函数的卷积及其公式的应用

-.z.函数卷积及其应用摘要卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。关键词卷积卷积公式性质应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。2卷积的定义和性质2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:是上的两个可积函数，作积分:随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数，称为函数与的卷积，记为=(或者).注(1)如果卷积的变量是序列，则卷积的结果：，其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是的时序取反的结果;时序取反使得以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，是使位移的量，不同的对应不同的卷积结果.〔2〕如果卷积的变量是函数和，则卷积的计算变为：，其中是积分变量，积分也是求和，是使函数位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数一般要比都光滑.特别当为具有紧致集的光滑函数，为局部可积时，它们的卷积也是光滑函数.2.2卷积的性质性质〔交换律〕设,是上的两个可积函数，则.证令，则，所以===性质〔分配律〕设是上的三个可积函数，则.证根据卷积定义==+性质〔结合律〕设是上的三个可积函数，则.证令，，则====令，上式===性质.证明=.性质〔微分性〕设是上的两个可积函数，则.证明即意义卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样.性质〔积分性〕设，则.意义卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样.推广.性质〔微积分等效性〕设,是上的两个可积函数，则.例2.1设，，求.解由卷积定义知==例2.2设函数试计算其卷积.解由卷积定义知所以=显然这个积分值与函数，所取非零值有关，即与参数的取值有关.当时，因，所以，此时=当时，只有时，有，此时=当时，因为，所以，此时=综上所述，有=3.卷积定理3.1时域卷积定理设两函数，的傅里叶变换分别为：则两函数卷积的傅里叶变换为：上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明====3.2频域卷积定理设两函数，的傅里叶变换分别为：则两函数卷积的傅里叶变换为：上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以.证明于是例3.1求积分方程的解，其中为函数，且的Fourier变换都存在.解假设由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier变换可得解得所以原方程的解为例3.2求常系数非齐次线性微分方程的解，其中为函数.解设现对原方程两端取Fourier变换，并根据Fourier变换的性质可得解得所以原方程的解由卷积定理得=.求微分积分方程的解.其中均为常数.解设现对原方程两端取Fourier变换，并根据Fourier变换的性质可得解得，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设和的联合密度函数为，则得概率密度为证明的分布函数是：其中=于是=从而由和的对称性知。特别地，当和独立时，设的边缘密度分别为则上述两个式子化为………………(1)…(2)(1),(2)式称为卷积公式.注虽然卷积公式针对的是两个独立随机变量直接求和的情形，但它一样可以巧妙地用于计算两个独立随机变量线性和的概率密度函数.4.2卷积公式在概率论方面的应用例设二维连随机变量的联合概率密度函数为：，令，求.解：经过计算知，显然，对任意的，即独立.由卷积公式(2)，即注：虽然不是求的分布，而要求的分布，用表示的取值，将看作一个整体，根据，直接用来表示的取值，从套用卷积公式(2)一样得到了以上正确答案.例假设是两个相互独立的随机变量且均服从正态分布，求得概率密度.解由卷积公式===令，得到于是服从正态分布.4.3卷积公式的推广三重卷积公式及其应用定理.1假设三个随机变量的联合概率密度函数为，则的概率密度函数为.证明随机变量的分布函数及其概率密度函数分别为，其中由于，因此的概率密度函数为.推论.1当随机变量是相互独立时，有=其中分别是*,Y,Z的概率密度函数.例.1设*商品一周需要量是一个随机变量，其概率密度为，并设各周的需求量是相互独立的，求三周的需求量的概率密度.解设第周的需求量为〔=1,2,3〕，则三周的需求量，由三重卷积公式知：===综上,我们得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式,此公式应用起来比拟简便,有一定的实际利用价值.多重卷积公式及其应用.1〔重卷积公式〕设，,…,是个独立的随机变量，它们的概率密度分别为〔…n〕,则的概率密度为=………证明用数学归纳法当时，由卷积公