线路与绕组中的波过程

线路与绕组中的波过程第一页，共一百二十三页，2022年，8月28日

其中，雷电过电压持续时间一般只有数十微秒左右，其幅值取决于雷电参数和防雷措施，与电网额定电压无直接关系。内部过电压中操作过电压的持续时间一般以毫秒计，而暂时过电压的持续时间更长；内部过电压的幅值与电网额定电压有直接关系。无论哪种过电压，它们作用时间虽短（暂时过电压有时较长），但其数值较高，威胁到设备的正常运行；因此，研究过电压及其防护问题对于电气设备的设计和制造、对电力系统的设计和运行都具有重大的意义。为了保证系统安全运行，有必要研究过电压的产生机理及其发展的物理过程，从而提出限制过电压的措施，并确定各种电气设备应有的绝缘水平和相互之间的配合关系。第二页，共一百二十三页，2022年，8月28日第八章

线路与绕组中的波过程

（4学时）第三页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.1波沿均匀无损单导线的传播

电力系统中的架空输电线路、母线、电缆、发电机和变压器绕组等都属于具有分布参数的电路元件。无论发生雷电过电压还是操作过电压，都会在这些线路和设备中产生过渡过程。分布参数的过渡过程本质上是电磁波的传播过程，简称波过程。

实际的输电线路采用三相交流或双极直流输电，因而均属于多导线系统；导线和绝缘中分别存在电阻和电导，因而在电磁波传播过程中会产生能量损耗；同时，线路各点的电气参数也不可能完全一样。由于这些原因，所谓的均匀无损单导线线路实际上是不存在的。为了更清晰地分析波过程的物理本质和基本规律，暂时忽略线路的电阻和电导损耗，假设线路各处参数均匀，从均匀无损单导线入手进行研究，是比较合适的。

第四页，共一百二十三页，2022年，8月28日

8.1.1波传播的物理概念

图8－1斜角波电流作用于导线

如图8－1所示的一根架空长导线，其单位长度的电感和电容分别为L0和C0。在t=0时把斜角波电流i=at（a的单位为A/s，t的单位为s）加入长导线的左端A点。设波的传播速度为v，经过t时刻到达x远处的B点，电流沿导线的分布就会现如图8－1所示。此时在波传播的前沿B点的电位仍然为0。从A到B的电感上的压降就是A点的电位uA，即第五页，共一百二十三页，2022年，8月28日另一方面，A点的电位又与A点处的dx段对地部分电容C0dx上储存的电荷有关。设A点单位长度上的电荷为q，则在A点dx段上的电荷为qdx，于是可求出A点电位uA等于

电荷的流动形成电流。在dt时间内流过A点的电荷为qdx，故A点的电流i为（8－1）

（8－2）

（8－3）

将（8－3）代入（8－2），且计及i=at，得

（8－4）

第六页，共一百二十三页，2022年，8月28日将（8－4）代入（8－1），得

由此可得电磁波的传播速度v的表达式（v取正值）：

对于架空线路，单位长度的电感L0和电容C0为

（8－7）

（8－6）

（8－5）

（8－4）

第七页，共一百二十三页，2022年，8月28日其中，H/m，为空气的导磁系数；F/m，为空气的介电系数；h为导线的对地高度，单位为m；r为导线半径，单位为m。因此它等于光速，通常用c来表示。也就是说电流波或电压波是以光速沿架空导线传播的，它与导线的几何尺寸和悬挂高度无关。将和（8－5）式代入（8－1）式，得到可以证明，上式对于均匀无损导线上的任一点D都适用。的值是一个实数，具有电阻的量纲，故称之为波阻抗，用Z来表示：

（8－8）

第八页，共一百二十三页，2022年，8月28日将（8－6）和（8－7）式代入（8－9），得

一般单导线架空线路Z

500，分裂导线Z

300。

用同样的方法可以证明，在电缆中，，其中分别为电缆每米的电感和电容，、

分别为电缆介质的导磁系数和介电常数。在电缆中，相对导磁系数为1，磁通主要分布在电缆芯线和外皮之间，故较架空线路小；又因为芯线和外皮之间距离很近，且它们之间的绝缘材料的介电常数较高(相对介电常数约为4)故较架空线路大；因此，电缆中波的传播速度约为光速的1/2，且波阻抗远较架空线路小，一般小于100。（8－10）

（8－9）

第九页，共一百二十三页，2022年，8月28日波的传播也可以从电磁能量的角度进行分析，因为电压波使导线对地电压升高的过程也就是在导线对地电容中储存电场能的过程，电流波流过导线的过程也是导线电感中储存磁场能的过程。当电压波uA和电流波i互相伴随着沿导线传播时，单位长度的导线获得的电场能和磁场能分别为。由式（8－9），可得。即单位长度导线获得的电场能与磁场能相等，这正是电磁波传播的规律。也就是说，电压波和电流波沿导线传播的过程就是电磁能量传播的过程。电磁场的向量E和H相互垂直且完全处于垂直于导线轴的平面内，是平面电磁场。因此，行波沿无损导线的传播过程就是平面电磁场的传播过程。对架空线而言，周围介质是空气，故电磁场的传播速度必然等于光速。

第十页，共一百二十三页，2022年，8月28日因为波的传播速度为v，故单位时间内导线获得的能量为。

因此，从功率的观点看，波阻抗Z与一数值相等的集中参数电阻相当，但在物理含义上是不同的，电阻要消耗能量，而波阻抗并不消耗能量，它反映了单位时间内导线获得电磁能量的大小。

图8－2均匀无损单导线的单元等值电路

第十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日

8.1.2波动方程的解

可以将均匀无损单导线设想为由许多无限小长度dx的线路单元串联而成，设导线单位长度的电感和对地电容分别为L0和C0

，则每一线路单元的电感和对地电容分别为L0dx和C0dx，如图8－2所示。图中单元回路的电压和电流存在如下关系：

将式（8－11）中的方程式分别对x和t进行二阶求导，经联立变换后，可以得到如下二阶偏微分方程：

（8－11）

（8－12）

第十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日这就是单根均匀无损长线的波动方程。从（8－12）可以看出，线路上的电压和电流不仅是时间t的函数，也是距离x的函数。两个方程具有完全相同的形式，可以预见u和i的解的形式也完全相同。应用拉普拉斯变换和延迟定律，不难求得波动方程的通解

（8－13）

式中，

从式（8－13）可以看出，电压和电流的解都包括两部分，一部分是的函数，另一部分是的函数。为了理解这两部分的物理意义，首先来研究。

第十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日函数说明，导线各点的电压是随时间而变的。设在t1时刻、线路上的x1点处的电压为u1，则在时刻，在点处的电压也为u1，因为

由此可见，是随着时间t的增加、以速度v向x增加的方向运动的，是前行波电压，如图8－3所示。同样可以说明，代表一个以速度v向x负方向行进的波，是反行波电压。为了方便，式（8－13）可以简洁地表示为

（8－14）

（8－15）

第十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－3前行电压波

图8－4电压波和电流波的关系第十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日由式（8－8），电压波和电流波的值之间是通过波阻抗Z相联系的。但不同极性的行波沿不同的方向传播，需要规定一个正方向。应该注意，电压波的符号只取决于它的极性（导线对地电容上所充电荷的符号），而与电荷的运动方向无关；而电流波的符号不但与相应的电荷符号有关，而且也与电荷的运动方向有关，一般取正电荷沿着x正方向运动所形成的波为正电流波。对反行波而言，正的电压反行波表示一批正电荷向x负方向运动，按照相反的顺序给线路各点的对地电容也充上正电荷，此时电压虽然仍是正的，但因正电荷的运动方向已变为负方向，所以形成了负的电流。也就是说，在规定行波正方向的前提下，前行波电压和前行波电流总是同号，而反行波电压和反行波电流总是异号，如图8－4所示。

上述关系可以用公式表示，即

（8－16）

第十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日因而式（8－15）又可以写成

式（8－14）、（8－15）、（8－16）、（8－17）组成了流动波计算的四个基本方程。从这四个基本方程出发，加上初始条件和边界条件，就可以算出导线上任意点的电压和电流。必须注意的是，当线路上某点的前行波和反行波同时存在时，则该点电压和电流的比值并不等于波阻抗Z，即（8－18）

（8－17）

第十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.2波的折射和反射8.2.1折射波和反射波的计算波沿无损均匀线路传播时，电压和电流波形保持不变，它们的比值决定于线路的波阻抗。当行波到达线路的某一点时，若线路参数发生变化，例如从波阻抗较大的架空线到达波阻抗较小的电缆线路，或相反；由于节点前后波阻抗不同，而波在前进过程中必须保证电压波和电流波的比值等于线路的波阻抗，这就意味着波在节点处必然要发生折反射。以无穷长直角波为例来分析波的折反射。因为阶跃响应是计算任意电压波形作用下解的基础，掌握了直角波作用下的波过程，就不难应用丢阿莫尔（Duhamel）积分计算任意波作用下的波过程。图8－5表示一无穷长直角波从波阻抗为Z1的线路1传到波阻抗为Z2的线路2，在节点A处发生折反射。设u1q为入射的电压波，相应的电流波为i1q；u2q、i2q分别为折射到线路2的电压波和电流波；u1f、i1f分别为在a点处反射回的电压波和电流波。

第十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－5行波的折射和反射

由于在连接点A处只能有一个电压值和电流值，即A点左侧及右侧的电压和电流在A点必须连续，因此必然有因为，将它们代入式（8－20），可得（8－19）

（8－20）

第十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日

联立方程式（8－19）和（8－21），可以解得

、分别称为电压波的折射系数和反射系数，根据上式有

（8－24）

（8－21）

（8－22）

（8－23）

（8－25）

第二十页，共一百二十三页，2022年，8月28日

与

之间满足关系1＋

＝

以上波的折反射系数虽然是根据两段不同波阻抗的线路推导出来的，但也适用于线路末端接有不同负载电阻的情况。随Z1与Z2的数值而异，

和的值在下面的范围内变化

（8－26）

当时，

＝1，

＝0；这表明电压折射波等于入射波，而电压反射波为零，即不发生任何折、反射现象，实际上这是均匀导线的情况。当时（例如行波从架空线进入电缆），

＜1，

＜0；这表明电压折射被将小于入射波，而电压反射波的极性与入射波相反，叠加后使线路1上的总电压小于电压入射波。当时（例如行波从电缆进入架空线），

＞1，

＞0，此时电压折射波将大于入射波，而电压反射波与入射波同号，叠加后使线路1上的总电压增高。第二十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.2.2几种特殊条件下的折反射波

(1)线路末端开路（）此时，

＝2，＝1。线路末端电压，反射波电压；线路末端电流i2q＝0，反射波电流，如图8－6所示。这一结果表明，由于线路末端发生电压波正的全反射和电流波负的全反射，线路末端的电压上升到入射电压的两倍；随着反射波的逆向传播，所到之处线路电压也加倍，而由于电流波负的全反射，线路的电流下降到零。第二十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－6线路末端开路时的折射

第二十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日线路开路末端处电压加倍、电流变零的现象也可以从能量关系来理解：因为，，全部能量均反射回去，反射波返回后单位长度的总能量为入射波能量的两倍。又由于入射波的电场能量与磁场能量相等，因此反射波返回后单位长度线路储存的总能量为。因为反射波到达后线路电流为零，故磁场能量为零，全部磁场能量转化为电场能量，因此电场能量增加到原来的4倍，即电压增大到原来的2倍。过电压波在开路末端的加倍升高对绝缘是很危险的，在考虑过电压防护措施时对此应给予充分的注意。第二十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日（2）末端短路（Z2＝0）此时，

＝0，＝－1。线路末端电压，反射波电压；线路末端反射波电流，如图8－7所示。这一结果表明，入射波u1q到达末端后，发生了负的全反射，负反射的结果使线路末端电压下降为零，并逐步向首端发展；电流波i1q发生了正的全反射，线路末端的电流，即电流上升到原来的2倍，且逐步向首端发展。线路末端短路时电流的增大也可以从能量的角度加以解释，显然这是电磁能从末端返回而且全部转化为磁能的结果。第二十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－7线路末端短路时的折反射

第二十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日（3）末端接有电阻此时，＝1，＝0。线路末端电压，反射波电压；线路末端反射波电流为零，如图8－8所示。这一结果表明，入射波到达与线路波阻抗相同的负载时，没有发生反射现象，相当于线路末端接于另一波阻抗相同的线路（），也就是均匀线路的延伸。在高压测量中，常在电缆末端接上和电缆波阻相等的匹配电阻来消除在电缆末端折、反射所引起的测量误差。但从能量的角度看，两者是不同的。当末端接电阻时，传播到末端的电磁能全部消耗在电阻R中；而当末端接相同波阻抗的线路时，该线路上并不消耗能量。第二十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－8末端接有电阻R=Z1时的折反射第二十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.2.3等值集中参数定理（彼得逊法则）前面的内容从分布参数线路上波传播的角度，分析了波的折射和反射的计算问题。将代入式（8－21），得

联立求解方程式（8－19）和（8－27），消去u1f

，得到另一个表示入射电压和电流间的关系式（8－27）

（8－28）

第二十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日不难看出，上式正好是图8－13（b）所示集中参数电路的电路方程。由此可以得到一条重要的法则，要计算分布参数线路上节点的电压，可以应用图8－13所示的等值电路：①线路波阻抗用数值相等的集中参数电阻代替；②把线路入射电压波的两倍2u1q作为等值电压源。这就是计算折射波u2q

的等值电路法则，称之为彼得逊法则。

图8－13电压源的集中参数等值电路（戴维南等值电路）第三十页，共一百二十三页，2022年，8月28日利用这一法则，可以把分布参数电路中的波过程的许多问题，简化成我们所熟悉的集中参数电路的计算。必须注意的是，彼得逊法则的使用是有一定的条件的。首先它要求波沿分布参数的线路射入；其次，和节点相连的线路必须是无穷长的。如果节点A两端的线路为有限长的话，则以上等值电路只适用于线路端部的反射波尚未到达节点A的时间内。在实际计算中，常常遇到电流源的情况（如雷电流）。此时采用电流源形式的等值电路较为方便，如图8－14所示。图8－14电流源的集中参数等值电路（诺顿等值电路）第三十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.3波通过串联电感和并联电容在电力系统中，电感和电容是常见的元件，如载波通信用的高频扼流线圈和限制短路电流用的扼流线圈、电容式电压互感器和载波通信用的耦合电容器等。由于电感中的电流和电容上的电压均不能突变，这就对经过这些元件的折射波和反射波产生影响，使波形变化。下面应用彼得逊等值电路来分析串联电感和并联电容对波过程的影响。为了便于说明基本概念，原始的入射波仍采用无限长直角波。

图8－16行波经过串联电感第三十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日如图8－16所示，无穷长直角波入射到接有电感的线路，其等值电路如图8－16（b）所示。由此可以写出回路方程解之得其中，为电路的时间常数；为没有电感时电压的折射系数。

（8－29）

（8－30）

（8－31）

第三十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－17行波经过并联电容

再考虑波经过并联电容的情况。如图8－17所示，无穷长直角波入射到具有并联电容的线路，其等值电路如图8－17（b）所示。由此可得（8－32）

（8－33）

第三十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日联立上述两个方程，消去i1

，得解联立方程，得（8－35）

（8－34）

其中，为电路的时间常数。

从式（8－31）和（8－35）可以看出，波通过串联电感和并联电容时，折射电压的解的形式完全相同。分析解的形式，可以得到以下结论：第三十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日①波经过串联电感或并联电容后，电流或电压不能突变。在t=0时，折射电压为零。以后随着时间的增加，折射电压按指数规律增大，从直角波变为按指数曲线缓缓上升的指数波，最后到达由Z1导线和Z2导线之间的折射系数所决定的稳定状态αU0

。指数波的最大陡度发生在

t＝0时。由式（8－31）可知，在串联电感的情况下，波的最大陡度为由式（8－35）可知，在并联电容的情况下，波的最大陡度为第三十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日因此，只要增加L或C的值，就能把陡度限制在一定的程度。在防雷保护中常用这一原理来减小雷电波的陡度，以保护电机的匝间绝缘。②串联电感和并联电容的存在不会影响折射波的最后稳态值。当t

＝时，u2=αU0，这是因为在直流电压作用下，电感相当于短路，电容相当于开路。电感使折射波波头陡度降低的物理概念是，由于电感不允许电流突然变化，所以当波作用到电感时的第一个瞬问，电感就像电路开路—样将波完全反射回去，即此时电流i2将为零，因而u2

将为零，以后u2

再随着流过电感电流的逐渐增大而增大。波通过电感时的折、反射如图8－18（a）所示。电容使折射波波头陡度降低的物理概念是，由于电容上的电压不能突然变化，波作用到电容上的第一个瞬间，电容就像电路短路一样，这同样将使u2

和i2

为零，u2

将随着电容的逐渐充电而增大。波旁过电容时的折、反射如图8－18（b

）所示。

第三十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－18波经过电感和电容时的折反射串联电感和并联电容都可以用作过电压保护措施，它们能减小过电压波的波前陡度和降低极短过电压波（例如冲击截波）的幅值，但就第一条线路上的电压u1

来说，采用L

会使u1

加倍，而采用C

不会使u1

增大，所以从过电压保护的角度出发，采用并联电容更为有利。但是在实际工作中我们也常利用电感线圈能抬高来波电压的这种性质来改善接在它前面的避雷器放电特性（使避雷器在冲击下容易放电）。第三十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.4波的多次折反射、网格法在前面几节中所介绍的波的折、反射的计算还只局限于线路为无穷长的情况，而实际的线路都是有限长的，何况我们还常会碰到波阻各不相同的三种导线相串联的情况，例如两段架空线中间加一段电缆，或用一段电缆将发电机连到架空线上，此时夹在中间的这一段线路就必然是有限长的。在这些情况下，波在第一个结点所生成的折、反射波在到达另一个结点（即某一有限长线路的末端）时就会再次发生折、反射，接着是第三次、第四次以及更多次的折、反射。常用的行波的多次折、反射计算法有网格法和特性线法（贝杰龙法）两种。本节先介绍网格法。用网格法计算波的多次折、反射的特点，是用网格图把波在节点上的各次折、反射的情况，按照时间的先后逐一表示出来，使我们可以比较容易地求出节点在不同时刻的电压值。下面我们以计算波阻抗不相同的三种导线互相串联时结点上的电压为例，来介绍网格法的具体应用。第三十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日设在两条波阻抗各为Z1和Z2的长线之间插接一段长度为l0

、波阻抗为Z0

的短线，两个节点分别为A、B，如图8－20（a

）所示。为了使计算不致过于繁复，假设两侧的两条线路均为无限长线，即不考虑从线路1的始端和线路2的末端反射回来的行波。图中，1为波自Z1

进入Z0时的折射系数，β1为波自Z0传到Z1时的反射系数，2为波自Z0进入Z2时的折射系数，β2为波自Z0传到Z2时的反射系数。根据相邻两线路的波阻抗，得到节点的折、反射系数为（8－38）

第四十页，共一百二十三页，2022年，8月28日设一无限长直角波U0

从线路1投射到节点A上来，如图8－20（b

）所示。在t

＝0

时波到达A点后，折射波1U0

从线路Z0

继续投射，在t

＝时到达B点，这里＝l0

/v0，其中v0为短线上的波速。在B点产生的第一个折射波12U0

沿着线路2继续传播，而在B点产生的第一个反射波1β2U0

又向A点传去，于t

＝2

时到达A点；在A点产生的反射波1β2β1U0

又沿着Z0向B点传播，于t

＝3

时到达B点；在B点产生的第二个折射波1β2β12U0

沿着线路2继续传播，而在B点产生的第二个反射波1β2β1U0

又向A点传去，于t＝4

时到达A点，如此等等。进入Z2线路的电压，即节点B的电压uB（t）

是这些折射波的叠加，但要注意它们到达时间的先后。根据网格图可以很容易地写出节点B在不同时刻的电压为第四十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日当时，

当时，

当时，

当时，

经过n次折射后，即当（2n－1）≤t≤（2n＋1）时，节点B上的电压的数学表达式为（8－39）

第四十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－20行波的多次折反射第四十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日当t→

时，→0，则上式变为（8－40）

其中，12为波从波阻抗Z1

的线路直接向波阻抗Z2

的线路传播时的折射系数。也就是说，中间线路的存在而不会影响到它的最终值。但中间线段的存在及其波阻抗的大小决定了折射波的波形，特别是它的波头。从式（8－39）可以看出，若β1与β2同号，则β1β2>0

，uB（t）的波形是逐步递增的；若β1与β2异号，则β1β2<0

，uB

（

t）的波形是振荡的。现分别讨论如下：

(4)Z1＞Z0、Z2＞Z0（例如在两架空线之间插接一段电缆）由式（8－38）可知，β1＞0、β2＞0、1＜1、2＞1，β1与β2

同号，电压波是逐渐增加的，如图8－21（a

）所示。若Z0

远小于Z1

及Z2

，表示中间线段的电感较小、对地电容较大（电缆就是这种情况），就可以忽略电感而用一只并联电容来代替中间线段、从而使波头陡度下降了。第四十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日

3、Z1＜Z0、Z2＜Z0（例如在两电缆之间插接一段架空线）由式（8－38）可知，β1＜0、β2＜0、1＞1、2＜1，β1与β2同号，电压波是逐渐增加的，如图8－21（a

）所示。若Z0远大于Z1及Z2，表示中间线段的对地电容较小、电感较大（架空线就是这种情况），就可以忽略电容而用一只串联电感来代替中间线段、从而使波头陡度下降了。

4、Z1＜Z0＜Z2

由式（8－38）可知，β1＜0、β2＞0、1＞1、2＞1，β1与β2异号，电压波是振荡的，如图8－21（b）所示，波的幅值较高。

5、Z1＞Z0＞Z2

由式（8－38）可知，β1＞0、β2＜0、1＜1、2＜1，β1与β2异号，电压波是振荡的，如图8－21（b

）所示，波的幅值较低。第四十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－21不同波阻抗组合下的uB波形第四十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.5贝杰龙（Bergeron）法计算过电压

应用网格法计算波的多次折反射问题，其原理虽然简单，但需先求出所有线路在节点处的各次折反射波，然后按到达时间进行叠加，计算工作量很大，因此这种方法主要用于计算一些简单网络的波过程。随着计算机技术的发展，数值计算方法由于计算速度快、改变参数方便以及能考虑元件的非线性等特点，已成为电力系统过电压计算的主要手段。贝杰龙数值计算法的核心是把分布参数元件等值为集中参数元件，以便用比较通用的集中参数的数值求解法来计算线路上的波过程。而电路中的集中参数元件L和C也需按数值计算的要求化为相应的数值计算电路。贝杰龙法目前在国际上广为流行。第四十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.5.1混合波的概念贝杰龙法是应用混合波的概念对波的多次折、反射过程进行分析的一种方法。它的基础仍然是波动方程的解式（8－13）。为分析方便，用波阻Z把其中的电流波改换成电压波重列于下：

将上述两式相加，得到

再把两式相减，得到

（8－41）

（8－42）

（8－43）

（8－44）

第四十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日式中的u和i已不是某一个前行波或反行波的值，而是导线各点的实际电压和电流，是多次折、反射的总的效果。式（8－43）和式（8－44）中，（）和（）各作为一个整体来说具有行波的性质。（）是一个以速率v沿x正方向行进的前行波，（）是一个以速率v沿x负方向行进的反行波。但它们既不是电压波，也不是电流波，而是一种混合波。不管导线上有多少前行和反行的电压波和电流波，导线上的（）混合波总是以光速前进，而（）总是以光速反行。在波过程的计算中，我们最感兴趣的是线路上的实际电压值和电流值。混合波的给我们提供了直接决定u和i的有利条体，所以利用混合波来进行分布参数电路过渡过程的计算，可以使计算大大简化。

第四十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.5.2无损均匀导线的等值电路

如图8－22（a）所示的无损均匀导线。其波阻为Z，长度为l，波在导线上传播一次的时间为

，首端和末端的电压及电流分别为uk（t）、um（t）、ikm（t）和imk（t）。端点上电流的正方向都取为从端点流向线路。根据混合波的概念，首端在t一

时发出的前行混合波将于t时刻到达线路的末端，因此线路末端t时刻的电压和电流可用t一

时首端的电压和电流表示，即或写成

若设

（8－45）

（8－46）

（8－47）

第五十页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－22单相无损均匀导线的等值电路

则式（8－46）可以改写为由式（8－48）可以得到导线端点m在t时刻的等值电路，如图8－22（b）右边所示。图中，Z为阻值等于导线波阻的电阻，是电流源，由（t-）时端点k的电压和电流值决定。（8－48）

第五十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日同样，根据反行混合波的概念，端点k处t时刻的电压和电流可以用（t-）时端点m处的电压和电流表示，即或写成

若设

则式（8－46）可以改写为（8－49）

（8－50）

（8－51）

（8－52）

由式（8－52）可以得到导线端点k在t时刻的等值电路，如图8－22（b）左边所示。图中，Z为阻值等于导线波阻的电阻，Ik（t-）是电流源，由（t-）时端点m的电压和电流值决定。第五十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日

图8－22（b）等值集中参数电路的特点是：线路两端点k和m各有独立回路，两点之间仅通过由式（8－47）和（8－51）决定的电流源联系。在电流源已知的情况下，用节点电位法来解这种电路是很方便的。由式（8－48）和（8－52），可以得到将式（8－53）和（8－54）分别代入式（8－47）和（8－51），得等值电流源的递推公式（8－53）

（8－54）

（8－55）

（8－56）

第五十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日

这样和分别由t-

时k点和m点的电压及t-2

时Ik

和Im决定，不需要算出t-

时刻的端点电流和，计算更为简便。8.5.3集中参数元件的等值电路一、电感如图8－23所示的集中参数电感L，电感的压降和流过的电流存在如下关系将上式从t－△t到t进行积分，得第五十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日近似地，有其中，

令

则式（8－57）可改写为由上式可以得到图8－23（b）所示的电感的等值计算电路，其中RL是电感L的等值计算电阻，（＝）是电感的等值电流源。

（8－57）

（8－58）

（8－59）

第五十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－23电感的等值计算电路

由式（8－59）可以得到利用上式，式（8－58）可以写成（8－60）

第五十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日二、电容仿照电感的方法，可以得到图8－24所示电容上的电压和流经电容的电流存在如下关系

其中，

其等值计算电路如图8－2４（b）所示。利用递推公式，等值电流（＝）的计算公式也可进一步简化为（8－61）

（8－62）

（8－63）

第五十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－24电容的等值计算电路三、电阻

如图8－25所示，电阻两端电压与流过的电流关系为与t以前流过的电流和两端压降无关，故无需进一步等值。第五十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－25电阻电路8.5.4贝杰龙等值网络的分析计算利用以上所述的将分布参数线路和集小参数元件化为贝杰龙等值电路的方法，可以将复杂的网络化为贝杰龙等值网络。这里我们通过一实例来说明贝杰龙等值网络的分析计算。如图8－26（a）所示某网络，在节点l有一单位直角波入侵，试计算网络各节点的电压。图中所标时间是指波从该段首端传递到末端的时间。第五十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－26网络算例第六十页，共一百二十三页，2022年，8月28日在计算中取时间增量△t＝0.1μs，则此网络的贝杰龙等值网络如图8－26（b）所示，网络中串联电感L和对地电容C的等值电阻RL和RC分别为在把图中e（

t）＝1.0转变为等值电流源Ie

时，可假定电源e（t）有—个很小的内阻，例如10－5，这对计算结果显然没有影响，这样就可以求出Ie

（t）＝了。等值网络中各电流源的值如下：

第六十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日（8－64）

第六十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日由结点电位分析法原理，只要知道网络的节点导纳矩阵Y和结点电流激励矢量Is后，节点电压矢量U就可由下述矩阵方程求出对于本例网络，该方程为（8－65）

第六十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日有了（8－64）和（8－65）后，就可以进行整个网络的计算，其步骤如下：先计算t＝0时刻（节点1出现电压的时刻）的各变量，然后依次计算t＝△t、2△t……直到所需时刻的各变量。某一时刻t时的计算次序如下：（1）根据时刻t以前的计算结果求得各等值电流源；（2）计算各时刻的节点电压；（3）计算各时刻的等值电流源。在本例中，当t＜3.0s时，除入侵电流源以外的所有的等值电流源各值均为零。第六十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.6平行多导线系统中的波过程前面分析的都是单导线中的波过程，实际上输电线路总是由多根平行导线组成的。例如三相交流线路的平行导线数至少3根，多则8根（同杆架设的双避雷线双回路线路），这时每根导线都处于沿某根或若干根导线传播的行波所建立起来的电磁场中，因而都会感应出一定的电位。这种现象在过电压计算中具有重要的实际意义，因为作用在任意两根导线之间绝缘上的电压就等于这两根导线之间的电位差，所以求出每根导线的对地电压是必要的前提。第六十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.6.1波在平行多导体系统中的传播为了不干扰对基本原理的理解，这里仍忽略导线和大地的损耗，因而多导线系统中的波过程仍可近似地看成是平面电磁波的沿线传播，可以证明各导线中的波具有同一传播速度v（等于光速）。这样，导线上波过程的形成，可以看成是导线上电荷运动的结果。而各导线上的电荷相对而言是相互静止的，所以我们可以从的方程出发，直接把麦克斯韦静电方程运用到波过程的计算中。根据麦克斯韦静电方程，在与地面平行的n根导线中，导线k的电位uk，除了与导线本身所带的电荷有关外，还与其它n-1根导线上的电荷有关。因此，可以利用叠加原理，把这n根导线上的电荷在第k根导线上产生的对地电位相加，得到uk

。根据叠加原理，n根导线对地电位u1、u2、…uk…un满足下列方程式：第六十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日（8－66）

其中，Q1、Q2、…Qk…Qn为各导线单位长度上的电荷； 为导线k的自电位系数； 为导线k与导线m（m＝1，2，…，n；mk）间的互电位系数。自电位系数的定义如下：（8－67）

第六十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日因为第k根导线单位长度对地电容，所以，即自电位系数实际上就是该导线单位长度对地电容的倒数。由式（8－7）可以得到（8－68）

其中，hk为导线k的对地高度；k导线到其镜像距离为2hk；rk为k导线的半径。互电位系数的定义如下：

由电磁场理论，可以得到第m根导线上的电荷Qm在第k根导线上产生的电位为（8－69）

第六十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－27平行多导线线路第六十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日其中，Dkm和dkm的值如图8－27所示。因此将式（8－66）分别乘以和除以v（v为波的传播速度），并以代入，可得（8－70）

（8－71）

第七十页，共一百二十三页，2022年，8月28日其中，Zkk为导线的自波阻，；Zkm为导线k与导线m（m＝1，2，…，n；mk）之间的互波阻，。导线k与m靠得越近，则Zkm越大。若导线上同时存在前行波和反行波，则对n根导线系统中的每一根导线（如第k根导线）可以列出下列方程组（8－72）

其中，ukq

、ukf分别为导线k上的前行波电压和反行波电压；

ikq

、ikf

分别为导线k上的前行波电流和反行波电流。

n根导线就可以列出n个方程组，加上边界条件就可以分析无损平行多导体系统中的波过程。第七十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.6.2平行多导线系统的等值波阻考虑电源同时作用于三相线路时（如雷电感应过电压的情况），如图8－28所示。图8－28波沿三相导线同时传播第七十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日

设三相导线对称分布（均匀换位），其自波阻Z11=Z22=Z33，互波阻Z12=Z23=Z13。因为u1=u2=u3=u，i1=i2=i3=i/3，因此其电位方程组可以简化为因此可以得到其三相等值波阻抗（8－73）

第七十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日由上两式可以看出，考虑导线之间的耦合作用后，其等值波阻抗变大。这是因为其互感作用使电流减小，互电容使电压升高的缘故。

【例8－6－1】分析电缆芯与电缆外皮的耦合关系。解当行波电压u到达电缆的始端时，可能引起接在此处的保护间隙或管式避雷器的动作，这就使芯线和外皮在始端连在一起，变成两条并联支路，如图8－29所示，故u1＝u2

。由于i2

所产生的磁通全部与电缆芯相交链，外皮上的电位将全部传到电缆芯上，故电缆外皮的自波阻Z22等于外皮与芯线之间的互波阻Z12，即Z12=Z22

。而芯线电流i1产生的磁通仅部分与外皮相交链，故芯线的自波阻Z11大于互波阻Z12，即Z11>Z12。单相等值波阻抗（8－74）

第七十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－29行波沿电缆芯线与外皮的传播设u1＝u2=u，得到如下方程因为Z12=Z22，上式可简化为由于Z11>Z12

，因此要满足上述等式，i1必然为零，即沿芯线无电流流过，全部电流均被挤到外皮中去了。其物理解释为：当电流在电缆外皮上流动时，芯线上会感应出与外皮电压相等、但方向相反的电动势，阻止电流流进缆芯，此现象与导线中的集肤效应相似，在直配电机的防雷保护中得到了广泛的应用。第七十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.6.3平行多导线的耦合系数在实际波过程计算中，经常要考虑波在一根导线上传播时，在其它平行导线上感应的耦合波。如图8－30所示，当开关合闸接通直流电源U0后，导线1上出现u1＝U0的前行波。在导线2上虽然没有电流，但受导线1的感应，也会产生电压波u2。图8－30多导线系统中的耦合作用由式（8－46），两根平行导线的电压方程为第七十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日由于i1

=0，上式变为消去i1，得到其中，K为导线1对导线2的耦合系数。因为Z12<Z11，所以K

<1。根据耦合系数可以算出，当导线1上有电压波作用时，导线1和导线2间的电位差为两导线离得越近，导线间的电位差就越小。耦合系数在多导线的波过程计算中有很大的实际意义，例如在过电压保护中常用避雷线来保护送电线路。当雷击于避雷线（相当于图8－30中导线1）时，避雷线的电位将升高，此时避雷线和导线间的绝缘是否会击穿和二者之间的耦合系数K有很大关系。所以在防雷设计中常常需计算K值。对多导体架空线路，K约为0.20.3。第七十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日下面我们再来讨论有两根避雷线时K值的计算。如图8－31，当雷击于避雷线1或2（它们通过金属杆塔彼此相连接）使避雷线电位抬高到U0时，导线3上将感应一定的电位。图8－31有两根避雷线的输电线路遭到雷击第七十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日由式（8－71），避雷线1、2与导线3的电压方程为由于Z11=Z22，i1=i2，u1=u2，且i3＝0，因此以上方程可以改写为解此方程组，得到其中，K1,2-3

为避雷线1、2对导线3的耦合系数；K13

、K23

、K12

分别为导线1与3、2与3、1与2之间的耦合系数。第七十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.7波的衰减与变形冲击电晕的影响8.7.1波沿线路传播时的衰减和变形前面各节讨论的前提条件是导线为无损线路。行波在理想的无损线路上传播时，能量不会散失（储存于电磁场中）变形。但实际上，任何一条线路都是有损耗的，导致波在传播过程产生损耗的因素主要有以下四种：1）导线电阻引起损耗；2）导线对地电导引起的损耗；3）大地的损耗；4）电晕引起的损耗。考虑单位长度线路电阻R0

和对地电导G0后，输电线路的分布参数等值电路如图8－32所示。图中R0包括导线电阻和大地电阻，G0包括绝缘泄漏和介质损耗。当行波在有损导线上传播时，由于R0和G0的存在，将有一部分波的能量转化为热能而耗散，导致波的衰减；当电能和磁能的消耗不相等时，就会引起波的变形。第八十页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－32单根有损长线的单元等值电路

为分析方便起见，我们只讨论直角波的情况，并假定等值线路中的各参数均为常数。当幅值为U的电压波沿线路传播时，单位长度导线周围空间所获得的电场能将为如果线路存在对地电导G0，则电压波传播单位长度所消耗的电场能量将为（t0为电压波行进单位长度所需的时间）。电能的消耗将引起电压波的衰减。电压u衰减的规律为其中，U为电压起始值，v为传播速度。（8－75）

第八十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日同样，当幅值为I的电流波沿线路传播时，单位长度导线周围空间所获得的磁能将为。如果线路存在电阻R0

，则电流波流过单位长度距离所消耗的磁场能量将为。磁能的消耗将引起电流波的衰减，电流衰减的规律为其中，I为电流起始值。（8－76）

在电磁波的传播过程中，由于R0及G0不断消耗能能量，可能某一能量（例如磁能）的消耗比另一种能量（例如电能）的消耗快（实际无电晕的送电线路都满足这一情况），以致可能出现空间电能密度大于磁能密度的情况。这样，空间电磁场就发生了电能与磁能的交换，因而电压波在行进过程中不断发生负反射，使波前电压不断降低，而电流波在行进过程中将不断发生正反射以增大波前电流，从而使电磁放行进方向首端的电压波与电流波之比保持的关系。这样，电压波在传播过程中头部逐渐被削平，尾部逐渐拉长。第八十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日如果线路满足无畸变的条件，即，此时波在传播过程中单位长度线路上的磁能和电能之比，恰好等于电流波在导线电阻上的热损耗和电压波在线路电导上的热损耗之比：所以电磁波只是逐渐衰减而不变形。实际上，输电线路并不满足上述无畸变的条件，因此波在传播过程中会发生衰减和变形。由于一般架空线绝缘泄漏电导和介质损耗都很小，波的衰减主要由R0引起。此外，由于集肤效应，导线电阻随着频率的增加而增加，可见陡波头的波沿线传播时衰减较显著。第八十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.7.2冲击电晕对波过程的影响当线路遭受雷击或出现操作过电压时，导线上的电压升高，当导线表面的电位梯度增大，超过电晕起始场强时，导线周围空气中将会发生电晕。这时，波沿线路传播时的衰减和变形将主要因冲击电晕而引起。研究表明，形成冲击电晕所需的时间非常小。在正极性冲击时，大约只要＜0.05s的时间，在负极性冲击时只要＜0.01s的时间，而且它们与电压陡度关系很小。因此，可以认为，在波头范围内，冲击电晕的发展只与电压的瞬时值有关。但是不同的电压极性对冲击电晕的发展有很大的影响。在正极性冲击电晕时，形成电晕放电的电子崩是向着导线发展的，当电子崩头部的电子进入导线后，剩下来的正空间电荷（正离子）将起到加强外围空间电场的作用，使外围空间本来电场强度较小的地方也容易形成新的电子崩，有利于电晕的发展。正极性电晕的外观是从导线向外引伸数量较多较长的细丝。在负极性冲击电晕时，电子崩向着外面电场强度弱的地方发展，而正电荷的移动不大，它的存在减弱了导线外围的空间电场，使电晕不易发展。负极性电晕的外观是较为完整的光圈，发出少量较少较粗的“舌”。因为雷电大部分是负极性的，因此在过电压计算中考虑的电晕是负极性电晕。第八十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日一对导线耦合系数的影响发生冲击电晕后，在导线周围形成导电性能较好的电晕套，在这个电晕区内，径向电导增大、径向电位梯度减小，相当于扩大了导线的有效半径，因而与其它导线间的耦合系数也增大了。前节所述的耦合系数，不考虑电晕，其值仅取决于导线的几何尺寸及其相互位置，所以又称为几何耦合系数k0。出现冲击电晕后，耦合系数增大到k：其中k1为电晕校正系数。输电线路与避雷线的耦合系数的电晕校正系数如表8－1所示。

表8－1耦合系数的电晕校正系数k1

线路电压等级（kV）20～3566~110154~330500双避雷线

1.1

1.2

1.251.28单避雷线

1.15

1.25

1.3注：雷击档距中间避雷线时，可取k1=1.5。第八十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日二对波阻抗和波速的影响电晕的出现相当于扩大了导线的有效半径，增大了单位长度导线的对地电容C0；另一方面，轴向电流仍全部集中在导线内，所以电晕的出现并不影响单位长度导线的电感L0。根据波阻抗的表达式，有冲击电晕时波阻抗减小，一般可减小20%30%。有冲击电晕时，避雷线与单导线的波阻抗可取400，双避雷线的并联波阻抗可取为250。平行多导线系统中，导线自波阻变小，互波阻不变。根据波速的表达式，有冲击电晕时波速减小。当冲击电晕强烈时，波速可减小到0.75倍光速。第八十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日三对波形的影响由于电晕要消耗能量，消耗的能量又与电压的瞬时值有关，因此冲击在使行波发生衰减的同时还伴有波形的畸变。图8－33冲击电晕引起波的衰减与变形

第八十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日随着波头电压的上升，从起晕电压Uc开始，波的传播速度开始变小，此后随电压的增大而越来越小。由于波头各点电压所对应的波速不一样，电压越高则波速越小，因此波头变形严重。如图8－33所示为由电晕引起的行波衰减与变形的典型波形，图中u0（t）表示原始波形，u1（

t）为行波传播距离l后的波形。从图中可以看出，在u＝Uc处出现一明显的台阶，大于Uc的波的速度明显减小。当u＝u1时，△t＝△t1；当u＝u2时，△t＝△t2。如u2＞u1，则△t2＞△t1。△t的大小一方面取决于u的高低，另一方面也与波所传播的距离l有关，可用下述经验公式表示：（8－76）

其中，h0为导线的平均对地高度（m

），u和l的单位分别为kV和km。实际试验表明，如果将原始波形u0（

t）和变形后的电压波u1（t）画在一起，可以近似地认为两条曲线的交点P的纵坐标就是变形后电压波的峰值Um。冲击电晕减小波的陡度、降低波的幅值的特性，可以用于变电所防雷之中。第八十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.8变压器绕组中的波过程电力变压器、电抗器等电气设备在运行中是与输电线路连在一起的，因此它们经常受到来自线路的过电压波的侵袭。由于绕组内部的电磁振荡过程和绕组之间的静电感应、电磁感应等过程，在绕组的主绝缘（对地和对其他两相绕组的绝缘）和纵绝缘（匝间、层间、线饼间等绝缘）上会出现过电压。分析这些过电压可能达到的幅值和波形是绕组绝缘结构设计的基础。为能清晰地描述变压器绕组内的物理过程，首先以单绕组变压器的波过程作为研究对象。单绕组变压器的波过程比较简单，具有典型特性，可以作为定性分析各种实际变压器波过程的基础。第八十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日8.8.1单相变压器绕组的波过程一初始电位分布和入口电容

变压器绕组的基本单元是它的线匝，每一线匝都在电和磁两个方面与其他线匝相联系。绕组中匝与匝之间存在互感和匝间电容，匝与地之间也存在电容；此外，绕组中还存在代表铜损和铁损的电阻及代表绝缘损耗的漏电导。为分析方便，假定上述参数在绕组各处均相同（即绕组是均匀的），不计互感、电阻和电导，则可以得到如图8－34所示的变压器绕组的简化等值电路。图中，K0、C0和L0分别表示绕组单位长度的匝间（纵向）电容、对地电容和自感，l表示绕组的长度。当幅值为U0的直角波突然作用于图8－34所示的等值电路时，由于电感中电流不能突变，因此在t＝0的合闸瞬间图中L0dx

中不会有电流流过，该电路可进一步简化为如图8－35所示的等值电路。第九十页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－34变压器绕组的等值电路

图8－35t=0瞬间变压器绕组的等值电路

第九十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日设距绕组首端为x处的电压为u，可以写出电容上的电压和流过的电流满足关系：电容C0dx

上的电压和流过的电流满足下述关系联立式（8－78）和（8－79），得其解为其中，，A、B由初始条件决定。（8－78）

（8－79）

（8－81）

（8－80）

第九十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日

(5)绕组末端（中性点）接地时（图8－35中开关K闭合时）边界条件为：绕组首端（x＝0）处，u＝u0；绕组末端（x＝l）处，u＝0。解上式，得将A、B代入式（8－81），得图8－36（a

）表示了绕组末端接地时，在t=0瞬间绕组上各点的对地电位分布。（8－82）

第九十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日

(6)绕组末端开路时（图8－35中开关K打开时）在绕组首端（x=0）处，u=U0

；在绕组末端（x=l）处，i＝0或。用方程式表示为。解上式，得将A、B代入式（8－80），得（8－83）

第九十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－36（b

）表示了绕组末端开路时，在t=0瞬间绕组上各点的对地电位分布。从式（8－82）、（8－83）及图8－36可以看出，绕组的起始电压分布和绕组的l值密切相关。电压分布的不均匀程度随着l的增大而增大。一般变压器的l值为510。由于l＞5时，而且当x/l＜0.8时，与也很接近，可以认为;因此，式（8－82）和（8－83）可以近似地用同一公式来表示：把l改写成，可见绕组中的起始电压分布取决于绕组全部对地电容C0·l

和全部匝间电容K0

/l

的比值。（8－84）

第九十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日图8－36在不同的l时，绕组电压初始分布的变化从图8－36可以看出，当t＝0时，最大电位梯度出现在绕组的首端。由式（8－84）可知最大单位梯度为（8－85）

第九十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日即首端的电位梯度是平均单位梯度（）的l倍。由图8－36可以看出，当l＞5时，绕组末端接地时的起始电压分布和绕组末端开路时的起始电压分布已非常接近，只是在绕组末端稍有差别而已。l越大，电位分布越不均匀，绕组的抗冲击能力越差。试验表明，变压器绕组中的电磁振荡过程在10s以内尚未发展起来，在这期间，变压器绕组电感电流仍然很小，绕组中的电位分布仍与起始分布接近。例如，220kV变压器的全波试验电压是额定电压（最大值）的5.27倍，若l＝10，则试验时首端的起始电位梯度将达正常运行电压的52.7倍，将会危及变压器绕组的匝间绝缘。由于在这段时间内变压器绕组的特性由其纵向电容和对地电容组成的电容链决定，因此可以用一个等值的入口电容来代替此电容链，变压器可以用这个入口电容来表示。变压器的入口电容与其绕组结构、额定电压和容量有关，对于连续式绕组，其入口电容如表8－2所示；如果采用纠结式绕组，其入口电容要比表中所列数值大得多。第九十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日表8－2变压器的等值入口电容额定电压（kV）35110220330500入口电容（pF）500~10001000~20001500~30002000~50004000~6000二稳态电位分布和振荡过程绕组在无限长直角波作用下的电压稳态分布发生在电磁振荡过程结束以后，从理论上说应在t→∞时，这时K0、C0等都已相当于开路，L0相当于短路，因而电压分布只能取决于被在前面的分析中被忽略的绕组导体电阻。对于末端接地的绕组，t→∞时，绕组上的电位分布是均匀的，即对于末端开路的绕组，t→∞时，绕组上的电位是相等的，即（8－87）

（8－86）

第九十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日在由电感、电容构成的复杂回路中，如果电压的初始分布与最终稳态分布不一致，那么必然要经过一个过渡过程才能达到稳定状态。由于绕组电感和电容之间的能量转换，过渡过程具有振荡的性质。振荡的激烈程度和稳态电位分布与起始电位分布两者之差相关，差值越大，振荡就越强烈。由于变压器内存在不少损耗（铜耗、铁耗、介质损耗等），因而上述振荡是阻尼的。在无阻尼状态下，绕组各点在振荡过程中所能达到的最大电压将遵循如下规律：需要指出的是：各点的振荡频率不尽相同，所以各点到达其最大值的时刻不同。将各点最大电位值用曲线连起来，即可得一条最大电位Umax

的包络线。如图8－37所示分别为末端短路（a）和开路