《同角三角函数的基本关系》示范课教学设计【高中数学人教】_第1页
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环节三同角三角函数的基本关系【新知探究】1．发现规律图1问题1诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？图1答案：如图1，设P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理OM²＋MP²＝1．因此x²＋y²＝1。即同一个角的三个三角函数之间的关系：sin2α+cos2α=1．并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立．根据三角函数的定义，有：，，k∈Z．即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．追问从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？答案：因为有两个方程，三个未知数sinα，cosα，tanα，所以已知其中一个可以求出另外两个，简称“知一求二”．2．应用规律例1已知sinα=－，求cosα，tanα的值．答案：因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α+cos2α=1得cos2α=1－sin2α=1－；如果α是第三象限角，那么cosα＜0．于是cosα=，从而；如果α是第四象限角，那么cosα>0．于是cosα=，从而．追问你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值．例2求证：．答案：证法一：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1+sinx≠0，于是左边==右边．所以，原式成立．证法二：因为(1－sinx)(1+sinx)=1－sin2x=cos2x=cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以．3．探究延伸问题2总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系的规律．【归纳小结】问题3回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？（2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？答案：（1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：公式一公式一单位圆上点的运动规律三角函数的概念三角函数的基本性质三角函数值的符号同角三角函数关系锐角三角函数的概念关系（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又

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