导数应用题答案

.如图，抛物线y=-%2+9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上(点C在第一象限)，CD〃AB.记ICDI=2x，梯形ABCD面积为S.(I)求面积S以x为自变量的函数式；(11)若S<k,k为常数，且0<k<1,求S的最IABI大值.值.TOC\o"1-5"\h\z(工)解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC=-x2+9 1分点B的横坐标x满足方程-x2+9=0，解得x=3，舍去x=-3 2分B B B B所以s=1(ICDI+1ABI)-y=i(2x+2x3)(-x2+9)=(x+3)(-x2+9)....4分2 c2由点C在第一象限，得0<x<3.所以S关于x的函数式为s=(x+3)(-x2+9),0<x<3 5分0<x<3,(口)解：由及0(口)解：由及0<k<1，得0<x<3k. 6分t己f(x)=(x+3)(-x2+9),0<x<3k,(则f(x)=-3x2-6x+9=-3(x-1)(x+3). 8分令f(x)=0，得x=1.①若1<3k，即3<k<1时，f(x)与f(x)的变化情况如下:(0,1)(1,3k)(0,1)f(x) /极大值、所以，当x=1时，f(X)取得最大值，且最大值为f(1)=32 11分②若1>3k，即0<k<3时，f(x)>0恒成立，所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1-k2) 13分综上，3<k<1时，S的最大值为32;0<k<3时，S的最大值为27(1+k)(1-k2)..统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)，关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：13y= x3-x+8(0<x<120).128000 80 已知甲、乙两地相距100千米．(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?州二2.5解：(I)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，13( 义403-一义40+8)*2.5=17.5(升)．要耗油128000 80(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．100(II)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，1 80015 x2+1 80015 x2+ --(0<x<120),1280 x 4h'(x)=x640800x2x3-803640x2(0<x<120).h(x)=( x3-—x+8). 依题意得 128000 80x令h'(x)=0,得x=80.当xe(0,80)时，h'(x)<0,h(x)是减函数;当xe(80,120)时，h'(x)>0,h(x)是增函数..•当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120］上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．19.已知函数f(x)=ex，点4%0)为一定点，直线x=及中a)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N，记4AMN的面积为S(t)。(1)当a=0时，求函数S(t)的单调区间；(2)当a>2时，若310e［0,2］，使得S(10)>e，求实数@的取值范围。7.解：(1)因为S(t)=111-aIe'，其中t丰a当a=0,S(t)=—111e'，其中t丰02当t>0时，S(t)=-te；S'(t)=1(t+1)e',22所以S'(t)>0，所以S(t)在(0,+s)上递增，当t<0时，S(t)=-1te;S'(t)=-1(t+1)e',2 2令S'(t)=-1(t+1)e'>0，解得t<-1,所以S(t)在(-8,-1)上递增令S'(t)=-1(t+1)e'<0，解得t>-1,所以S(t)在(-1,0)上递减综上，S(t)的单调递增区间为(0,+8),(-8,-1)(II)因为S(t)=111-aIe'，其中t丰a2当a>2,te[0,2]时，S(t)=1(a-1)e'2因为310e[0,2]，使得S(10)>e，所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于eS'(t)=-1[t-(a-1)]e，,令S'(t)=0，得t=a-12当a-1>2时，即a>3时S'(t)=-1[t-(a-1)]e'>0对te(0,2)成立，S(t)单调递增所以当t=2时，S(t)取得最大值S(2)=1(a-2)e212令式(a-2)e2>e，解得a>-+2,2e所以a>3当a-1<2时，即a<3时S'(t)=-1[t-(a-1)]e'>0对te(0,a-1)成立，S(t)单调递增S'(t)=-1[t-(a-1)]e'<0对te(a-1,2)成立，S(t)单调递减所以当t=a-1时，S(t)取得最大值S(a-1)=1ea-1令S(a-1)=—ea-1>e，解得a>ln2+22所以ln2+2<a<3・S・・ ■■■ ■■综上所述，ln2+2<a20、已知函数f(Q=ax3+bx2-3x在X=±1处取得极值。(I)求函数£&)的解析式;(II)求证：对于区间［―1,1］上任意两个自变量的值\，x2,都有f(X1)-f(x21V4；(川)若过点A(1,m)(mW-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.(I);(x)=3ax2+2bx-3，依题意f，(-1)=:(1)=0, 2分解得a=1,b=0.TOC\o"1-5"\h\z「•f(x)=x3-3x 4分(II)Vf(x)=x3-3x••f,(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1<x<1时，f,(x)<0，故f(x)在区间［-1,1］上为减函数，f(x)=f(-1)=2,fi(X)=f(1)=-2 6分••・对于区间［-1,1］上任意两个自变量的值5,x2,If(x1)-f(x2)1<Ifmax(x)-fmin(x)=4 8分(III)F(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),;曲线方程为y=x3-3x，，点A(1,m)不在曲线上.设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x3-3x0.因f'(x)=3(x2-1)，故切线的斜率为0 0

x3—3x—m3(x2—1)=—0 0 TOC\o"1-5"\h\z0 x—1 ，0整理得2X3—3x2+m+3=0.0 0•••过点A(1,m)可作曲线的三条切线，「•关于X0方程2x3—3x0+m+3=0有三个实根 10分设g(x0)=2x3—3x2+m+3，贝口g‘(x0)=6x2—6x,由g'(x0)=0，得x0=0或x0=1.・•・g(X0)在(-8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.・•・函数g(x0)=2x3—3x0+m+3的极值点为x0=0,x0=1 12 分.・关于X0方程2x3—3x2+m+3=0有三个实根的充要条件是0 0gg(0)>0g(1)<0，解得-3<m<-2.故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2 14分八/、a—213(18)已知函数f(x)=ax+ +2—2a(a>0).x(I)当a=1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(II)求函数f(x)的单调区间；(III)若f(x)三2lnx在［1,+s)上恒成立，求a的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z1 1 ..(1)当a=1时，f(x)=x—-,f(x)=1+一 2分x x23 5 八f(2)=-,f'(2)=4 3分所以，函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y—3=5(x—2)24即：5x—4y—4=0 4分(II)函数的定义域为：{xIxw0}

a—2ax2+(2—a),f'(x)=a - (a>0) 2分x2x21a—2x=- ,x1aa2当0<a<2时，f(x)>0恒成立，所以，f(x)在(-8,0)和(0,+勾上单调递增当a>2时，令f(x)=0，即:f,(x)>0,x>x或x<x;f,(x)<0,x<1a—2x=- ,x1aa2所以，f(x)单调递增区间为(-8,-［,^)和(^^-,+8),单调减区间为aaaa(—、3,0)和(0,：1). 4分a aa(III)因为f(x)>2lnx在［1,+8)上恒成立，有ax+a~-+2—2a—2lnx>0(a>0)x在［1,+8)上恒成立。a2所以，令g(x)=ax+ +2—2a—2lnx,xa—22ax2—2x—a+2(x—1)［ax+(a—2)］TOC\o"1-5"\h\z贝Ug'(x)=a = = .x2 x x2 x2令g,(x)=0,则x=1,x=—a_2 2分1 2a若-"工=1,即a=1时，g'(x)>0，函数g(x)在［1,+8)上单调递增，又g(1)=0a所以，f(x)>2lnx在［1,+8)上恒成立； 3分若—a―2>1,即a<1时，当xe(0,1),(—口,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；aa当xe(1,—a-2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减a所以，g(x)在［1,+8)上的最小值为g(—a—2),a因为g(1)=0,所以g(—二)<0不合题意. 4分a——<1,即a>1时，当xe(0,—9),(1,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，aa当xe(—a-2,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以，g(%)在［1,+8)上的最小值为g(1)又因为g(1)=0，所以f(x)>2ln%恒成立综上知，a的取值范围是［1,+8).ln%14已知函数f(%)= 一%(I)求函数y=f(x)在点(1,0)处的切线方程；(II)设实数k使得f(%)<k%恒成立，求k的取值范围；1(III)设g(%)=f(%)-k%(keR)，求函数g(%)在区间［—,e2］上的零点个数.eln%(I)f(%)=一%%22%2TOC\o"1-5"\h\zfr(D=1 ……3分曲线y=f(%)在点(1,0)处的切线方程为y=%-1 ……4分f(%)ln% 1-2ln%(II)设h(%)= = (%>0),则h(%)= (%>0)% %2 %3令h'(%)=-~"n%=0，解得：%=<e 2分%3当%在(0,+8)上变化时，h(%),h(%)的变化情况如下表:%(0,右)(7e,+8)h'(%)+0h(%)/XTOC\o"1-5"\h\z由上表可知，当%=<e时，h(%)取得最大值— 4分2e由已知对任意的%>0,k>f(%)=h(%)恒成立%所以，k得取值范围是(-,+»)。 ……5分2ef(x)lnxTOC\o