2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第11章高考大题冲关系列六

命题动向：在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问

题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常

设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识

别等知识的综合题.以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础

知识和基本方法分析问题和解决问题的能力.

题型1求离散型随机变量的均值与方差

例1(2021・新高考I卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类

问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回

答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一

个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答

正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0

分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为

0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解⑴随机变量X的所有可能取值为0,20,100.

p(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8X0.6

=0.48.

故随机变量X的分布列如下:

X020100

P0.20.320.48

⑵设小明先回答B类问题，记r为小明的累计得分，

则随机变量丫的所有可能取值为0,80,100,

p(y=0)=1-0.6=0.4,P(y=80)=0.6X(!-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6X0.8

=0.48.

£（y）=0X0.4+80X0.12+100x0.48=57.6.

由（1）知E（X）=0X0.2+20X0.32+100X0.48=54.4.

因为E（r）＞E（X）,故应先回答B类问题.

［冲关策略］离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，

即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、

超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代

入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公

式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应.

变式训练1(2021.江西南昌三模)高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计

用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱

形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小

球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等

可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔

顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以g

的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,…，

7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚

下.

(1)如图1,进行一次高尔顿板试验，求小球掉入5号球槽的概率；

(2)小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进

行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游

戏，小球掉入加号球槽得到的奖金为4元，其中E=|16-4刑.小明改进了高尔顿

板(如图2),首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞

1?

时，有)的概率向左，Q的概率向右滚下，最后掉入编号为1,2,…，5的球槽内，

改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金

为〃元，其中〃=(〃-4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游

戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

解(1)设这个小球掉入5号球槽为事件A,掉入5号球槽，需要向右4次向

42

左2次，所以P(A)=C2X(yX&=居,

所以这个小球掉入5号球槽的概率为卷.

(2)小红的收益计算如下:

每一次游戏中，4的可能取值为0,4,8,12.

33

P4=0)=P(加=4)=C2X(£|x(£|=得，

2442

pe=4)=P(w=3)+P(m=5)=CVx(mX(，+C2xg)X@)

P(^=8)=P(m=2)+P(m=6)=+(^义@)X1=-^,

P^=12)=P(m=1)+P(m=7)=C§XQ+&X出=*.

if04812

51531

p

16321632

一次游戏付出的奖金E(G=0X*^+4X1|+8XV+12X*=?，则小红的收

益为6-彳=不

小明的收益计算如下：

每一次游戏中，〃的可能取值为0,149.

3

P(n=0)=P(n=4)=C^xjx^=|Y，

224

产5=1)=尸(〃=3)+尸(〃=5)=C?X(jX停)+C才义停)=第

3

,28

产(〃=4)=尸(〃=2)=C[x|jJ*§=的，

0149

324081

p

81818181

324O81

OX--X-4X-9X-

8181-++8--

一次游戏付出的奖金戈〃)8151

益为4-1=3.

9

显然，3＞不所以小明的盈利多.

题型2概率与统计的综合问题

例2(2021•郑州三模)2021年5月19日是第11个“世界家庭医生日”.某

地区自2016年开始全面推行家庭医生签约服务.已知该地区人口为1000万，从

1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居

民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者

签约率如图2所示：

(1)国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：①60岁以上人口占比达到

7%以上；②少年人口(14岁以下)占比30%以下；③老少比30%以上；④人口年龄

中位数在30岁以上.请任选两个角度分析该地区人口分布现状；

(2)估计该地区年龄在71〜80岁且已签约家庭医生的居民人数；

(3)据统计，该地区被访者的签约率约为44%,为把该地区年满18岁居民的

签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对

你的结论作出解释.

解⑴①60岁以上人口比例是(0.01+0.003+0.0025+0.0005)X10=0.16；

②少年(14岁以下)人口比例小于(0.01+0.005)X10=0.15;

③老少比大于腺＞0.3=30%；

④由于1〜30岁人口比例为0.33,1〜41岁人口比例为0.53,所以年龄中位数

在31〜40岁范围内.

所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化.

(2)由折线统计图可知，该地区年龄在71〜80岁且已签约家庭医生的居民人

数为0.03X0.7X1000=21万.

(3)由图1、2可知该地区年龄在18〜30岁的人口为180〜230万之间，签约

率为30.3%；

年龄在31〜50岁的人口数为(0.02+0.016)X10X1000=360万，签约率为

37.1%;

年龄在51〜60岁的人口数为0.015X10X1000=150万，签约率为55.7%；

年龄在61〜70岁的人口数为0.01X10X1000=100万，签约率为61.7%；

年龄在71〜80岁的人口数为0.003X10X1000=30万，签约率为70%;

年龄在80岁以上的人口数为（0.0025+0.0005）X10X1000=30万，签约率为

75.8%.

由以上数据可知，这个地区年龄在31〜50岁的人数为360万，基数较其他年

龄段是最大的，且签约率仅为37.1%,比较低，所以应着重提高31〜50岁年龄段

的签约率.

［冲关策略］概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为高考的

一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计

的工具性和交汇性.统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算

为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题

的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.

变式训练2零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标

准之一.其中切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设

备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布

按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作

为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1（单位：

mm）,且所有零件尺寸均在（/，-3巴〃+3c）范围内，则认定该切割设备的技术标

准为A级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于01小

于0.5,且所有零件尺寸均在伽-3a,〃+3a）范围内，则认定该切割设备的技术标

准为B级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或

存在零件尺寸在〃+3㈤范围外，则认定该切割设备的技术标准为C级.

（1）设某零件的标准尺寸为100mm,下面是检验员抽取该设备切割的10个零

件尺寸：

100.03100.499.92100.5299.98

100.3599.92100.44100.66100.78

经计算，有有0601.8,其中即为抽取的第)个样本的尺寸,/=1,2,3,

_AA

10,用样本的平均数X作为〃的估计值出用样本的标准差s作为。的估计值

根据数据判断该切割设备的技术标准；

(2)生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了

两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：

方案1:每个零件均按70元定价销售；

方案2:若零件的实际尺寸在(99.7,100.3)范围内，则该零件为I级零件，每

个零件定价100元，否则为II级零件，每个零件定价60元.

哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明.

(附：若随机变量X〜NQi,(r),则P(/i-+㈤心0.6827,

+2。)p0.9545)

解(1)由题意，=-J52>/=W0.3,

/=而摩一期=-10x2~0.09,

AA

所以〃=100.3,<7^0.3,样本的均值与零件标准尺寸差为100.3-100=0.3,

AAAA

并且对每一个数据札均有方€@-3。，〃+3a)(i=l,2,3,…，10),由此判断该切

割设备技术标准为B级标准.

(2)方案1:每个零件售价为70元.

方案2:设生产的零件售价为随机变量。，则4可以取60,100.

由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为X,且X〜M100.3,0.32),所以

p4=100)=P(99.7<X<100.3)=P@-2Kx<〃)=0.47725,P代=60)=1-=

100)^0.52275,

所以随机变量4的分布列为

p0.522750.47725

所以。的数学期望E（J=60X0.52275+100X0.47725>60X0.5+100X0.47=

77>70.

综上，方案2能够给公司带来更多的利润.

题型3概率与线性回归的综合问题

例3某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖

重量X（百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不

超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期.根据统计，该池塘的草鱼重量的

增加量y（百斤）与使用某种饵料的质量M百斤）之间的关系如图所示.

（1）根据数据可知与%具有线性相关关系，请建立y关于x的经验回归方程；

=bx+a；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百

斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由；

（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费

服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的

鱼重量X有如下关系：

鱼的重量（单位：百斤）20<X<4040WXW60X>60

冲水机只需运行台数123

若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，

则商家每期亏损2千元.视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到

最大，应提供几台增氧冲水机？

（（，，（

附：对于一组数据XI,yi）,X2,”）…%,yn）,其经验回归方程）'=区+

n

>{Xi-x）（yi-y）y

AAz=1/=1

a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为万=--------——=-----------,

二华-x）2家—〃工2

/=1

a=y-bx.

解⑴依题意，得工=5,歹=4,触-1)83=6,,中-工为26,

我一工)8-y)

A，=13AA337

所以/，二--------------a=y-bx=4-j^X5

=B,131

,中-X)2

A337

所以尸育+行

A67

当x=10时，丁=正〉5,故此方案可行.

(2)设盈利为Y,安装1台,盈利7=5000.

安装2台，当20<X<40时，7=3000,P=1,

4

当X240时，Y=10000,P=g.

14

所以E(y)=5X3000+gXl0000=8600.

安装3台，当20<X<40时，Y=1000,P=1,

3

当40WXW60时，7=8000,尸=；,

当X>60时，Y=15000,P=1.

131

所以£(y)=1000X5+800()X5+15000X-=8000.

因为8600>8000,故应提供2台增氧冲水机.

［冲关策略］本题主要考查概率与回归方程等知识，考查学生的数据处理能

力和应用意识，注意分析数据，定型求解，正确计算是关键.

变式训练3蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数)，和平

均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量

的值.

平均温度力℃21232527293235

平均产卵数W个711212466115325

77

y（x,-x）-（z,--z）X（JV/-x）2

Xz

y/=1i=1

27.42981.2863.61240.182147.714

表中Zj=lny,z=yZz».

i=i

（1）根据散点图判断，y=a+法与y=ced'（其中e=2.718…为自然对数的底数）

哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度x的经验回归模型（给出判断即可，

不必说明理由）；

（2）求出），关于x的经验回归方程（结果精确到小数点后第三位）；

（3）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会对农作物造成

严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达

到28℃以上的概率为p（Ovp<1）.

①记该地今后〃（〃，3,〃CN*）年恰好需要2次人工防治的概率为加），求加）

取得最大值时对应的概率P。；

②根据①中的结论，当/（P）取最大值时，记该地今后6年需要人工防治的次

数为X,求X的均值和方差.

AAA

附：对于一组数据（XI,Zl）,（X2,Z2）,…，（X7,Z7）,其经验回归方程2=4+

'（Xi-X）（Z；-Z）

的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=--------------,z-bx.

\Xi-x）2

解（1）由散点图可以判断，y=ce"x更适宜作为平均产卵数），关于平均温度X

的经验回归模型.

（2）对y=ce"'两边取自然对数得\v\y=\x\c+dx,

令z=Iny,a=\nc,b=d,贝z=a+bx.

x）（z,-z）

Ai=1ion

因为',—、，皿

\Xi-X）-

z=l

a=z-bx^3.612-0.272X27.429^-3.849,

A

所以Z关于x的经验回归方程为z=0.272x-3.849.

所以)，关于X的经验回归方程为:=心27*3.849.

(3)①由题意可知加)=C](1一〃)"-2,

223

所以/'(p)=2C^(1-pf--(»-2)C^(1-Py~

=C/(1—〃)”3[2(1—p)—(〃—2)p]

=C：(1-P)〃-3(2-〃P).

因为且〃€N”,

2

所以当Ovpv^时，f(P)>0;

2

当7<P<1时，/S)<0・

所以函数加)在区间(0,3上单调递增，在区间信，1)上单调递减.

2

所以函数加)在〃二工处取得极大值，亦即最大值.

2

所以Po=.

2

②由①可知，当p=G时，加)取最大值.

又因为n=6,所以p=g.

(n1174

由题意可知X〜(6,于，所以E(X)=6Xy2,O(X)=6X§XQ=不

题型4概率与独立性检验的综合问题

例4(2021・西安模拟)第14届全运会于2021年9月15〜27日在西安举行.为

了宣传全运会，西安某大学在西安全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽

取了120名学生，对是否收看西安全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据

如下：

开幕式

性别

收看没收看

男生6020

女生2020

(1)根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断学生是否收看开幕式与性别有

关？

(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层随机抽样的

方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取

2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍.

①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生、一名女生的概率;

②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望.

n(ad-be)2

附：％2=,其中〃=a+0+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)零假设为M：学生是否收看开幕式与性别无关.根据列联表中的数据,

120X(60X20-20X20)2

经计算得到,280X40X80X40=7-5>6,635=%001，

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断Ho不成立，因此可以认为学

生是否收看开幕式与性别有关.

31

⑵①根据分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有^X8=6人，女生有

X8=2人,

记事件A为“选出的2人中有女生”，共有C&-C2=13或C3+C&a=13种

不同的选法,

事件8为“选出的2人为一名男生、一名女生”，共有C&C3=12种不同的

选法,

贝™=嚅考

②根据题意，X的所有可能取值为0,1,2.

n/vc、袋E

P(X=0)=W=28,

CC21

P(X=2)=a=无.

所以X的分布列为

X012

1531

P

28728

E(X)=OX药+1x28+2x28=28=2-

(M2X2f

[或X服从超几何分布，N=8,M=2,n=2,E(X)=Rn=k=]

［冲关策略］此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对

较浅，考查深度有限，所以解决此类问题，最主要的是正确掌握概率与统计案例

的基本知识，并能对这些知识点进行有效地融合，把统计图表中的量转化为概率

及分布列求解中的有用的量是解决此类问题的关键所在.

变式训练4从2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分

文理科，部分省份采用3+1+2模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，

满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣

爱好等因素，在物理、历史2门科目中选1门，在政治、地理、化学、生物4门

科目中选2门参加考试，每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年

级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中，采用分层随机抽样的方法从中

抽取〃名学生进行调查.

(1)已知抽取的n名学生中含女生45人，求〃的值及抽取到的男生人数；

(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了

了解学生对这两个科目的选课情况，对在⑴的条件下抽取到的〃名学生进行问卷

调查(已知每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目)，下

表是根据调查结果得到的2X2列联表.请将列联表补充完整，并依据小概率值a

=0.01的独立性检验，能否认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

性别选择科目合计

物理历史

男生10

女生25

合计

(3)在抽取到的45名女生中按⑵中的选课情况进行分层随机抽样，从中抽出

9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X,

求X的分布列及期望.

n{ad-be)2

附：Z2=;----------------―,其中〃=a+b+c+d.

人(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.01

Xa3.8416.635

解(1)由题意，得忐5=篇，解得〃=1。0,抽取到的男生人数为550X箴

=55.

(2)2X2列联表为

选择科目

性别合计

物理历史

男生451055

女生252045

合计7030100

零假设为“。：选择科目与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

n{ad-be)2

"-(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

100X(45X20—10X25)2

=55X45X70X30

^8.1289>6.635=xo.oi.

依据小概率值a=0.01的独立性检验，"o不成立，因此可以认为选择科目与

性别有关.

(3)从45名女生中用分层随机抽样抽取9名女生，所以这9名女生中有5人

选择“物理”，4人选择“历史”，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中

选择“历史”的人数X的所有可能取值为0,1,2,3,4.则

Cg5CgCl20

琳=0)=0=市，P(X=i)=-g-=—,

C5C410cegei10

P(X=2)=Q=五,P(X=3)=eg=+，

,C31

P(X=4)=CI=126-

所以X的分布列为

X01234

52010101

p

126632163126

…,5201010116

期望印0=0X而+1X运+2X亓+3X瓶+4X市

题型5概率、统计与函数、数列的综合问题

例5(2019・全国I卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道

哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药

效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮

的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治

愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述

问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则

甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则

乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两

种药的治愈率分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(i=0,1,…，8)表示“甲药的

累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，贝1］加=0,偿=1,pi=api

_i+bpi+cpi+i(i=l,2,…，7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=l).假

设a=0.5,4=0.8.

①证明：｛pi+LP，｝(i=0,l,2,…，7)为等比数列；

②求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

解(DX的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=(1-W，

P(X=0)=*+(l-a)(l一份，

P(X=l)=a(l-6.

所以X的分布列为

X-101

P(l-a)8侬+(l-a)(l—/)a(l-份

(2)①证明：由(1),得。=0.4,。=0.5,c=0.1,

因此Pi=0.4p,_i+0.5pi+0.Ip、1,

故0.1(p：+i-㈤=0.4(伊-2_1),

即pi+\-pi=4(/?/-p,_i).

又因为pi-po=pi#O,所以｛pi+i-pi｝(i=0,1,2,…，7)是公比为4,首项为

pi的等比数列.

②由①可得

“8=P8_m_P6+…+0_+而

48-1

=(/?«-〃7)+(P7­〃6)+…+(/?!-/?())=3/"•

3

由于P8=l,故0=48_1，

44-1I

所以〃4=(7?4一/73)+53—〃2)+。2—0)+(/?1_〃())=3Pl=257-

P4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为

0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为〃4=备P0.0039,此时得出

错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

例6某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有〃(〃6N*)份

血液样本，有以下两种检验方式：逐份检验，则需要检验〃次；混合检验，将其

中Z(ZWN*且左22)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这

女份的血液全为阴性，因而这2份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果

为阳性，为了明确这攵份血液中究竟哪几份为阳性，就要对这％份再逐份检验，

此时这人份血液的检验次数总共为左+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份

样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为

p(O<p<l).

(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，

求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

(2)现取其中《GCN*且Z22)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检

验的总次数为不，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为殳

①试运用概率统计的知识，若E©)=E(a),试求〃关于左的函数关系式〃=

型);

②若/?=1--,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望

值比逐份检验的总次数期望值更少，求我的最大值.

参考数据：In2=0.6931,In3-1.0986,In4.1.3863,In5=1.6094,In

6=1.7918.

解⑴所求概率P=J艮恰好经过4次检验就能把阳性样本全部

检验出来的概率为1.

(2)①由已知，得E©)=Z,

立的所有可能取值为1,k+\,

=1)=(1-P)\P©=Z+1)=1-(1—pp,

=(1—p>+(%+=

若E©)=£&),则攵=%+1-女(1-〃)“，

「"(I-p»=1,(1-p)k=l，

・•.P关于k的函数关系式p=1-(好(k6年且Z22).

②由题意可知E©)<E©),得

设式》)=Inx-gx(x>0),

.•.当0<r<3时，/'(x)〉0,即以)在(0,3)上单调递增；

当x>3时，/'(幻<0,即人尤)在(3,+8)上单调递减，

44

又In4Pl.3863,孑=1.3333,.,.In4>y

•「In5F.6094,|心1.6667,

.,"的最大值为4.

［冲关策略］此类题目往往是利用概率、统计知识，判断生活中实际问题的

方案是否合理，或解决最佳方案的选择问题，即最值问题，方法是借助数列或导

数的知识求出最大QJ、)值.

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