高中数学 解数学题不可不知道的十四个优先策略

解数学题不可不知道十四个优先策略湖南宁乡一中

黎国之新课程改革的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上，学生是自主学习锻炼能力的主体，教师不是知识的灌输者，而是学习过程的组织者、参与者和引导者，那么，如何引导才能达到培养学生能力的目的？教师心中要有明确的目标。本文认为，从引导学生培养解决问题的策略这个角度入手是一种有效的做法，因为，策略是哲学层次的东西，可以说是能力的能力。下面从14方面展开论述。1、好心态优先的策略。沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细，有大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出，否则只会“逻辑乱套，直觉失效，没有题感，死得很惨【例用长度分别为2、、4、5、6（单位：cm）的5细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断够得到的三角形的最大面积为多少？A、85cm

2

B、6cm

2

C、355cm

2

D、20cm

2

（06年全国卷Ⅰ，11）【解析于绝大部分考生来说，这是一道难度较大的选择题，因为你去安排各边的长度时，组合的可能有许多，因此面对命题者用此题“把关考生选择放弃思考。其实由题设知道，这个三角形的周长是定值20，周长是定值的三角形在高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，因此对于直觉比较好的学生来说，会意识到只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时面积最大，也就是说，形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积610cm

2

，选B。【练习数f（x）=

19i

︱x-i︱的最小值为（）A、190B、171C、90D、45（06年全国卷Ⅱ，122、审题优先的策略。审已知，审隐含条件，审解题目标，审命题意图。要牢记审题口诀“逐字逐句逐标点，边读边画边联想特别寻找题目中的关键词，还有那些括号面的注记式的内容常常是被解题者忽略的，却肯定是命题者和阅卷者看重的。【例2曲线

xy（a＞＞0）的焦距为，直l经过(和ba22且点（1，0）到直l的距离和点（，0）到直l的距离之和s的取值范围全国）

45

c，求双曲线的离心e【解析果在审题时没有注意a＞1这个条件（很多人当＞0看待）就按部就班地去做，也可以做出来，但解题过程相当繁琐；而利用这个条件，则马上就知道点10）和（-1，0）位于直l同侧，且关于原点对称，所以它们到l的距离之和等于原点l距离之和的倍，条件

45

c等价2，以后可以顺利得aba2)这个关

252键等式，进而不难解e,【练习y=（-2x+

3

）+1的单调递减区间。3、设计优先的策略。审题完毕，也莫着急，易见之途，常是弯的。尤其是解析几何中的问题，表面上看思路并不难，但如果贸然动笔，则很可能运算繁难，正所谓“望山跑煞马”也。解题不设计，越解越生气案若繁难，就得换主意事实上，按照匈牙利数学·波利亚在其名著怎样解题中的说法，解题中必须先设计方案，再动手解决（执行方案在设计出最优方案以后再动手，才不至于浪费时间。【例3知双曲线

xy（a＞＞）的离心ea22

，2一条准线方程为x，直l与双曲线右支及双曲线的渐近线2交于AB、、D四点（如图明：|AB|=|CD|【解析想直接证简直比登天还难！但若认真设计，意识到只要证明线段AD与的中点重合，则豁然开朗！过程从略，请读者自己试试。xy【练习证：椭圆9

与直kxy有两个交点。4、定性优先的策略。何谓定性？就是在大方向上对问题的类型和性质进行识别与判断，首先是用定义去进行比照。例如，这个问题是排列问题还是组合问题？要看它是有序的还是无序的；这个问题是应该用加法原理去做还是应该用乘法原理去做？要看它是分类完成还是分步完成；如果是概率统计方面的问题，则它是四大概型（等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验中某事件发生k次的概率——贝努利概型）中的哪一类型？离散型随机变量是服从四大分布（一点分布、两点分布、二项分布、几何分布）中的哪一种分布？给你一个立体图形或者圆锥曲线图形，它是已经固定了还是可以变化？若是可以变化，主变量是什么？【例4一点O引出四条射线，它们两两所成的角相等，记

，os

。【解析是一道小题，但是忽悠过不少人。首先你要意识到这是一个空间问题而非平面问题，然后你不要以为这四条射线都往同一个大方向延伸，而要领悟到它们是在空间“均匀”发散的，这样，你的思维方向就对了。这个问题等价于求甲烷分子（）的键角的余弦值，利用等体积法或者向量法不难求cos

1。3【练习知(1,2),BC则AB与的夹角等于。5、定位优先的策略。立体几何求二面角的大小，则它的平面角在哪里？在图中找出来就可以了还是需要作出来？使用三垂线定理解题，基本平面在哪里？它的“两足与足哪里？涉及圆锥曲线问题焦点在什么位置？在x上还是y轴上？中心在哪里？

1222根据图象求正弦函数或者余弦函数的解析式，需要求它的初相，那么它的第一零点在哪里？1222111【例5经过两P(P)的椭圆的标准方程。332【解析不知道椭圆的焦点在哪里，就想当然地以为其x轴上去求，是错误；知道焦点位置尚不明确而采用分类讨论去求是中策选择椭圆的统一表达式22合待定系数法去求，是上策。这就是说，不但要有优先定位的习惯，还要有善于定位的水平。y2x2答案：。15【练习图，AB是⊙的直径，点C在圆周上。⊙所在平面外的一点，且垂直面⊙O，∠ABC=，，。3假设有一只蚂蚁从A点出发沿多面体PABC的表面并经过棱PC到达点B则蚂蚁经过PC什么位置时路程最短？6、定义域优先的策略。在函数题时，这一条极其重要。如判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称对变量进行换元记“换元必换域的口诀比如令sinx+cosx=t，必须随即写上新变量t取值范围；复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域，等等。【例6函数y=lg(x的单调区间。【解析意先考虑定义域。【练习判断函数

2xx(

的奇偶性。7、定义法优先的策略。定义是知识的生长点，用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就有“回到定义去”的重要提醒句。【例7知椭圆9x内有一点A，焦点，请在椭圆上找一点P，5使∣PA∣+∣∣最小。35【解析把∣PF∣转化为P点到右准线的离就好办了。3【练习知函数的反函数y，_____;b（湖北）8、前提优先的策略用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等否则用单调性解决；涉及等比数列问题，它的公比的取值情形如何？凡是欲使用韦达定理或判别式解题，要先问方程的二次项系数是否为零？【例8函数

xx

2

的最小值。【解析由解析式变形

x2x2

(3)x2

x2

x

2

2得最

222222小值为2的答案，那就错了，原因在取“号的条件“43该运用单调性法求解，答案是。3

12

”无法满足！应【练习y

2()的最小值。9、范围优先的策略。在三角函数这个内容里面，有一句口诀叫做“求角先求函数值，总要优先定范围【例9知3siny-2sinx=0，求y取值范围。【解析果由条件

2

32

2

，122x2y2x2就错了！原因2222是没有考虑到条件等式中隐藏有sinx制约，应该由2sin

2

yx3in

2

x0先解x14的取值范围再求解，答案是。9【练习l定点（1与线段AB相交其中（，则直l斜率的取值范围是。10、特情优先的策略命题者出于考查严谨性的考虑，一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为问题的一个小分支，这个小分支本身并不难，但要求解题者不要漏掉。比如：分母为零吗？二次项系数为零吗？等比数列的公比为吗？直线方程的斜率存在吗？斜率为零吗？直线方程中截距为零吗？集合问题中考虑集合为空集的情形了吗？所给的集合是点集还是数集？端点值能够取到吗?求数列通项公式时，第一项是否不符合通项公式而需要单列呢？解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜”，就要养成特情优先的良好习惯。【例10国际旅行社共有翻译人员，其中5人只会英语，4人只会日语，另有2人既会英语又会日语现在从这11翻译人员中选4人担任英语翻译4人担任日语翻译，共有多少种不同的选派方法？【解析这里，两名既会英语又会日语的翻译人员是“多面手是特殊元素，因此优先考虑他们的安排是破题的关键。选派的人中没有1个多面手担任英语翻译的派法有C4种；选派的人中恰好有1个多面手担任英语翻译的派法13C种；选派的8人中6255恰好有个多手担任英语翻译的派法有C

C

种；因此共有

C

+

C

种。【练习知直l过点2，3）且x轴和y轴上的截距相等，求直l的方程。

22211、整体法优先的策略。此法堪称第五大数学思想，它是全局思想在解题中的体现。换元法解方程，等积法求三角形的高或求点面距离，用射影面积法求二面角的大小，解析几何中的“点差法”解决中点弦问题，解复杂方程组时的整体消元，平均值法解决有关排列组合数问题，等等，都是运用这一思想的体现。另外，三角题中有一类求值问题，用解二次方程组的方法则繁难之至，而用“凑角法”则很简单。2223【例11知：x、y为锐角，且（x+y），cosx=，求？51353【解析有结构眼光的人往往是想到联立方程组cosy-siny=y+sin去13求，费力不讨好；而整体意识好的人则会利用siny=sin-x（x+y）+（x+y）轻易得解。x22【练习点P5，1）的直l双曲线9AB中点。求直l的方程。

交于两A、，且点P是线段12、间接法优先的策略。间接法体现了思维的灵活性，所谓“间接法”有两层意思，一是从反面考虑问题，二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题，使用从反面考虑问题的间接法，一般都比较简便，这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显，在解有关排列组合问题上也是如此因是可以避免繁杂的分类讨论外解小填空题或者选择题优先使用从侧面考虑问题的间接法，是赢得时间的重要策略，这里就不赘述了。【例122+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A、0﹤a≤1。B、a﹤1。C、a≤1。D、0﹤a≤1a﹤0课本一册上P.43）【解析题如果用直接法求解，10分钟也未必解决得了。如果由选项看出0和11是两个关键数字以0代入得x=-符合要求排除AD再以1代入得x=-1符合要求，2所以选C。【练习】设函数f(x)

(xx)

为奇函数，_____（07宁夏）13结构优先的策略。解数学题是要有结构眼光，因为结构决定功能。无论是对式子的结构还是图形的结构，都要保持足够的敏感度。例如看到形如a

+b

的式子或者形如∣x-x12∣的式子，你是否想到它有表示“距离”的几何意义？看到形如分式之类的式子，你是a否想到它可以理解为斜率公式或者是定比分点公式？再如看到x这类式子你是否意识到它可能用上均值不等式。解析几何中，有些线段本身就是焦点弦或者是焦半径；立体几何中，有些图形是经典的三垂线结构或者三余弦结构，有些图形本身就是从正方体中切下来的一部分；等等。意识到这一点，往往就容易找到破题的口子。【例13知变量x、满足约束条件

y，则的取值范围是（）x

193（A）（B193

（C

（D宁）【解析

yx

看作斜率，容易求得答案。选A.【练习知0,则

的最小值是06海南）

x0,14、易处优先的策略解决任何问题，都不免会碰到困难，人们的一个策略就是先易后难，逐步解决。体现在对待数学问题的态度上，当然也是如此。数学解答题，常常是一设多问，难度逐渐加大，解答时候就应该遵循这个顺序，这本身就是一个“热身”的过程；另外，有些问题看起来比较复杂，我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题，以期从中受到启发进