2022届贵州省普通高等学校招生高三适应性测试数学（文）试题

/21/21/2022届贵州省普通高等学校招生高三适应性测试数学（文）试题一、单选题1．设集合，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（???????）A．{2} B．{2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}【答案】C【分析】根据集合交、并的定义，直接求出.【详解】因为集合，B={1，2，3}，所以,所以{1，2，3，4}.故选：C2．已知复数（），则是的（???????）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，所以，当时，故充分性成立，当，即，解得，故必要性不成立，故是的充分不必要条件；故选：A3．设一组数据的方差为1，则数据的方差是（???????）A．100 B．11 C．10 D．1【答案】D【分析】根据平均数以及方差的计算公式，进行计算可得答案.【详解】设数据的平均数为，方差，则数据的平均数为，故，故选：D4．已知，则（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的值求解即可.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B.5．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（???????）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC【答案】C【分析】利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析作答.【详解】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；过A作边上的高，连，由得，是边上的高，则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.故选：C6．设O为坐标原点，F为双曲线C：的一个焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（???????）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】先求出焦点F到渐近线的距离，再根据勾股定理求得答案.【详解】不妨设F为，渐近线方程为，即，故,则,故选：C7．十七世纪法国数学家费马猜想形如“（）”是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是（???????）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据题意求出，从而可求出与，再分析判断即可【详解】因为（），所以，所以，，当时，，所以AB错误，因为，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，是以2为公差，2为首项的等差数列，所以，，当时，，当时，，当时，，由此可得当时，，下面用数学归纳法证明当时，显然成立，假设当（）时，成立，即，则当时，，即，综上，当时，，所以，所以C错误，D正确，故选：D8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体外接球的表面积为（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三视图得到直观图，该几何体为直三棱柱，且，首先求出底面外接圆的直径，即可求出外接球的半径，从而得解；【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图如下所示：该直三棱柱底面为等腰直角三角且，所以外接圆的直径为，设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为；故选：B9．2022年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数（，，）的图像．下列说法正确的是（???????）A．8～13时这段时间温度逐渐升高B．8～16时最大温差不超过5°CC．8～16时0°C以下的时长恰为3小时D．16时温度为?2°C【答案】D【分析】由图像直接判断A、B、C选项，求出解析式判断D选项即可.【详解】由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；8～16时最大温度°C，最小温度°C，最大温差为°C，B错误；8～16时0°C以下的时长超过3小时，C错误；，，又过点，故，解得，故，，故16时温度为?2°C，D正确.故选：D.10．函数的图象如图，则的解析式可能为（???????）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除选项B,D,再利用函数的零点和特殊值排除选项A,即得解.【详解】解：由图得函数的定义域为，且是偶函数.由于选项B,D的函数为奇函数，所以排除B,D.对于选项A,函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，，令.所以函数轴右边图象只有一个零点1.,与图象不符，所以选项A错误；对于选项C,函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，令，所以函数轴右边图象只有一个零点1.，与图象相符，所以选项C有可能.故选：C11．函数（）的图象关于点与点对称.当时，，则（???????）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得且，从而得到，即可得到的周期性，再根据周期性求出函数值；【详解】解：因为图象关于点与点对称，所以，且，所以，即，所以是以为周期的周期函数，当时，，所以；故选：A12．已知曲线C1：（）和C2：，点A（?1，y1）和B（2，y2）都在C1上，平行于AB的直线l与C1，C2都相切，则C1的焦点为（???????）A．（0，） B．（0，）C．（0，1） D．（0，2）【答案】B【详解】先由题意求出坐标，则可得，由于直线平行于AB，所以设直线，再利用直线与相切，将直线方程代入方程中，由判别式为零可得，再由直线与相切，则圆心到直线的距离等于半径，列方程，结前面的式子可求出，从而可求出抛物线的焦点坐标【点睛】对于曲线C1：（），当时，，当时，，所以，所以直线的斜率为，设与直线平行的直线为，由，得，因为直线与相切，所以，得，因为直线与相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以，化简得，所以，得，因为，所以，所以曲线C1为，其焦点为，故选：B二、填空题13．若，满足约束条件，则的最小值为________.【答案】【分析】画出不等式组表示的可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合即可求得结果.【详解】画出不等式组表示的可行域，如下所示：即，其表示经过可行域与平行，且纵截距为的直线，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，纵截距最小，此时目标函数取得最小值，即.故答案为：.14．在平行四边形中，．若，则________．【答案】【分析】根据向量的线性运算直接可得与的值，即可得解.【详解】由，得，所以，即，，所以，故答案为：.15．如图，圆O：交x轴的正半轴于点A．B是圆上一点，M是弧的中点，设∠AOM=（），函数表示弦AB长与劣弧长之和．当函数取得最大值时，点M的坐标是________．【答案】【分析】先求导表示出，求导确定当时，取得最大值，进而求出点M的坐标.【详解】由题意知：圆半径为2，，故，，则，令，解得，又，当时，，单增；当时，，单减；故当时，取得最大值，此时，即.故答案为：.三、双空题16．将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形.若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是________（精确到0.01，）；在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（）角雪花曲线.若正三角形边长为1，则3级K3角雪花曲线的周长________.【答案】????1.26????【分析】根据题意，直接求出相似的分形维数；经过n次分形后，分析出边长变为原来的，把n=3代入即可求出.【详解】由题意，Koch曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，则其相似的分形维数是；经过n次分形后，边长变为原来的，周长为，当n=3时，.故答案为：①1.26；②.四、解答题17．如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．(1)证明：；(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．①；②．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，利用锐角三角函数的定义，得出角，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)因为，所以，故；(2)选①．因为，所以在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得所以，故，在中，因为，所以，又．选②，设，则，在中，，由（1）得，解得，即在中，则,，所以，所以．所以.18．如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点.(1)求证：，，，四点共面，记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）；(2)求点到（1）中平面的距离.【答案】(1)证明见解析，图象见解析(2)【分析】（1）根据题意证明即可求解，再利用平行关系即可平面与该正方体各面的交线；（2）先得到，计算求解即可.【详解】(1)连接，，，因为，分别是棱，的中点，所以．又因为，分别是棱，的中点，所以．故，所以，，，四点共面．分别取和的中点为和，连接，，，由正方体性质得，，，所以多边形共面，所以平面与该正方体各面的交线如下图（多边形）所示．(2)如下图连接，，，，由等体积法可得：设点到平面的距离为，所以，易得：在中，，，，所以,同理可得：所以，解得：所以点到平面的距离为19．北京冬奥会期间，志愿者团队“FieldCast”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄进行统计分析（抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内），经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图（图1）和男运动员的年龄扇形分布图（图2）.回答下列问题：(1)求图1中的a值；(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人；记这9人中年龄区间在[20，24）周岁的运动员有m人，再从这m人中抽取2人，求这2人是异性的概率.【答案】(1)(2)26.8周岁(3)【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出a的值，（2）直接利用平均数公式求解即可，（3）先由题意结合分层抽样的定义求出，然后利用列举法求解概率【详解】(1)依题意，，解得(2)用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为[16，20），[20，24），[24，28），[28，32），[32，36），[36，40]的频率分别为：0.1，0.3，0.2，0.2，0.1，0.1所以参赛男运动员的平均年龄估值为：即男运动员的平均年龄估值为26.8周岁.(3)由图1可知；年龄区间为[16，20）周岁的女运动员有人，年龄区间为[20，24）周岁的女运动员有人，由图2可知：年龄区间为[16，20）和[20，24）周岁的男运动员分别有10人和30人，故用分层抽样女运动员年龄在区间[16，20）和[20，24）应分别抽取2人和3人，男运动员年龄在区间[16，20）和[20，24）应分别抽取1人和3人.所以抽取的9人中年龄在[20，24）的有6人，故记这6人中年龄在[20，24）周岁的3名女运动员分别为a，b，c，3名男运动员分别为1，2，3，从6人中抽取2人的基本事件如下：（a，b），（），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3），共15种.记抽取2人是异性的事件为A，事件A包含基本事件有：（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3）共9种所以.20．如图，椭圆C：（）的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在C上，PF⊥x轴，AB//OP，．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交椭圆于M，N两点，坐标平面上是否存在定点Q，使得是定值？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由AB//OP，建立方程组，直接求解即可；（2）当直线斜率不为0时，设出直线方程，联立椭圆，通过韦达定理求得，设出定点Q，表示出，由是定值，解出坐标即可.【详解】(1)由题可得①由题轴，可得，因为，所以②③由①②③解得：，所以，C的方程为．(2)当直线斜率不为0时，设直线，代入得，设，则，设定点，，，要使是定值，则，解得此时．当直线l与x轴重合时，，则，综上所述，坐标系平面上存在定点，使得为定值.21．已知函数，.(1)求函数的最小值；(2)若在上恒成立，求实数的值；(3)证明：，e是自然对数的底数.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导求单调性即可求解；（2），分类讨论单调性得到，要使在恒成立，则，即，又由（1）可得到，所以，即可求解；（3）由（2）知得到，所以，所以，即，代入证明即可.【详解】(1)的定义域为，，当时，，当时，故在上单调递减，在上单调递增.所以.(2)，当时，，在上单调递减，此时存在，使得，与题设矛盾.当时，时，，时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，要使在恒成立，则，即又由（1）知，即，（当且仅当时，等号成立）.令有，故且所以.(3)证明：由（2）知得（当且仅当时等号成立），令，则（当且仅当时等号成立），令，所以，即（当且仅当时等号成立），令，则从而有所以【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想