高中数学课本中的定理、公式、结论的证明

aaaaaa数学课本中定理、公、结论的证aaaaaa数学必修一第一章集（无）第二章函（无）第三章指函数和数函数1对数的运算质：如果a>0，1，M>0，>0，（1loglogMlogN；aaM（2loglogM-logN；

那么（3loga

n

n(R)．a根据指幂的运算性证明对的运算性质证明性）loglogNq，由对数的定义可得aaMNpp，logMN)，a即证logMN．a

Mp，，证明性）loglogNq，由对数的定义可得aap∴，aMlog，

M

p

，N

q

，M即证logM-logN．证明（性3）

loga

，由对数的定义可得

M

p

，∴

nnp

，∴

np

，即证得

nlogM

．

第四章函应用（）

数学必修二第一章立几何初直线与面、平面与面平行垂直的判定理与性定理的证明1直线与平面行的判定理若平面一条直线与平面内条直线平行,则该线与此面平行．2平面与平面行的判定理如果一平面内有两相交直都平行于另个平面那么这两个面平行

3直线与平面直的判定理如果一直线和一个面内的条相交直线垂直，么该直线与平面垂．4平面与平面直的判定理如果一平面经过另个平面一条垂线，么这两平面互相垂．证明：设直l的方向向量为a,平法向量分别为，（建立立体几何问题与量之的联因l所以a||r，r(kR（把立体几何问题转化为空间向量问l

auu=0（立体何问转化为空间向量问所kur=0u（把空间向量的结果化为何结所以平与平互相垂直，5直线与平面行的性定理如果一直线与一个面平行那么过该直的任意个平面与已平面的线与该直线平．

6平面与平面行的性定理如果两平行平面同与第三平面相交，么它们交线平行．7直线与平面直的性定理如果两直线同垂直一个平，那么这两直线平．另、平与面直性定

如两平互垂，么一平内直他的线直线直另个面如图所示:已知ABAB于B。求证：AB证明：在平直BCMN，则ABC二面角平面角，=90，ABBC又AMN，三垂定及定另法证：已知：如，直l平面交与点Al在的射影OA直于求证：l

a证明：过作直于∵α

∴

又，∩∴平面POA∴⊥l

（垂定的定）若面的条线直平外的条线则它直这直在平内投第章解几何步无

数学必修三数学必修四第章诱公

三函公式：

cos(

tan(

如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度1圆）交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为

yP´(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα

O

x由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式，

P′(x，-y)(4-5-2)公式：

sin(

cos(

它刻画了与角的正弦值（或余弦值）之间的关系这个关系是以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆P(x,y)交于点P(，y)，则角终边的反向延长线，角的终边

180

M与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin()=-y,)=-x,所以:sin()=-sin，+)=-cos．

MOxP′(x，(4-5-1)由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱公式公式一设为任意角，终边相的角的一三函数的相等：sin2kπ+）=sinαk∈zcos（π+）αkztan（+）=tanαkz公式二sin（π+α）sinαcos（π+）－（πα）=tan公式三－α）－公式四利用公式和公式可以得到π-α与α的三函数值之间关系：sinπ－α）αcos（－α）－αtan（－α）=tan公式五利用公式和公式可以得到2π-与α的三角函数值间的关：sin（π－α）=－cos（π－α）tan2－α）－tanα公式六π与α的三角函数之间的关系sin（/2+α）cosπ/2+α）=sintan（π/2+α）－cotαsin（/2－α）αcos（/2α）tan（πα）=cotα

，使得a,b①，②得：ab，使得a,b①，②得：ab第二章平向量1共线向量定（p823内容：图A,B,C为平面内三点，且A,B不重合点P平面内一点，若C在PC线上，则BA证明：题意，BC与BA共线，,BAPAPB

A

PB

()

B化简为

PC

2平面向量基定理(p83)内容：果

e,1

是同一面内的两个共线的量，那么对这一平内的任意一量，存在唯一一对实数

a1212证明：图过平面内一点O，作

,,OC1

，过点C分别作直线和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得

OM,OB12

BONOCOAOB2

即

a.1

M

A3平行向量定（p88内容：两个向量（坐标轴平行）平行则它们应的坐标成例；若两个量相对应的标成比，则两向量行，证明：设是非零向量，且

ax),x,y)1a//b，则存在实

b

，且由平面向量基本定理可知ijij)ij12y2

②①

21若

0,y02

（即向量不与坐标轴平行）则

121

4余弦定理证p93)内容：在中，

a,,c

分别为

,BC

的对边，则

22

a

22

22

bcacc22C证明：图在中，设aBCACABACAB

ACABcosAB

2

2

bc同理可：

cosA2ab

所以

2A2Bcacos5点到直线距公式证（p99向量法

0000定义法证：如,根定义，点M到直线l的离是点到直线l的线段的长，图1，设点直线l的垂线为

l

'

，垂足Q，由l'l可知l'的斜率为

l

'

的方程

y(x)与l联方程组解得交|

B22yABxBC00A2xAByyBC)y)

y

l

l

xyBC)A

)

(AxBy()

((A)

()

图1

Ax|A第章

三恒变、两差余公证

cos（﹣）=coscosβ+sinαsin证明：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β，且α＞β．若α，β均为锐角时，设它们的终边分别交单位圆于点P1（cosα，sinαP2（cosβ，sinβ有两单位向量β，根据向量数量积的性质得：又根据向量数量积的坐标运算得：=cosαcosβ+sinαsinβ

，它们的所成角α﹣①②由①②得cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ

③

由诱导公式可证明当α，β均为任意角时③式仍成立，2两角和的余公式证cos(

=略）3两角和（差的正弦式证明内容：

sin(

,sin(sin

cos

证明：cos[

cos222

sin

sin

cos[

sin(22

sin

4两角和（差的正切式证明内容：

tan

，

tan1tan证明：sin(sincossintan(cos(sin

coscoscoscos

cossinsincoscos

tantan

tan

tan(

sincos

cos

sin

coscoscos

sinsincos

tan

tantan考题（川理19）eq\o\ac(○,1)证两角和余弦式

:cos(

cos

sin

eq\o\ac(○,2)由

推导两和的正弦公

:sin(

sin.解：①图，在直角标系xOy内做单位O，并出角β与β，使角α的始边为Ox，交O于点，终边交1⊙O于P；角的始边为OP，终边O于P；角β的始边为223OP终边交O于P则P（，），（，），1412P（（α+，sin（α+β，（-β）（-β）34

由PP=PP两点间距离公，得1324[cosα+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（β）-cos]

2

+[sin-β）-sinα]

2展开并理得：2-2cos（α+）=2-2cosαcosβ-sinsin）∴α+β）=cosαcos-sinsinβ；②由①得cos（π-α）=sin，sinπ2-）sinα+）-α+β）]=cos[（-）+-β）]=cos

-α）-β）（-）sin（-β）=sincosβ+cosαsinβ；

数学必修五第章

数1等差数通公已知{}为为d{}为n1aa(nd证明：由等差数列的定义可知:说明：“叠加法”明等差列的通项公，需要证对同样成2等差数

前项和内容：

是等差列公差为，为

，

为其前n项和，则nn

nn(ad122

证明：题意，1(1证明：题意，1(1)SqqSqq反过来写为：

a)a)d11a)ad).......)nn

①②①+②：2

n

a.......个所以，

Sn

(a)1

③，把

and

代入③，得3等数通公已列{}为a公为q列{a}为n1a

类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明3等比数前和内：

是数列，公，首项为a1，S为n前，

n

=

,(1qa11

n

)

,(q证明：

San11

2

.......1

n

①nqq2.......q②n111①—②：n11，aqna(1n11当时，n③把1代③中，na当时，很明显n

n

a11所以，

n

=

,(1qa(1)111

,(q

1nn1nn考（陕西文

17.设S表数列{}的前n项和.(Ⅰ)若{}为差数列推S的计算公式(Ⅱ)若a,且所有正数,有a解：(Ⅰ设公差为则n

.判{}是为等比数列.

12nn2

)ann

)a)1n2()Sn

nan1nn()22

.（北师大版学必修五--本证明方）(Ⅱ)

a0,由题知q

，N*，n

11nq11

n

nnaq

nn

nN*

.所以,

数列{}是首项a,比的等比数，12（2013

陕理

设{}是比为q的等比数列(Ⅰ)推导{}的项和式(Ⅱ设≠1,证数列{不是等比数.解：(Ⅰ分两情况讨论，①

当，{}是首项为a的常数数列，所以anan11②

当，an

n

qSqaqan1

n

qa

n

.上面两式错位相:

1-qS)n1213n

n

)qa.n1nqa(1S1n11-q1-

n

)

，③综上，

,(1

（北师大版学必修五--本证明方）

(Ⅱ)使用证法，设{}公比≠1的等比数列,假设列{是等比数列.①当

*使an

=0成立，则{不等数列，②当

N*，使a0

成立，则

n1为常数an当时111

，这与题目条件≠1矛盾，③综上两种情况，假设数列{是比数列均不成立，所以当q≠1时数列{a不等比数列，第章解角1正弦定证明（p45内容：一个三角形，各边它所对角的弦的比等。abcsisii即

C

a已知：中，

a,,c

分别为

,BC

的对边

A

D

B求证：

abcAB证明：方法1利用三角的高证正弦定理（1）

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，

RtRt根据锐角三角函数的定义，有

sinA

sin

，由此，得

absinAsin

，同理可得

sin

sin

，a故有sin

A

bsin

B

csin

C从而这个结论在锐角三角形中成立.

C（2）ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB延长线于点D根据锐角三角函数的定义，sinsin，sin，

a由此，得

a

A

bABC

，同理可得

csin

C

b

A

BDac故有sinAABC

.（3）在中，

sinA

,sinBcabsinsin

，c.sinsina由(（）可知，ABC中sinA方法外接圆明正弦理

bcsinC

成立.在△中,已=,b,AB=c,作△ABC的外圆,O为圆连结并长交圆于′,设BB=2R.根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB=90°=，∴sin=sinB=sinC

c2R∴

cC

R同理,可得

aR,sinsin

R∴

abRsinBsinC这就是说对于任意的三角,上关系式均成立因此我们得到等式aBsinC方法向量法明正弦理

方法

等积（）2

余弦定证明（p49内容三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，即证：法量证方法2三形明（程下题考（西2011年文、18叙述并明余弦定理解余弦定理角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

2222证法一如图a

BCBCABAC)ACABABACAB

2

2即

2

2

2

同理可b

2

2

2

c

2

2

2

ab证法二已ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,A为原点所在直线为x轴，建立直角坐标系，(bAbA(,0),a2bcos2A)

2

2

2

Abccos

2

2

sin

2

A2cos同理可b

2

2

2

c

cos第章

不式（无

数学选修2-1第一章常逻辑用（无）第二章空向量与体几何1空间向量基定理：2线面垂直判定理（p40）如果一直线和一个面内的条相交直线垂直，么该直线与平面垂．

bbcn3面面平行判定理（p40）如果一平面内有两相交直都平行于另个平面那么这两个面平行4三垂线定理p41例3）考题（西理

18题

）（1如图证明命是平内的一条直线的一条直垂直c直的投影，abc为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解析）证一如图过线b上点作平面

的垂线设直线，，，的方向向量分别是，，，，

则，，共面.根据平面量基则，，共面.根据平面量基，存在实数，使得，因为，以n，故，从而bAPOO.直线，，平面,cPAO是平面内的一条直线，是面外一条直线（不垂直于bnc

，则aa

，又因为，，以

aac

.证二

如图，记

b

,

P

为直线

上异于点的意一点过作垂足为,则OcPOaa

，PAO

,a

平面，又平，a

ac

.（Ⅱ）逆命题为b

是直线b的投影，若a，c第三章圆曲线与程

.逆命题为真命题1椭圆标准方

（）

的推导解、以

和

所在直线为轴线段

的中点为原点建立直角坐标系；（系设由

是椭圆上任意一点，设，则，（设点得；（列、换移项平方后得