2022年医学专题-研究生数值分析(9)矩阵的条件数和病态线性方程组

§3矩阵的条件数与病态线性方程组

判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小(dàxiǎo)来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差很远。解为例如(lìrú)方程组①第一页，共十五页。方程组

的解为它们的解变化很大，这样的方程组称为(chēnɡwéi)“病态”方程组。②

下面，我们(wǒmen)给出方程组“病态”，“良态”概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方法。第二页，共十五页。为找出刻画方程组AX=b①（A非奇异，b≠0）病态(bìngtài)程度的衡量标准，我们来分析A，b初始数据微小变化对解X的影响。由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b的初始数据微小变化(biànhuà)引起解的很大变化(biànhuà)，这样的方程组称为“病态”方程组。1矩阵(jǔzhèn)的条件数与线性方程组的性态第三页，共十五页。（1）仅b有小扰动(rǎodòng)δb设方程组AX=b+δb的解为即②-①得

即

于是(yúshì)有另一方面，由①得

且故②③④第四页，共十五页。由③与④有表明解的相对误差(xiānɡduìwùchà)不超过右端向量b的相对误差的倍。⑤第五页，共十五页。（2）仅有小扰动(rǎodòng)δA（设A+δA仍可逆）设方程组的解为即⑥-①得即于是(yúshì)有⑥第六页，共十五页。因A+δA可逆且b≠0从而(cóngér)X+δX≠0，故由上式可得倍。⑦表明解的相对误差(xiānɡduìwùchà)不超过系数矩阵A的第七页，共十五页。分析表明，数反映了方程组AX=b的解对初始数据A，b扰动(rǎodòng)的灵敏度，可用来刻画方程组的病态程度。我们称数为矩阵(jǔzhèn)A的条件数，记作即第八页，共十五页。与由线性代数(xiànxìnɡdàishù)知识，有

通常(tōngcháng)使用的条件数有在行模意义下的条件数与在谱模意义下的条件数，即第九页，共十五页。定义

设A是非(shìfēi)奇异矩阵，若则称方程组AX=b为病态(bìngtài)方程组；若相对(xiāngduì)地小，则称方程组AX=b为比如矩阵及其逆矩阵良态方程组。第十页，共十五页。在行模意义(yìyì)下的条件数因此(yīncǐ)称方程组为病态(bìngtài)方程组。第十一页，共十五页。

在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断方程组是否病态。例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态： （1）用选主元消去法消元中出现小主元； （2）系数行列式的绝对值相对(xiāngduì)地很小； （3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无一定规律； （4）出现了相对地很大的解。

利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算矩阵的条件(tiáojiàn)数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。第十二页，共十五页。

方程组的病态性质，是方程组本身的特性(tèxìng)。对于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精确的解，而且病态越严重，求解越困难。第十三页，共十五页。练习(liànxí):求矩阵A的条件数，其中第十四页，共十五页。内容(nèiróng)总结§3矩阵的条件数与病态线性方程组。§3矩阵的条件数与病态线性方程组。判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以(kěyǐ)相差很远。下面，我们给出方程组“病态”，