演绎归纳类比

推理推理就是从一个或几个已知推断推出一个新推断的思维形式。任何推理都是由两部分组成，一部分是推理所依据的已知推断，即前提；一部分是推出的新推断，即结论。推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理演绎推理所谓演绎推理，是由一般性学问的前提，推出个别性学问结论的推理，即从一般到个别的推理。三段论：大前提、小前提和结论公理一：凡确定一类就能确定一类中的一部分公理二：凡否定一类就能否定一类中的一部分演绎法归纳推理归纳推理是以个别学问的推断为前提，推出一般性学问的推断为结论的推理。依据前提中是否考察了某类事物的全部对象，归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理两种。归纳推理的几个特点1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包涵的范围2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有揣测性3.归纳的前提是特殊的状况,因而归纳是立足于视察、阅历和试验的基础之上归纳推理的一般步骤：试验、视察概括、推广揣测一般性结论结论对于全部的自然数n,前五个均是质数4=2+26=3+36＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，1000＝29+9711002=139+863,…前提:

“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”----歌德巴赫猜想结论:目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理.“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且（n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.分别把n=1,2,3,4代入得:归纳:例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推想:把n个金属片从1号针移到3号针,最少须要移动多少次?n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.46455659846455659866861281261046455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式类比推理类比推理是两个对象在一系列属性上相同，而且已知其中一个对象还具有其他属性，由此推断另一个对象也具有同样属性的推理。类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必定的联系。但是，它是获得新思路，新发觉的一种观点、一种手段。类比推理是探究真理的重要逻辑形式。类比推理的逻辑形式类比推理可用如下公式表示：A对象具有a、b、c、d属性，B对象具有a、b、c属性，因此，B对象可能也有d的属性类比推理的特征(1)类比推理的方向是从个别到个别，或从一般到一般。(2)类比推理的结论是或然的。类比的结果是揣测性的不确定牢靠,但它却有发觉的功能.⑶检验猜想。视察、比较联想、类推猜想新结论类比推理的一般步骤:⑴找出两类对象之间可以精确表述的相像特征；⑵用一类对象的已知特征去推想另一类对象的特征，从而得出一个猜想；即类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d′.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a′,b′,c′,(a,b,c与a′,b′,c′相似或相同）1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,独创了锯;2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,独创了潜水艇.3.科学家对火星进行探讨,发觉火星与地球有很多类似的特征;1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.科学家猜想;火星上也可能有生命存在.①②③④⑤⑥若，则

①②③④⑤⑥若，则

⑦⑦利用平面对量的性质类比得空间向量的性质例3.在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC相互垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，探讨三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是______________________.”DABCＡＢＣabcc2=a2+b2类比平面内直角三角形的勾股定理,得空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例4、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆弦直径周长面积球截面圆大圆表面积体积圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例5:利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的表面积圆的周长圆的面积例6.利用等差数列性质类比得等比数列性质n+m=p+q时,am+an=ap+aqn+m=p+q时,aman=apaq随意实数a、b都有等差中项，为当且仅当a、b同号时才有等比中项，为成等差数列成等比数列下标等差,项等差下标等差,项等比例4：试依据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。思索：这样猜想出的结论是否确定正确呢？又如,在平面内，若a⊥c,b⊥c,则a//b.类比到空间，你会得到什么结论？并推断正误.错误（可能相交）猜想:在空间中，若a⊥g，b⊥g,则a//b。归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理都是依据已有的事实,经过视察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.从具体问题动身视察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想分割问题中的类比1．问题：5个平面最多把空间分为几个部分？平面相互尽可能多地相交，才能分割最多。假如5个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清晰，先把问题一般化，再把问题特殊化，渐渐找规律。2．问题一般化：n个平面最多把空间分为几个部分？记分为个部分，再令把问题特殊化。3．问题特殊化：从简洁的状况做起，以便“类比”

4个平面的状况不易想清晰了。但想到要使平面相交最多，才能把空间分割最多。平面相交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它的全部平面相交，二是每个平面都不过它以外随意三个平面的交点（三个平面一般状况下相交于一个点）。由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的状况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？原委现在把空间分成了几个部分呢？暂难想象。由此我们想到去类比“直线分割平面”的情形。

4．类比3条直线分割平面的情形这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这3条直线把平面分为几部分。数一数，是7部分。这对我们有什么启示？

②①③④⑤⑥⑦我们分析一下这7个部分：①是有限的部分，原三角形内部；而几个无限部分，或与原三角形有公共顶点（②，③，④），或与原三角形有公共边（⑤，⑥，⑦）。把它们加起来，于是1+3+3=7。所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。5．类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有6个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空间总的部分数为1+4+6+4=15。以下仍要考虑这就是一起先提出的问题：5个平面最多把空间分为几个部分？这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是4条直线分割平面？又如何类比？想不清晰了。对我们来说，不如在“一般情形”下考虑问题：个平面分割空间和条直线分割平面。条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任何两条不平行；任何三条不共点。个平面“处于一般位置”的要求是：任两平面不平行；任四平面不共点[（或说任三平面不共线）这是四平面不共点的必要条件，并非充分]。进而，我们类比直线上的问题：个一般位置的点分割直线的问题。这一问题比较简洁：个点最多把直线分为个部分。这对我们会有启发。假如我们把极端状况——有零个分割元素的状况——也考虑在内，那么被“分割”成的部分数是1。下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。6．类比一般化（说明记号，然后看图）

于是，我们得到了一系列待解决的问题。孤立的问题有时难于理解，而解决系列问题有时比解决弧立问题好入手。现在，原问题“”已处在系列问题之中，比之原来的情形，求解已有进展。7．（用类比的观点）猜想视察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么联系？有什么规律性？从最右一列，先以为有“2的方幂”的规律，但8后边的表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可能突然看到表中有34；78715，以及联想到3+4=7，7+8=15。这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。这是我们解决原问题的钥匙吗？我们猜想它确是规律。那我们把表按此规律，顺沿到，原问题的解就是？

类比不是证明但这种类比不是证明，只是合理的猜测；还须要分析这一揣测，以便证明这一揣测，或者否定这一揣测。这才是用类比、归纳的方法去探讨问题的确定性步骤。8．分析、推理我们的分析从“时直线分平面”入手，我们已经通过“顺沿上表”猜想：4条直线最多把平面划分为11个部分。它是正确的吗？我们在3条直线分平面为7个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过随意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了11个部分。所以这揣测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，或许还能从中找到理解一般情形的线索。3条直线分平面为7个部分；4条直线就分平面为11个部分了，即增加了4部分；从3条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了3个新交点，这3点把新添的直线分为4段，每一段把它穿过的（由前3条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了4个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，这个“4”也正是3点把直线分为4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增加了我们对所发觉的规律的信念。9．再类比得一般情形的公式及我们再类比分析时平面分空间的情况。这时我们不简洁在平面的黑板上作立体图了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想像。但是我们可以从思维上、语言上类比刚才的情形。我们在3个平面分空间为8个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的3个平面都相交，并且又不过原来3平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了3条新直线，这3条直线把新添加的平面分为7个部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的“7”），每一部分把它穿过的（由前3个平面分成的）区域一分为二，因此“空间分割”增加了7个部分，而原有8个部分，这就是15=7+8的来历。这里的到的过渡，并没有任何特殊的地方，我们可以完全类似地分析由向过渡时发生的状况，得到一般的表达式。与段落“8”类似地可以得到公式：

与段落“9”类似地可以得到公式：

这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列的递推公式有区分，但思想精神是相通的。我们只再叙述一遍较为困难的公式

得到的过程。它事实上只要在上面的叙述中，把“3个平面”换为“个平面”，把“8个部分”换为“个部分”，把“3条新直线”换为“条新直线”，把“7个部分”换为“个部分”，把“15”换为“”就完成了。简洁说，是在“上上屏”的叙述中，做下边的代换：