高中数学4章概率与统计42随机变量4241课时离散型随机变量的均值B选择性B

随机变量的数字特点第1课时失散型随机变量的均值学习目标核心修养1．理解失散型随机变量的均值的意义和性质，会依据失散型随机变量的散布列求出均值．(要点)1．经过学习失散型随机变量的均值，领会数学抽象的修养．2．掌握两点散布、二项散布、超几何散布的2．借助数学希望公式解决问题，提高数学运均值．(要点)算的修养.3．会利用失散型随机变量的均值解决一些相关的实质问题．(难点)某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比率混淆销售，怎样对混淆糖果订价才合理？1．均值或数学希望(1)定义：一般地，假如失散型随机变量

X的散布列以下表所示．Xx1

x2

xk

xnPp1

p2

pk

pn则称nE(X)＝x1p1＋x2p2＋＋

xnpn＝∑

xipi为失散型随机变量

X的均值或数学希望

(简称为期i＝1望)．意义：它刻画了X的均匀取值．(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(x)＋b.拓展：随机变量的均值公式与加权均匀数的联系加权均匀数，假定随机试验进行了n次，依据X的概率散布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p22nnpnx＋pnx＋＋pnx＝E(X)．1122nnnx＋＋pnx.所以n次试验中，X出现的均匀值等于n故E(X)＝p1x1＋p2x2＋＋pnxn.2．两点散布、二项散布及超几何散布的均值若随机变量X听从参数为p的两点散布，则E(X)＝p.(2)若X听从参数为n，p的二项散布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；nM(3)若X听从参数为N，n，M的超几何散布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝N.1．思虑辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学希望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值反应样本的均匀水平．()(3)若随机变量X的数学希望E(X)＝2，则E(2X)＝4.()(4)随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋＋xn()n.[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．若随机变量X的散布列为X－101P111263则E(X)＝()A．0B．－111C．－6D．－2111111C[E(X)＝－1×2＋0×6＋1×3＝－2＋3＝－6.应选C.]3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.35[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]4．(一题两空)若随机变量X听从二项散布B4，1，则E(X)的值为________；若随机3变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________.43[E(X)＝np＝4×143×5＝3323＝3，E(Y)＝102.]求失散型随机变量的数学希望【例1】(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学希望值为6，则口袋中白球的个数为( )7A．3B．4C．5D．2(2)(一题两空)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则①投篮1次时命中次数X的数学希望为________；②重复5次投篮时，命中次数Y的数学希望为________．(1)A(2)①0.6②3[(1)设白球x个，则拿出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7,2，2x6x),E(ξ)＝7＝7，∴x＝3.应选A.①投篮1次，命中次数X的散布列以下表：X01则E(X)＝0.6.②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y听从二项散布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np5×0.6＝3.]常有的三种散布的均值1．设p为一次试验中成功的概率，则两点散布E(X)＝p；二项散布E(X)＝np.nM2．超几何散布E(X)＝N，此中X～H(N，n，M)．娴熟应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．[跟进训练]1．(1)篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的希望是________．1k2300－kk(2)设失散型随机变量X的散布列为P(X＝k)＝C300·3·3(k＝0,1,2，，300)，则E(X)＝________.(1)0.8(2)100[(1)由于P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.1k2300－kk，(2)由P(X＝k)＝C300·3·311可知X～B300，3，∴E(X)＝300×3＝100.]失散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的散布列为X－2－1012P111m143520若Y＝－2X，则E(Y)＝________.17[由随机变量散布列的性质，得151＋1＋1＋m＋1＝1，解得m＝1，435206∴E(X)＝(－2)×11111174＋(－1)×3＋0×5＋1×6＋2×20＝－30.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×－171730＝15.](变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－11，求a的值．21711[解]E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－30a＋3＝－2，所以a＝15.若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出EX，再利用公式EaX＋b＝aEX＋b求Eξ.也能够利用X的散布列获取ξ的散布列，要点由的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得Eξ.

X[跟进训练

]2．已知随机变量ξ和η，此中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的散布列以下表，则m的值为( )ξ12341mn1P1241B.1A.3411C.6D.8A[由于η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，11即E(η)＝121×4＋2×m＋3×n＋4×12＋7＝34.5所以2m＋3n＝3，①11又4＋m＋n＋12＝1，所以

2m＋n＝3，②由①②可解得

1m＝3.]求失散型随机变量的均值【例3】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，集中安排在一同，若采纳抽签的方式随机确立各单位的演出次序(序号为(1)甲、乙两单位的演出序号起码有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的散布列与均值．[思路点拨](1)可先求“甲乙两单位的演出序号起码有一个为奇数

每个单位的节目1,2，，6)，求：”的对峙事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，而后求其散布列和均值．[解]

只考虑甲、乙两单位的相对地点，故可用组共计算基本领件数．(1)设

A表示“甲、乙的演出序号起码有一个为奇数

”，则

A表示“甲、乙的演出序号均2为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A)＝1－C32C641－5＝5.ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝52＝1，P(ξ＝1)＝42＝4，P(ξ＝2)＝32＝1，P(ξ＝3)＝22＝2，P(ξ＝4)＝12＝C63C615C65C615C6115.进而知ξ的散布列为ξ0123414121P155151531＋1×413×2＋4×14所以E(ξ)＝0×15＋2×＋1515＝.353求失散型随机变量ξ的数学希望的步骤依据ξ的实质意义，写出ξ的所有取值．求出ξ的每个值的概率．写出ξ的散布列．利用定义求出数学希望．此中第(1)、(2)两条是解答此类题目的要点，在求解过程中应着重剖析概率的有关知识．[跟进训练]3．盒中装有5节同牌号的五号电池，此中混有两节废电池．此刻无放回地每次取一节电池查验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的散布列及数学希望．[解]X可取的值为1,2,3，323＝3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×55410211.P(X＝3)＝××1＝1054抽取次数X的散布列为X123P3315101033＋3×13E(X)＝1×＋2×1010＝.52失散型随机变量的均值实质应用[研究问题]1．假如某篮球运动员的罚球命中率为0.7，则其罚球10次大概能命中几个球？[提示]10×0.7＝7个球．2．在实质问题中，为何用样本均值来预计整体均值？[提示]随机变量整体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随样本的不一样而变化，但当样本容量趋于无量大时，样本均值就愈来愈靠近于整体的均值，故我们常用样本均值预计整体均值．【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，此中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获取的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品损失2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.求X的散布列；求1件产品的均匀利润(即X的数学希望)；(3)经技术改革后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，假如此时要求1件产品的均匀利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？依据利润的意义求出数学[思路点拨]→写出X的散布列→希望EX写出X的取值利用希望→回答下列问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝20050＝0.25，20P(X＝1)＝200＝0.1，4P(X＝－2)＝200＝0.02.故X的散布列为X621－2P0.630.250.10.02E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.设技术改革后的三等品率为x，则此时1件产品的均匀利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实质问题中的希望问题均值在实质生活中有着宽泛的应用，如对体育竞赛的成绩展望、花费展望、工程方案的展望、产品合格率的展望、投资利润的展望等方面，都能够经过随机变量的希望来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确立实质问题是哪一种概率模型，可能用到的事件种类，所用的公式有哪些．确立随机变量的散布列，计算随机变量的希望．比较实质意义，回答概率、均值等所表示的结论．[跟进训练]4．甲、乙两射击运动员进行射击竞赛，射击同样的次数，已知两运动员击中的环数X稳固在7,8,9,10环．将他们的竞赛成绩画成频次散布直方图如图甲和图乙所示．(1)依据此次竞赛的成绩频次散布直方图推测乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包含9环)的概率；(2)依据此次竞赛的成绩预计甲、乙谁的水平更高(即均匀每次射击的环数谁大)．[解](1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35，所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.150.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)由于E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)>E(X乙)，所以预计甲的水平更高．1．求失散型随机变量均值的步骤：(1)确立失散型随机变量X的取值；(2)写出散布列，并检查散布列的正确与否；(3)依据公式写出均值．2．关于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也能够先列出aX＋b的散布列，再用均值公式求解，比较两种方式明显前者较方便．3．若随机变量

X～B(n，p)，则

E(X)＝np，若随机变量

Y～H(N，n，M)，则

nME(Y)＝N

.1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学希望是( )A．0.83B．0.8C．2.4D．3C[E(X)＝3×0.8＝2.4.]2．有N件产品，此中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是()MA．nB．(n－1)NnMMC.ND．(n＋1)N[∵抽到的次品数X～H(N，n，M)，∴抽到次品数的数学希望值E(X)＝nM.]N3．某射手射击所得环数ξ的散布列以下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．x＋0.1＋0.3＋y＝1，0.4[依题意得7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，x＋y＝0.6，即

解得

y＝0.4.]7x＋10y＝5.4，4．已知E(X)＝5，且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a＝________.35－3[∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝3a＋3＝－2，∴a＝－3.]5．依据过去统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为

0.3，设各车主购置保险