2023年新高考数学一轮复习1-1集合(知识点讲解)解析版

专题1.1集合

【知识框架】

【核心素养】

1.考查集合的概念、元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.

2.考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.

3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

【知识点展示】

1.元素与集合

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作aA；若b不属于集合A，记作bA．

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．

（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有

理数集，R表示实数集．

2.集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U，则集合A

符号表示A∪BA∩B

的补集为

CUA

图形表示

{x|x∈A，或x∈{x|x∈A，且x

集合表示{x|x∈U，且xA}

B}∈B}

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部

元素，剩下的元素构成的集合即为

CUA.

4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

＝，∪＝，＝

(3)A∩(CUA)∅A(CUA)UCU(CUA)A.

特别提醒:

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

＝∪＝

3.A⊆B⇔A∩BA⇔ABB⇔CUA⊇CUB.

＝∪，∪＝【常考题型剖析】

4.CU(A∩B)(CUA)(CUB)CU(AB)(CUA)∩(CUB).

题型一集合的基本概念

例1.(2018课标II理2)已知集合Ax,yx2y23,xZ,yZ，则A中元素的个数为（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】A

方法二：根

据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合

A的元素个数，故选A.

【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略

(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.

(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.

例2.（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知集合A2,1,0,1,2,B{xZ∣x2x30},则集合

z∣zxy,xA,yB的元素个数为（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合B，由条件确定z∣zxy,xA,yB的元素及其个数.

【详解】

由x2x30解得2x3，所以B1,0,1,2.又A2,1,0,1,2

所以z∣zxy,xA,yB2,0,2,4,1,1,4，共有7个元素，

故选：B.

【规律方法】

与集合元素有关问题的思路：

（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性

题型二：集合间的基本关系

例3.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合A{0,1,2}的非空真子集的个数为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

根据真子集的定义即可求解.

【详解】

由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.

故选：B.

【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

例4.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合Ax|x23x20,xR,Bx|0x5,xN，

则满足条件ACB的集合C的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】

求解一元二次方程，得

Ax|x23x20,xRx|x1x20,xR1,2，易知

Bx|0x5,xN1,2,3,4.

因为ACB，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合3,4的子集个数，即有224个，故选D.

【方法技巧】

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含

有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．

(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是

它自身的子集．

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参

数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．

题型三：集合的基本运算

5

例5.（2022·全国·高考真题（文））设集合A{2,1,0,1,2},Bx∣0x，则AB（）

2

A．0,1,2B．{2,1,0}C．{0,1}D．{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的交集运算即可解出．

【详解】

5

因为A2,1,0,1,2，Bx∣0x，所以AB0,1,2．

2

故选：A.

例6．（2022·全国·高考真题（理））设全集U{2,1,0,1,2,3}，集合A{1,2},Bx∣x24x30，则

(AB)（）

U

A．{1,3}B．{0,3}C．{2,1}D．{2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，B=xx24x301,3，所以AB1,1,2,3,

所以AB2,0.

U

故选：D.

例7．（2022·全国·高考真题（理））设全集U{1,2,3,4,5}，集合M满足M{1,3}，则（）

U

A．2MB．3MC．4MD．5M

【答案】A

【解析】

【分析】

先写出集合M,然后逐项验证即可

【详解】

由题知M{2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

例8.（2020·全国高考真题（理））已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AB中

元素的个数为（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【解析】

采用列举法列举出AB中元素的即可.

【详解】

yx

由题意，AB中的元素满足，且x,yN*，

xy8

由xy82x，得x4，

所以满足xy8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，

故AB中元素的个数为4.

故选：C.

【规律方法】

如何解集合运算问题

(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化

简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.

(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相

应数学知识来解决.

题型四：利用集合的运算求参数

例9.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）

A．–4B．–2C．2D．4

【答案】B

【解析】

由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】

求解二次不等式x240可得：Ax|2x2，

a

求解一次不等式2xa0可得：Bx|x.

2

a

由于ABx|2x1，故：1，解得：a2.

2

故选：B.

【方法规律】

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

①若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

例10.（2022·山西运城·高二阶段练习）设集合A{x2x3},B{xxa}，若AB，则实数a

R

的取值范围为____．

【答案】a2

【解析】

【分析】

先求出B，则AB，A{x2x3}，由分析即可求出a的取值范围.

RR

【详解】

Bxxa，又因为AB，A{x2x3}，所以a2．故答案为：a2.

RR

【易错提醒】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)

和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因

为不满足“互异性”而导致错误．

（3）防范空集．在解决有关AB,AB等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑

时是否成立，以防漏解．

题型五：集合的新定义问题

例11.（2015·湖北高考真题（理））已知集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2≤1,    𝑥,𝑦∈𝑍}，𝐵={(𝑥,𝑦)|  |𝑥|≤2 ,

        ，定义集合+𝑥,𝑦+𝑦)|(𝑥,𝑦)∈𝐴,      (𝑥,𝑦)∈𝐵}，则𝐴⊕𝐵

|𝑦|≤2,𝑥,𝑦∈𝑍}𝐴⊕𝐵={(𝑥12121122

中元素的个数为（）

A．77B．49C．45D．30

【答案】C

【解析】

因为集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2≤1,    𝑥,𝑦∈𝑍}，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，

集合𝐵={(𝑥,𝑦)|  |𝑥|≤2 ,    |𝑦|≤2,    𝑥,𝑦∈𝑍}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中

的整点，集合+𝑥,𝑦+𝑦)|(𝑥,𝑦)∈𝐴,      (𝑥,𝑦)∈𝐵}的元素可看作正方形中

𝐴⊕𝐵={(𝑥12121122

的整点（除去四个顶点），即个．

例12.（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）已知非空集合A,B满足下列

四个条件：①AB1,2,3,4,5,6,7；①AB；

③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（1）若集合A中只有1个元素，则

A________；

（2）若两个集合A和B按顺序组成的集合对A，B叫作有序集合对，则有序集合对A,B的个数是

________.

【答案】{6}32

【解析】

【分析】

根据给定信息，分析集合A，B不能取的元素即可得解；按集合A中元素个数分类计算作答.

【详解】

（1）因AB1,2,3,4,5,6,7，AB，则集合A，B的元素个数和为7，

而集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，又B中的元素个数不是B中的元素，即6B，

所以A{6}；

（2）集合A中有1个元素时，由（1）知A{6}，B{1,2,3,4,5,7}，则有序集合对A,B有1个，

集合A中有2个元素时，即2A,5B，则A{5,a},a{1,3,4,6,7}，有序集合对A,B有C15个，

5

集合A中有3个元素时，即3A,4B，则A{4,a,b},a,b{1,2,5,6,7}，有序集