数据，检查上述两个模型

取r=0.03134,Nm=197273000,得到计算结果

显示逻辑增长模型与实际误差更小。

这里参数r和Nm是专家预计给出，事实上，

它们包括N0都能够通过参数预计得到。阻滞增长模型(Logistic模型)第37页第37页预计中参数r和N0对模型取对数，得

用线性最小二乘法（利用计算机计算）可求得

参数a和r，从而得到N0和r。利用美国1790-19数据，算得N0=4.1184（百万),r=0.2743（每）阻滞增长模型(Logistic模型)第38页第38页预计中参数Nm,r由

利用数值微分可算出右端值，再利用线性最小

二乘法，即可求得r和s。利用美国1860-1990年数据计算得Nm=392.0886,r=0.2557第39页第39页1.4插值法与最小二乘法简介在实际中经常会碰到这样问题：不知道函数y=f(x)详细表示式，只能通过试验测量得到该函数在一些点函数值，要求一个函数使其通过这组点，即这就是插值问题。函数称为插值函数，称为插值节点。1.4.1插值办法第40页第40页已知函数在k+1个互异点函数值，要求一个次数小于等于k多项式使得

称为插值多项式。多项式插值第41页第41页常见多项式插值有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。Lagrange插值多项式含有下列形式第42页第42页k=1时，Lagrange插值也称为线性插值其几何意义就是通过两点直线.第43页第43页k=2时，Lagrange插值称为二次插值其几何意义为通过三点抛物线。第44页第44页多项式插值缺点：当插值节点较多时，高次插值会出现计算不稳定，如Runge现象等。第45页第45页1.4.2拟合法当是由试验和观测得到，其函数通常是由表格给出，若要求曲线

迫近函数，通常由于观测有误差，插值条件不一定成立。最小二乘法基本思想是：寻找最适当模型参数，使得由模型给出计算数据与已知数据整体误差最小。第46页第46页假设已建立了数学模型其中，是模型参数。已有一组已知数据用最小二乘法拟定参数c，即是求c

使最小。称为数据最小二乘拟合函数。第47页第47页最适当

c应满足必要条件第48页第48页1、线性最小二乘法当函数y=f(x,c)是参数c线性函数时，即最小二乘法称为线性最小二乘法。其中是一组线性无关函数，这组函数选取直接影响拟合效果。第49页第49页比如，当选取时，模型函数