《诱导公式》示范课教学设计高中数学人教

环节一诱导公式（一）新知探究1.探究发现问题1如图1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2．（1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？答案：如图2，以OP2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．因此，只要探究角π＋α与α的三角函数值之间的关系即可．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因为P2是点P1关于原点的对称点，所以x2＝－x1，y2＝－y1．根据三角函数的定义，得sinα＝y1，cosα＝x1，tanα＝（x1≠0）；sin(π＋α)＝y2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝（x2≠0）．从而得公式二sin（sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα．追问1应用公式二时，对角α有什么要求？答案：无论α为何值，π＋α的终边都与角α的终边关于原点对称，所以只要在定义域内的角α都成立．追问2探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？答案：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系．即从形的角度研究．第二步，根据圆的对称性，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，体现了数形结合的思想方法．第三步，根据三角函数定义，建立等量代换，得到诱导公式二，体现了联系性．追问3角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？答案：按逆时针方向旋转角π得到的．2.类比探究问题2借助于平面直角坐标系，类比问题1，你能说出单位圆上点P1的哪些特殊对称点？并按照问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．答案：单位圆上点P1的特殊对称点：第一类，点P1关于x轴、y轴的对称点；第二类，点P1关于特殊直线的对称点，如y＝x，y＝－x；第三类，点P1关于x轴的对称点，再关于特殊直线的对称点．或者是点P1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点．等等．活动针对如上结论，类比“问题1”的解决方法，从第一类到第三类依次解决．也可以让学生分组分别完成。答案：1.如图3，作P1关于x轴的对称点P3：以OP3为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探究角－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P3(x3，y3)．因为P3是点P1关于x轴的对称点，所以x3＝x1，y3＝－y1．根据三角函数的定义，得sinα＝y1，cosα＝x1，tanα＝（x1≠0）；sin(－α)＝y3，cos(－α)＝x3，tan(－α)＝．从而得：公式三sin（－sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα．2.如图4，作P1关于y轴的对称点P4：以OP4为终边的角β都是与角π－α终边相同的角，即β=2kπ＋(π－α)（k∈Z）．因此，只要探究角π－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P4(x4，y4)．因为P4是点P1关于x轴的对称点，所以x4＝－x1，y4＝y1．根据三角函数的定义，得sinα＝y1，cosα＝x1，tanα＝（x1≠0）；sin(π－α)＝y4，cos(π－α)＝x4，tan(π－α)＝（x4≠0）．从而得：公式四sin（π－sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα．3．如图5，以OP5为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探求角－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P5（x5，y5），由于P5是点P1关于直线y＝x的对称点，可以证明：x5＝y1，y5＝x1．根据三角函数的定义，得sin（－α）＝y5，cos（－α）＝x5．从而得公式五sin（sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα．4．提出问题：前面的公式都是点P1经过一次对称得到的．那如果将点P1经过两次对称呢？例如：如图6，点P1关于直线y＝x的对称点P5，再作P5关于y轴的对称点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图6，以OP6为终边的角β都是与角＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(＋α)（k∈Z）．因此，只要探求角＋α与α的三角函数值之间的关系即可．图图6设P6（x6，y6），由于P6是点P5关于y轴的对称点，因此有：x6＝－x5，y6＝y5．根据三角函数的定义，得sin（＋α）＝y6，cos（＋α）＝x6．从而得公式六图7sin（图7sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα．5．提出问题：如图7，点P1关于直线y＝x的对称点是P5，再作P5关于x轴的对称点P7，又能得到什么结论？以OP7为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？大家还能想到哪些对称，分别能得到什么样的结论？解：如图7，以OP7为终边的角β都是与角α－终边相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探求角α－与α的三角函数值之间的关系即可．追问1除了上面的两次对称关系，角α的终边还可以经过怎样的变换得到角＋α的终边？据此你将如何证明公式六？答案：角α的终边旋转角，就得到角＋α的终边．图8如图8，由两个三角形全等易得点P8与P1坐标间关系，进一步可得公式六．图8追问2公式二～公式六中的角α有什么限制条件？答案：三角函数定义域内的角α．归纳小结问题3诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？你能画出本节的知识结构图吗？答案：（1）诱导公式是圆的对称