高中数学第二章2.2三角形中的几何计算学习正余弦定理应当掌握的几类重要应用问题素材

学正余定应掌的类要用题学习正弦理的目的主要是决解三角形问题学习正弦定理的重点之处。而重中之重则是利用正余定解决实际问题利用正余弦定理解斜三角形在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识。一确两间距问例1.某海轮以30海里小时的度航行在A点测得海面上油井P在南偏东

，向北航行40分后到达B点测得油井P在偏东

30

，海

C轮改为北偏东60再行驶分钟达C点求P、C间距离．解：如图，在△ABP中，=30×=20，

B∠APB=

30

，∠BAP=

，

30由正弦定理，得：

BP=，=，sinsin1

A

解得BP=20．在△BPC中，BC=30×

=40，由已知∠PBC=

，=

PB2BC2

=

(202

=

(海里．所以P、C间距离为7里．点：题是在准确理解方位角的前提下合运用正定理把问题解决因此，用正弦定理解有关应用问题时注问题中的一些名称语如仰角俯角视象限角、方位角等．二解航中测问例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以海里小时的速度向正东前进，分钟又测得灯塔在它东30°。若此灯塔周围海里有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的

北危险？

西

15°

°

东A

B

C解析舰在A点处测到灯塔S在东15°的

南方向上艇行半小时后到达B得在30°的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°∠ASB=15°由正弦定理得，点S作SC⊥直线AB垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。

11这表明航线离灯塔的距离为7.5海，而灯塔周围10里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点：关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：1）准确理解题意清已知与所求其要理解应用题中的有关名词和术语；（）出示意图，并将已知条件在图形中标出；）析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。

A

北

°三判运物的行况例3．如图，甲船在A处乙船在A处南偏东45°向，距A有9nmile并20nmile/h的度南偏西15°向航行，若甲船以28n

B

°mile/h的度航行，应沿什么方向，用多少h能快追上乙船？解析：设用th，甲船能追上乙船，且在C处遇。在△中，AC=28t，，，设∠ABC=α，β。∴=180°－45°－15°=120°。

C根据余弦定理AC2AB2

，

t)2

，128

2

t27

，（4t－）（32t+9）9=0，得t=，（）。∴AC=28×=21，C=20×=15n。32根据正弦定理，得

sin

14

，又∵α=120°，β为角β=arcsin

22，又＜＜，14∴arcsin

3＜，甲船沿南偏东－arcsin的向用h以追上乙船。44点：海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的∠ABCAB边已，另两边未知，但他们都是航行的距离由两的航行速度已知，所以，这两边均与时t有。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的。四确最设方例4.某工厂生产主要产品后，留大量中心角为

60

，半径为的形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？

2222222222222222方一如图1，矩形有两个顶在半径OA上，设∠AOP

，则PM=a·sin

，∵扇形中心角为60∠PQO=正定理，得：

OPPQ=，sin(60即=

·a·sin(

60

－

)，∴矩形的的积为：S=PM·PQ=1

·sin=

·a≤

·a·(1－

1)=a，2当302－=1，取最大值1

a．方二如图2，矩形有两个顶分别在扇形的两条半径OAOB上，设∠AOM∠MRA即=2a·sin，

RMa×60定理：=sinsin150

，又

OR=，=∴形的MPQR的面为：sin150S=MR·PQ=4a·sin

·sin(

30

－

)=2a··(1－

32

)=(2－

)a．即在此情况下，∠AOM=15求M点然后作出MPQR积为最大．由于S－=1

a－－

B

B

)a=

2

(－12)＞所第

M一种方案能使裁出的矩形面积最大，

R

图1

M

A

R图2

A即∠AOP=P在AB弧中点，分别向扇形的一条半径作