中考数学培优易错试卷之圆与相似附详细答案

中考数学培优易错试卷(含解析)之圆与相似附详细答案一、相1．如图，正方形ABCD、等腰eq\o\ac(△,)的点在对角线上点P与AC不合），与交于E延长线与AD交于点F，连接CQ．（）求证AP=CQ；求=AF•AD；（）AP：：，．【答案】（1）证明：①四边形ABCD是正方形，AB=CB，ABC=90°，ABP+PBC=90°，是腰直角三角形BP=BQ，PBQ=90°CBQ=90°ABP=，ABP，AP=CQ;②四形ABCD正方形，DAC=ACB=45°，PQB=45°CEP=CBQ=，由得ABPCBQ，ABP=CPQ=APF，APF=，，(本也可以连接，eq\o\ac(△,)ADP)（）明：由eq\o\ac(△,)CBQ，BCQ=BAC=45°，ACB=45°,PCQ=45°+45°=90°CPQ=,由得AP=CQ,又AP:PC=1:3，

，由得CBQ=，CPQ=.【解析】【分析】（）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证ABPCBQ，可得②利正形的性质可证得CBQ=CPQ，再由ABPCBQ可APF=ABP，从而证eq\o\ac(△,)△ABP由相似三角形的性质得证；（）ABP可得BCQ=，可得，由三角函数可得tanCPQ=，由AP:PC=1:3AP=CQ，得，由CBQ=可出答

案2．如图1，过等边三角形ABC边上一点作的中点M，，连接．

交边于E，别取BC，（）现：在中（）用：如，

________；绕点旋转，请求出

的值；（）展如3，是底边BC，的点，若

和

是等腰三角形，且，请直接写出的值．

，，分别【答案】（）（）：如图中，连接、，，

都是等边三角形，

，，，

，，

，，，∽

，，

（）：如图中，连接、，长AD交CE于H，交AC于，，，

，，

，，，，，，，，，

，

，，，，，

，

，，，，，，，，，，

【解析】【解答】解：（）如图1中作

于H，接AM，，

，时等边三角形，，，，，平分线段DE，，、、共，，四边形MNDH时形，，，故答案为：；【分析】（）BC于H，接AM.证四边形MNDH时形，所以，MNBD=DH：，即可求解；（）eq\o\ac(△,)，ADE都是等边三角形可得AM：AB=AN：，得MAN，而eq\o\ac(△,)BAD，NM：BD=AM：，而求解；

=（）接AM、AN延长AD交CE于H，AC于先

MAN可NMBD=AM：ABC；证eq\o\ac(△,)，ACE，而可得ABC45°，可求出答.3．如图，eq\o\ac(△,)ABC中，ABC的分线交AC于，点E作BE的垂线交AB于点F，O是BEF的接圆．

（）证：是O的线；（）点作EH，垂足为，求证：CD=HF；（）知：，，的长．【答案】（）明：如图，连接OE．BE平，，，OBE=OEBOEB=CBEOEBC，，AC是O的切线；（）：如图连结．，ECBC于，于，．CDE+BDE=180°，HFE+BDE=180°，CDE=HFE．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)HFE中，HFE（），．（）：由（）得CD=HF．又CD=1HF＝

在eq\o\ac(△,)HFE中，BEBEF=90°EHF=BEF=90°EFH=BFE△BEF

＝，即BF=10,在eq\o\ac(△,)中，

,

,在eq\o\ac(△,)中

,

.【解析】【分】（1）连接．用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE，从而，得到证明；（）结DE．用AAS可eq\o\ac(△,)HFE，而得到明；（）△，相似三角形的性质可求得，而得到，eq\o\ac(△,)和EOA，由cosEOA可出，从而求出4．如图，O的径，弦CD于H，为O上点，连接AG交CD于，在CD的长线上取一点E，使，EG的长线交AB的长线于F.（）证：是的线；（）接，ACEF时①求eq\o\ac(△,)△；

②若，

，求BF的长【答案】（）明：如图，连接OG.EG=EK，KGE=GKE=AKH，又，OAG，CD，OAG=90°，KGE+，是O的切线.（）：EF，C，又C=，AGD，又CKE△KGE.②连OG，如图所示设，

，，

，，则KE=GE，，CK=AC=5k，HK=CK－在eq\o\ac(△,)AHK中，根据勾股定理得2+HK=AK

，即，，，，则，设O半径为R，在eq\o\ac(△,)OCH中OC=R，－，CH=4k由勾股定理得：2＋2

，

，在eq\o\ac(△,)OGF中，

，

，【解析】【分析】（）接根据切线的判定，证出KGE+OGA=90°，EF是O的切线（）证E=，又CKE，eq\o\ac(△,)KGD△KGE.连OG.

，设，，，

，在eq\o\ac(△,)中根据勾股定

理得AH+HK=AK2

，即

；由勾股定理得：2

＋2=OC2

，；在eq\o\ac(△,)中，

，，5．已知：如图，在梯形ABCD中，，D90°＝＝，E在边AD上不与点A重）＝，与角线相交于点F，设DE＝（）含x的数式表示线段CF的；（）果eq\o\ac(△,)的周长记作，的长记作BAF，设＝，关于的函数关系式，并写出它的定义域；（）当ABE的切值是

时，求AB的长.【答案】（）：AD=CD.DAC=ACD=45°，，DAC=，ECA=ECA，

，在eq\o\ac(△,)CDE中根据勾股定理得CE=

，

，

，CF=

；（）：，CEB=，﹣CEB﹣CFE=180°﹣CAB，ABF=180°CAB﹣AFB，ECA=ABF，

CAE=ABF=45°，△，（）：由（）知eq\o\ac(△,)CEA△，

（＜＜

，AB=x+2，的切值是，

，，x=，AB=x+2=.【解析】【分】（1）据等腰直角三角形的性质，求得，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得CEF△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（）据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；3由（中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的系，然后可ABE的正切值求.6．如图所，eq\o\ac(△,)ABC中点是上点，过点O的直线与AB，的长线分别相交于点，N.（）问题引】若点是AC的中点，

，求

的值；温馨提示：过点A作的行线交的延长线于点（）探索研】

若点是AC上任意一点不，重)，求证：

；（）拓展应】如图所，点是ABC内意一点，射线，，CP分别交，，于，E，若，，

的值．【答案】（）解：过点A作MN的行线交BN的延长线于点G.ON，∴.O是AC的点，＝，＝CN.MN，

，.（）：证明1)可知，

=1（）：eq\o\ac(△,)ABD中点是上点，过点P的线与AB，的延长线分别相交于点，由2)可得交于点，由2)可

.在ACD中过点P的直线与，CD的长线分别相【解析】【分析】（）AG交BN延线于点,eq\o\ac(△,)ABG△得

,即

,同理可证OCN得进行求解

,结AO=CO得NGCN从而由(2)由可知,(3)由2)可在中有

,在中

,

,

从而

,因可:.7．如图，正方形的长为4，EF分别在边AB，上且＝，CF的长线交BA的延长线于点，的长线交DA的长线于点H，接AC，．．（）求与的大小关系（＞或＜或＝）（）段ACAG，什么关？请说明理由；（）AE＝，①的积有化吗？如果变化．请求出与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请接写出eq\o\ac(△,)是等腰三角形的m值【答案】（）四形是正方形，AB＝＝＝＝，DDAB＝DACBAC＝，AC＝

，DAC＝AHC+ACH＝，ACHACG＝，AHC＝ACG．故答案为＝．（）：结论AC＝•AH．理由：AHC＝ACG，CAH＝＝，ACG，

，AC＝•AH．（）：的积不变．理由：S

＝•AH•AG＝AC＝（

）＝．的积为16②如1中，当＝时，易eq\o\ac(△,)AHGBGC，

可得AG＝＝，＝BG＝，，

,AEAB＝．如图中当＝时，易证AHBC＝4，

＝，AEBE2如图中当CGCH时易＝DCF＝．在BC上一点M，得BMBE，

＝BEM45°，＝MCE+，MCE＝22.5°，CMEM，设＝m，则＝

m，m

m＝，m＝（

﹣）AE44（

﹣）＝4

，综上所述，满足条件的m的值为或或8﹣

．【解析】【分析】（）证明DAC=ACH=45°ACH+，可推出AHC=；）结论：AC=AG•AH．要证明△即解决问题；（）①的积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分种形分别求解即可解决问题8．如，抛物线

与

轴交于点，

轴交于点

.在线段

上有一动点

（不与

重合），过点

作

轴的垂线交

于点，抛物线于点，过点作

于点.（）直线

的函数解析式；（）证：【答案】（）：令：

；并求出当为值时，，则

和，解得：

的相似比为.，（舍）令，，设直线：解之得：（）明

，把，

分别代入上式得：

又

，

，

，

，

，

，（）【解析】【分析】设直线：

，求出AB点标，代入求出k,b即.(2)利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式，分别表示出AN的，再根据相似比列式计算即.二、圆综合9．图和2，圆O的直径，点P（与点，重）半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点AO的称点A，′，设ABP=α．（）α=15°时过点A作A′C，如图1，断A与圆的位置关系，并说明理由．（）图2，α=时BA与圆O相．当α=°时，点O落

上．（）线段与圆O只一个公共点B时求α的值范围．【答案】（）′C与圆O相；理由见解析；2）；（）α＜或45°≤α＜【解析】试题分析：1）作ODA′C于D，′B于，利用含30°角直角三角形性

质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，判定A′C与圆相切；（）BA与圆相切时，可知OBA′B，则可知，在

上时，连接AO，则可知BO′=，求得O，求得；（）用2）知当α=30°时，线段O′B与交于O，当α=45°时于点B，合题意可得出满足条件的的围．试题解析：1）切，理由如下：如图，作ODO作′C于点，′B于，α=15°，′CAB，ABACA′B=30°，A′E，BE，DO=DE+OE=（′E+BE）AB=OA，′C与圆相；（）BA与圆相切时，则OB，′=2α=90°，，当在

上时，如图，连接AO，可知BOAB，O，，

α=30°，（）点P，不合＞，由（）知α增大到30°时点在圆上，当＜＜时′在半圆内，线段BO与半圆只有一个公共点；当增到45°时BA与圆相切，即线段与半圆只有一个公共点B．当继增大时，点P逐靠点B，但是点，B不合，α＜，当45°α＜线段BO与圆只有一个公共点B．综上所述＜＜或≤＜90°．考点：圆的综合题．10．知AB，都e的直径，连接，点的切线交DB的长线于点．

如图1，证：AODE180

o；

如图2，点A作

AF

交的延长线于点，点作

DGAB

，垂足为点G，证：

DG

；

DG如图3，的件下，当时，在eO外一点H连接CH、分交CE4eO

于点、，且

HDEHCE

，点P在的延长线上，连接PO并长交CM于点，PD，

，

MQOB

，求线段的．【答案】（）明见解析2证明见解析（）3【解析】【分析】（）由D+，得D=180°，要证明AOD=2D即；（）图2中作AF于R只要证eq\o\ac(△,)AORODG即；（）图3中连接BC、OM、、，作BT于T，NKCH于，CH交DE于．解直角三角形分别求出KM即；【详解】

证明：如图1中

Qe

与相于点C，OCCE，，OCE90，DE180

，Q

，

D

，

AOD

，AODE

．

证明：如图2中作ORAF于R．OCFFORF90四边形OCFR是矩形，，CFOR，AAOD，在VAOR和中，

，QAAOD

，AROOGDo，OA，VAOR≌VODG，

，

，

解：如图3中，连接、OM、、，作CL于T，NKCH于，CH交DE于W．

设

DG

，则

，

CE

，OCFFBTE，Q，CTCF，ET，QCD为直径，

，90CBE，

EBTCBT，tanEtanCBT，BT，ETBTBT3m，BTBT根已经舍弃

)

，E

m

60oQ，HDEH，

，QOM，VOMN是等边三角形，MN，OM，，

o

，MOQ

o

120

o

，

MQO

o

120

o

，PON

，ONNP25

，CD

，

MNON25

，

在RtVCDN，

DN

2

2

，在RtVCHN，

H

48HN

，3，在RtVKNH中

HN3

，NKHN，在

RtVNMK

中，MK

MN222524，HMHKMK．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键11．图AB是O的直径，点C，是圆的等分点，过点C作O的线交AD的延长线于点，过点作AB于，交于，接DC，．（）证AEC=90°（）判断以A，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由；（）DC=2，DH的长．【答案】（）明见解析；（）边形为形；（）DH=2

．【解析】试题分析：1）接OC，据EC与切C，，题意得，DAC=CAB即可证明，则AEC+OCE=180°，而得出；（）边形为形．由（）

，则DCA=CAB可明四边形AOCD是平行四边形，再由，即可证明平行四边形AOCD是形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（）接．据四边形AOCD为菱形，eq\o\ac(△,得)是边三角形，AOD=60°再由

DHAB于点F，为径，在eq\o\ac(△,Rt)OFD中，根据sin试题解析：1）接OC，

，求得DH的长．与切C，EC，，点CD是圆O的等分点，

，DAC=，，CAB=，DAC=OCA，OC（内错角相等，两直线平行）AEC+OCE=180°，；（）边形为形．理由是：

，DCA=，CD，又，四形平行四边形，，平四边形是形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（）接．

四形菱形，OA=AD=DC=2，OA=ODOA=OD=AD=2，OAD是等边三角形，AOD=60°，AB于点F，为径，，在eq\o\ac(△,)OFD中，DF=ODsinAOD=2sin60°=

，，DH=2DF=2

．考点：切线的质2.等边三角形的判定与性质3.菱的判定与性质直角三角形．12．题发现．(1)如图，eq\o\ac(△,)ABC中，C＝，＝，BC＝4，点D是边上任意一点，则的最小值为．(2)如图，形ABCD中，＝，＝，、点分别在BDBC上求CM+MN的最小值．(3)如图，形ABCD中，＝，＝，E是AB边一点，且AE＝，是BC边上的任意一点，eq\o\ac(△,)BEF沿翻，点B的应点为，接AGCG，边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的度．若不存在，请说明理由．CD;(2)CMMN的小值为【答案】【解析】试题分析：1）据两种不同方法求面积公式求解；2）作

关于BD的称点

C

，过C

作

的垂线，垂足为

，求

C

的长即可(3)连

，则四GCD

VADC

V

，

EBABAE，点的轨迹为以E为圆心，为径一段弧．过

的垂线，与交点

G

，垂足为

，由VAEMVACB

求得的，再由

S四边AVV

求解即可试题解析：（1）从C离最小即为过CAB的线，垂足为D，

55CD

V

，

CD

ACAB

，（2）C关于BD的称点CBC的垂线，垂足N，与BD交，则CMMN的小值为，设CCBD交H，CHBD，

VBMCBCD

，且

，

BDC

，CC

，

，

24CBD

，即

CM

的最小值为

．（3）接AC，

四GCD

VADC

V

，EBABAE

，点G的迹为以

为圆心，1

为半径的一段弧．过E作的线与E交点G，足为，

VAEMVACB

，

EMAEBC

，

EM

AE2AC55

，

3GMEG

，四边AGCD

VACD

VACG

，

，

．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．13．图，eq\o\ac(△,)中，＝，AB为径的O与BC交点D，，垂足为，AB的延长线于点．(1)求：是O的切线；(2)C＝60°AC12，

BD

的长．(3)若tanC＝，AE＝，BF的．【答案】见;2；

.【解析】分析：1）接，据等腰三角形的性质：等边对等角，C，ABC=ODB，从而得C=，据同位角相等，两直线平行，得到AC，从而得证EF，即EF是O的线；（）根中点的性质，由AB=AC=12，得OB=OD=

AB

=6，而根据等边三角形的判定得eq\o\ac(△,)是边三角形，BOD=60从而根据弧长公式七届即可；（）接AD，据直角三角形的性质，由在eq\o\ac(△,)DEC中

设CE=x,则，后由eq\o\ac(△,)ADE中

tan

AEDE

，求得DE、的，然后根据似三角形的判定与性质求解即.

详解：1）接ODAB=ACABC=ODBAC又DE即ODEF是O的切线（）∵AB=AC=12∴

AB

=6由（）：C=ODB=600OBD是边三角形BOD=60

BD

=

即

BD

的长

（）接ADDEACDEC=DEA=900在eq\o\ac(△,)DEC中

tan

DECE

设CE=x,则AB是直径ADC=900ADE+CDE=90

在eq\o\ac(△,)DEC中C+CDE=900ADE在eq\o\ac(△,)中

AE

，DE=4则CE=2AC=AE+CE=10即直径AB=AC=10则OD=OB=5OD//AE△AEF

OFOD5即：AFBF解得：

即BF的长为.3点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14．图，已知为O的直径，，和D是上关于直线对的两个点，连接、，且90°，直线BC和直线AD相于点，过点C作线CG与段AB的延长线相交于点，与直线AD相交于点且GAF＝GCE（）证：直CG为O的线；

（）点为段OB上一点，连接，满足＝，①CBH△②求OHHC的大值【答案】（）明见解析；2）证见解析【解析】分析：1）题意可知：CAB=GAF，圆的性质可知CAB=OCA，以GCE，从而可证明直线CG是O的线；（）由于CB=CH所以CBH=，易，而可证明CBH；②eq\o\ac(△,)CBHOBC可知：

BC＝OCBC

BC，所以HB=，于，以4BCOH+HC=4−+BC，用二次函数的性质即可求出的最大值．4详解：1）题意可知：CAB=GAF，AB是的径，ACB=90°，CAB=，OCA+，GAF=，GCE+OCB=OCA+OCB=90°，是的径，直CG是O的线；（），CBH=CHB，OB=OCCBH=，CBH②eq\o\ac(△,)CBHOBC可知：，

HB＝BCBC

•OC=4HB，

HB=

BC4

2

，OH=OB-HB=4-，

BC4

2−

BC4

2

+BC，当，此时BC=4

BOC＜90°＜＜

，令则CH=x，

x24OHHC当时，可得最大值，最大值为点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识