第四章《数列》复习小结示范公开课教学PPT课件【高中数学人教A版】

第四章数列复习小结知识结构问题1

本章内容有两大部分，数列与数学归纳法，在数列部分，我们可以用哪几个关键词来描述？定义、通项、特殊数列、函数．追问1：你能用知识结构图来表示吗？知识结构数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项数通项特殊数列等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义项等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和知识结构概念表格图象通项公式递推公式一次函数概念通项公式前n项和公式指数函数基本原理简单应用表示数列应用表示数学归纳法特殊数列等差数列类比等比数列特殊化知识结构追问2：每一个关键词都有相应的内容，如数列里有数列的定义和分类、数列的表示法以及数列的前n项和与项之间的关系等，依此思路，你能将上面的知识结构图再补充上相关的内容吗？数列的前n项和数列的表示法数列数列的定义和分类数列的表示法数列的通项公式数列的递推式如何看待不是每一个数列都可以写出通项公式或递推式数列的递推式与通项公式互化数列的前n项和数列的前n项和的求法数列的前n项和与通项公式的关系数列的前n项和与构造新数列列表的定义列表的分类数列和集合的异同点数列和函数的异同点深层次理解数列的前n项和与通项公式的关系知识结构追问3：你能将数列相关公式用结构图来表示吗？数列定义及有关概念

等差数学

等比数列

递推数列应用知识结构问题2

数学归纳法中，我们可以用哪几个关键词来描述？方法、步骤、证明．追问1：你能用知识结构图来表示吗？方法数学归纳法证明步聚知识结构追问2：对于任意角α，sinα，cosα都有意义吗？证明一个与正整数n（n≥n0，n∈N*）有关的命题（1）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立（2）假设当n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立归纳奠基归纳递推两个步聚缺一不可对所有正整数n（n0，n∈N*），命题都成立研究思路问题3

你能简单描述一下数列内容的研究过程和方法吗？从生活中的实例出发引出了数列的概念，并以取值规律最简单的两类数列——等差数列和等比数列为例，在研究它们的性质的基础上，推导出了这两类数列的通项公式与前n项和公式，还通过建立数列模型，解决了一些数学问题和实际问题．数列是一种特殊的函数，因此我们可以用函数的方法来研究数列，例如，用表格、图象和函数解析式（数列的通项公式）来表示数列，建立数列模型刻画具有递推规律的事物等．数列的定义建立起了它的序号与项之间的对应关系．而从等差数列、等比数列的通项公式出发，我们发现了等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间的关系．在本章的学习中，我们还常常通过运算发现数列的取值规律，解决与数列有关的问题．在本章中，用到了类比、分类讨论、函数与方程以及转化与化归的思想方法．研究思路问题4

你能简单描述一下数学归纳法这部分内容的研究过程和方法吗？从不完全归纳法入手，学习了数学归纳法．这种方法建立了一种无穷递推的机制，用有限的步骤证明了与无限多个正整数有关的命题，实现了从有限到无限的飞跃．它既是我们证明与正整数n有关的命题的一种思想方法，又为我们提供了一种“观察－归纳－猜想－证明”的思维模式．需要注意的是，数学归纳法中的两个步骤是缺一不可的．具体内容问题5

你能对本章的主要知识点进行归纳和整理吗？（一）数列的概念（二）等差数列（三）等比数列（四）数学归纳法具体内容（1）一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．（2）数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．（3）数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为｛an｝．数列的概念具体内容数列与函数数列｛an｝是从正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）到实数集R的函数，其自变是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．另一方面，对于函数y＝f（x），如果f（n）（n∈N*）有意义，那么f（1），f（2），…，f（n），…，构成了一个数列｛f（n）｝．数列可以用列表法、图象法和解析法来表示．具体内容数列的分类

类别含义按项的个数按项的变化趋势从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列具体内容数列的通项公式如果数列｛an｝的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了．具体内容数列的通项与前n项和数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．如果数列｛an｝的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．

具体内容【方法技巧】根据数列的前几项写通项公式的具体思路为：（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等．（2）分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系．（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或（－1）n＋1处理符号．（－1）n或（－1）n＋1常常用来表示正负相间的变化规律．（4）对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答．具体内容【方法技巧】已知数列｛an｝的前n项和Sn，求an，一般使用公式an＝Sn－Sn－1（n≥2），但必须注意它成立的条件是n≥2且n∈N*．由Sn－Sn－1求得的an，若当n＝1时，a1的值不等于S1的值，

具体内容等差数列的概念文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．符号语言：an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*），或an－an－1＝d（d为常数，n∈N*且n≥2）．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，此时a＋b＝2A．具体内容首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝的通项公式为an＝a1＋（n－1）d．等差数列的通项公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式

等差数列的前n项和公式具体内容等差数列的性质（1）等差数列中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，下标成等差数列的项成等差数列；（2）在等差数列｛an｝中，d为公差，若p、q、s、tN*，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at；（3）等差数列｛an｝的前n项和为Sn，则Sn、S2n－Sn、S3n－S2n、…成等差数列，公差为n2d；S2n＝n（a1＋a2n）＝n（a2＋a2n－1）＝…＝n（an＋an＋1）（an，an＋1为中间两项）（4）项数为偶数2n的等差数列｛an｝，有

具体内容等差数列的性质（5）项数为奇数2n－1的等差数列｛an｝，有S2n－1＝（2n－1）an（an为中间项），

【方法技巧】等差数列中通项公式以及前n项和公式，共涉及五个量，常用基本量法知三求二；三个数成等差数列，常将三数设为a－d，a，a＋d；具体内容【方法技巧】（1）在等差数列中，求Sn的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，则从第1项起到该项的各项的和为最大（小）．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．（2）求等差数列｛an｝前n项的绝对值之和，关键是找到数列｛an｝的正负项的分界点，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．具体内容等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q0）．

等比中项由三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab．具体内容首项为a1，公比为q的等比数列｛an｝的通项公式为an＝a1qn－1．等比数列的通项公式等比数列的前n项和公式已知量求和公式首项a1、公比q（q≠1）与项数n首项a1、末项an与公比q（q≠1）首项a1、公比q＝1

Sn＝na1具体内容等比数列的性质（1）等比数列中奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，下标成等差数列的项成等比数列；（2）等比数列｛an

｝中，若m，n，r，s∈N＋，且m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as．特别地，若2p＝m＋n，则ap2＝aman．（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则Sn、S2n－Sn、S3n－S2n、…（Sn不为0）成等比数列，公比为qn．具体内容【方法技巧】1．等比数列的通项公式可写成an＝amqn－m，知道任意两项，可以求公比；

3．在等比数列｛an｝的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．具体内容数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．特别地，当n0＝1时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立．具体内容【方法技巧】数学归纳法用来证明一个与正整数n有关的命题，证明的时候需要两个步骤：一是证明当n＝n0时命题成立，它为后续的证明奠定了基础，故称之为归纳奠基；二是假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时也成立，也就是要证明一个递推关系，故称这一步为归纳递推．这两个步骤缺一不可，最终证明对所有正整数n，命题都成立．具体内容问题6

可以将本章主要知识用框图表示出来吗？数列概念表示

自然数的乘方和公式：an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）dan＝a1·qn－1＝am·qn－m

an＋1－an＝常数