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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑
色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合/={x|-4<x<2},N={A:|jf2-x-6<0},则McN=
A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}c.{x|-2<x<2}D.{x[2<x<3}
2.函数/(x)=Zcos?x+(sinx+cosx)2-2的一个单调递增区间是()
n7i
A.
44
3.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损
益”结合的计算过程,若输入的X的值为1,输出的X的值为()
22
4.已知月心是双曲线十>叱。力>。)的左、右焦点,若点「送于双曲线渐近线的对称点A满足
NEAO=NAOK(。为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()
A.y=±2xB.y=±y/3xC.y=±&xD.y=±x
5.已知集合4={%|k一1|43,%62},3=・|xeZ|2veA},则集合3=()
A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)
ia
1-tan—
34
6.已知sina-2cosa=1,ae(肛——),则-----1=()
2li+tana—
2
11
A.----B.—2C.-D.2
22
7,已知cos(2019万+a)=--—,则sin(g-2a)=()
755
A.-B.-C.——
999
8.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
7反1
正视图侧视图
俯视图
11
A.—B.4
3
D.5
3
7t7T
9.已知a、pw,a手§,则下列是等式sina-sin£=a-2£成立的必要不充分条件的是()
A.sina>sin/?B.sina<sinjB
C.cosa>cos(3D.cosa<cosp
10.已知正四面体ABC。的棱长为1,。是该正四面体外接球球心,且=x通+yNC+z而,x,y,zeR,则
x+y+z=()
31
A.-B.—
43
11
C.—D.一
24
11.已知抛物线。:丁2=2a(〃>0)的焦点为尸,过点尸的直线/与抛物线C交于A,3两点(设点A位于第一象
限),过点A,3分别作抛物线。的准线的垂线,垂足分别为点4,用,抛物线。的准线交x轴于点K,若给=2,
I4KI
则直线/的斜率为
A.1B.y/2C.2&D.g
12.要得到函数y=sin(2x+?1的图象,只需将函数y=sin2x的图象()
A.向右平移?个单位B.向右平移g个单位
C.向左平移g个单位D.向左平移丁个单位
36
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在AABC中,NC=90,CM=2MB.^sinZBAM=1,则tan.
14.(3f+的展开式中二项式系数最大的项的系数为(用数字作答).
15.学校艺术节对同一类的A3,。,。四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对
这四项参赛作品预测如下:甲说:“A作品获得一等奖”;乙说:“C作品获得一等奖”;丙说:“3,。两项作品未获
得一等奖,,;丁说:“是A或。作品获得一等奖”,若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是
16.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒
容积的最大值是.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知正项数列{为}的前〃项和S“=a“+2-2,〃eN*.
(1)若数列{4}为等比数列,求数列{6,}的公比4的值;
(2)设正项数列也}的前〃项和为《,若4=1,且27;=麻-
①求数列也}的通项公式;
②求证:
2
18.(12分)已知集合4={犬卜2一彳一2>()},集合3={耳2%2+(2%+5)%+5%<0},ZreR.
(1)求集合5;
(2)记"=4口8,且集合M中有且仅有一个整数,求实数《的取值范围.
19.(12分)诚信是立身之本,道德之基,我校学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用
“周言,泮费,,表示每周“水站诚信度,,,为了便于数据分析,以四周为一周期,如表为该水站连续十二周(共三个
周投入成本
周期)的诚信数据统计:
第一周第二周第三周第四周
第一周期95%98%92%88%
第二周期94%94%83%80%
第三周期85%92%95%96%
(I)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数3
(D)若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”,90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周
进行调研,计算恰有两周是“高诚信度”的概率;
(ni)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,
根据已有数据,说明两次主题教育活动的宣传效果,并根据已有数据陈述理由.
20.(12分)已知数列{%}中,4=a(实数。为常数),4=2,s”是其前〃项和,S,=且数列也}是等
比数列,4=2,包恰为其与%-1的等比中项.
(1)证明:数列{6,}是等差数列;
(2)求数列也}的通项公式;
3111,>
(3)若。=二,当“22时q,=7一7+7--++{%}的前〃项和为1,求证:对任意〃22,都有
2%+1%+2
bn°”
127;,>6«+13.
21.(12分)已知函数0)=」_?+1+20,G(x)=alnx,设/(x)=F(x)-G(x).
6
(1)当。=一3时,求函数/(x)的单调区间;
(2)设方程/'(x)=c(其中,为常数)的两根分别为a,/?(«</?),证明:/(色子)<0.
(注:/"(X)是广(X)的导函数)
22.(10分)在AA8c中,GasinC=ccosA.
(I)求角A的大小;
(ED若风肉=百,b+c=2+2y[3,求a的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.
【详解】
由题意得,M={x[T<x<2},N={x]-2<x<3},贝!!
McN={x|—2cx<2}.故选C.
【点睛】
不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.
2.D
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简/(%)表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求
得了(X)的单调区间,由此确定正确选项.
【详解】
因为/(%)=2cos2x+(sinx+cosx)2-2
=l+cos2x+l+sin2x-2=V2sin[2x+—由f(x)单调递增,则2%万一工<2%+工<2k万+工(A:eZ),解得
V4J242
k7r-^-<x<k7r+^(keZ),当4=1时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.
88
故选:D
【点睛】
本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合
思想,应用意识.
3.B
【解析】
根据循环语句,输入x=l,执行循环语句即可计算出结果.
【详解】
输入X=l,由题意执行循环结构程序框图,可得:
2
第1次循环:x=—,i=2<4,不满足判断条件;
3
Q
第2次循环:x=-,z=3<4,不满足判断条件;
3232
第4次循环:x=—,Z=4>4,满足判断条件;输出结果工=k.
2727
故选:B
【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判
定语句,本题较为基础.
4.B
【解析】
先利用对称得AE_LOM,根据N《AO=NA。耳可得A£=c,由几何性质可得乙4耳。=60。,即NM。鸟=60,
从而解得渐近线方程.
【详解】
如图所示:
由对称性可得:加为从工的中点,且A名,。M,
所以《AJ.AB,
因为N£AO=NAQF;,所以A£=60=c,
故而由几何性质可得NA40=60。,即NMO乙=6(),
故渐近线方程为y=±百x,
故选B.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出NM。入=60是解题的关键,属于中档
题.
5.D
【解析】
弄清集合B的含义,它的元素x来自于集合4,且2、也是集合A的元素.
【详解】
因|x—1区3,所以—2Wx<4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又XGZ,2xeA,则无=0,1,2,
故集合3={0,1,2}.
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的定义,涉及到解绝对值不等式,是一道基础题.
6.B
【解析】
结合si^a+cos2a=1求得sina,cosa的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.
【详解】
sina-2cosa=l3乃34
由,,91,以及二£(肛丁),解得sina=-一,COSCC——
sin2a+cos~a=l255
.a
sin
1——12
1aaa.a1ga.a
1-tan—cos—cos-----sin—l-2cos—sin—
2=222__2222
ia.aa.aa.aa.aa.9a
1+tan—sin—cos—+sin—cos-----sin—cos—4-sin—co2s-----sin"-
2l+「22222222
a
cos—
2
1+3
l+
_l-sinQf_5_2>
cosa_4
-5
故选:B
【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.
7.C
【解析】
TT
利用诱导公式得cos(2019»+a)=-cosa,sin(—-2a)=cos2a,再利用倍角公式,即可得答案.
2
【详解】
由cos(2019zr+a)=~~~可得cos(乃+a)='cosa-~~,
万,25
/.sin(--2a)=cos2a=2cos2a-1=2x--1-.
故选:C.
【点睛】
本题考查诱导公式、倍角公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时
注意三角函数的符号.
8.B
【解析】
还原几何体的直观图,可将此三棱锥A放入长方体中,利用体积分割求解即可.
【详解】
如图,三棱锥的直观图为A-CQE,体积
匕-田£=V氏方体ng~^E-ABC~^E-CC^^^E-A[\F-
=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.
23232
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.
9.D
【解析】
构造函数〃(x)=sinx—x,〃x)=sinx-2x,利用导数分析出这两个函数在区间[一1^]上均为减函数,由
17TJT
5出。-5后4=1-24得出5皿々一。=5拘尸一26,分a=0、<a<0,0<。<,三种情况讨论,利用放缩
法结合函数y=/?(%)的单调性推导出-5<。<£<0或0<尸<。<3,再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数/z(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,
则//(x)=cosx-lvO,/z(x)=cosx-2<0,
所以,函数y=/(x)、y=/z(x)在区间「名3上均为减函数,
当-乙<x<0时,则〃(x)>〃⑼=0,/(%)>/(0)=0;当0cx〈我时,〃(x)<0,/(x)<0.
22
由sina—sin,=a-2月得sina—a=sin—2/7.
①若a=0,则sin/?-2/?=0,即/(月)=0=>尸=0,不合乎题意;
②若一]<a<0,则一g</vO,则〃(a)=sina-a=sin万一2/7>sin万一Q=/z(£),
n
此时,-5<。<P<0,
由于函数y=cosx在区间(_],())上单调递增,函数y=sinX在区间[-],()]上单调递增,贝!|sina<sin小,
cosa<cosp;
③若0<a<]则则/z(a)=sina-a=sin/?-24vsin力一分=〃(/7),
此时0<£<a<],
由于函数丁=以九》在区间0,1上单调递减,函数y=sinx在区间0,711上单调递增,则sina>sin分,
2
cosa<cosp.
综上所述,cosa<cos£.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用,构造新函数是解本题的关键,解题时要注意对a的取值范围进行分类讨论,考查推理能
力,属于中等题.
10.A
【解析】
3
如图设",平面8。,球心。在收上,根据正四面体的性质可得A。*”,根据平面向量的加法的几何意义,
重心的性质,结合已知求出x+y+z的值.
【详解】
如图设平面BCD,球心。在A/上,由正四面体的性质可得:三角形8CQ是正三角形,
旦,在直角三角形RO8中,
八|x
OB2=OF2+BF2nOA2=-AO)~+nA0=
4
3___.________
AO^-AF,AF^AB+BF>AF^AD+DF>AF^AC+CF>因为E为重心,因此在+/乙+产5=6,则
4
3AF=AB+AC+AD>因此而=;(福+恁+而卜13
因此x=y=z=—,则x+y+z=—,故选A.
44
【点睛】
本题考查了正四面体的性质,考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质,属于中档题.
n.c
【解析】
根据抛物线定义,可得lAFRAAJ,I8FRB4I,
又〃网所以^=明=2,
=2,
1想1-1期|2m—m1
|BB|=m[m>0),贝!j|A4J=2m,贝(jcosNA&=cos=---------——
X\AB\2m+m3
所以sinZAFx=上,所以直线/的斜率k=tanZAFx=20.
2故选c.
3
12.D
【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;
【详解】
解:函数y=sin2%+y^j=sin^2x+~],
二要得到函数?=$皿[2工+?)的图象,
只需将函数v=sin2x的图象向左平移今个单位.
O
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题,属于基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.国
2
【解析】
分析:首先设出相应的直角边长,利用余弦勾股定理得到相应的斜边长,之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系,
从而应用正切函数的定义,对边比临边,求得对应角的正切值,即可得结果.
详解:根据题意,设AC=m,BC=3〃,则CM=2〃,8M=〃,根据sinNBAM」,
A
?[7________________
得cosNBAM=$,,由勾股定理可得AM=\Jm2+4n2,AB=\Jm2+9n2,
gg人4—E.R//r+4〃-+相-+9〃--/r276
根据余弦定理可得—/一丁—
2vnv+4犷vm"+9n~5
化简整理得加4—12加力2+36/=0,即(m2-6M2)2=0,解得加=an,
所以tan/84C=史=:上=",故答案是".
点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,在解题的过程中,注意分析要求对应角的正切值,需要求谁,而题中所给
的条件与对应的结果之间有什么样的连线,设出直角边长,利用所给的角的余弦值,利用余弦定理得到相应的等量关
系,求得最后的结果.
14.5670
【解析】
根据二项式展开的通项,可得二项式系数的最大项,可求得其系数.
【详解】
二项展开式一共有9项,所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项,系数为《34=567().
故答案为:5670
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式的应用,由通项公式求二项式系数,属于中档题.
15.C
【解析】
假设获得一等奖的作品,判断四位同学说对的人数.
【详解】
AB,C,D分别获奖的说对人数如下表:
获奖作品ABCD
甲对错错错
乙错借对错
丙对错对错
T对错错对
说对人数3021
故获得一等奖的作品是C
【点睛】
本题考查逻辑推理,常用方法有:1、直接推理结果,2、假设结果检验条件.
【解析】
由题意容积V=(a-2x)2%,求导研究单调性,分析即得解.
【详解】
由题意:容积V=0<x<|,
贝(IVr=2(。-2x)x(一2x)+(a—2x)2=(a-2x)(a-6x),
由v'=()得或x=@(舍去),
62
令V,〉0,二%€(0,q);修<0."6(4,0)
662
则X为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时匕曲=高/.
2
故答案为:—'n3
27
【点睛】
本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)£=1±亚;(2)①2=〃;②详见解析.
2
【解析】
(1)依题意可表示5,5,相减得々=%-4,由等比数列通项公式转化为首项与公比,解得答案,并由其都是正
项数列舍根;
(2)①由题意可表示27;,2Tx,两式相减得2酊1=%2—%「1,由其都是正项并整理可得递推关系
〃+2-勿+1=1,由等差数列的通项公式即可得答案;
②由已知S„=%+2-2,〃eN*关系,表示S,”=a.-2并相减即可表示递推关系an+2=an+a,l+l,显然当〃=1,2,3
时,£,<)+:+%成立,当〃.4,时,表示
匕=2+冬+M+红普+6磬+…++"'"*'1,由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证・
"2222324252""|2"
【详解】
解:(1)依题意可得H=%-2,S2=a4-2,两式相减,得%=4-。3,所以%-。2夕,
因为。“>0,所以^—4—1=0,且q>0,解得g=上手.
(2)①因为27;=b;+x-n-\,所以24用=b;+2-n-2,
两式相减,得2%=织2-%T,即笈2=(%+•
因为勿>。,所以包+2=〃川+1,即%+2-2+|=1・
而当”=1时,2刀=时一2,可得打=2,故4一4=1,
所以勿+i-勿=1对任意的正整数〃都成立,
所以数列{4}是等差数列,公差为1,首项为1,
所以数列{4}的通项公式为d=〃.
②因为S“=ail+2-2,所以=a,,”-2,两式相减,得an+l=a„t3-a„+2,即ail+3=an+i+an+2,
所以对任意的正整数.2,都有a“+2=an+4+1.
而当〃=1,2,3时,显然成立,
所以当九.4,〃GN*时,々5+4+3+■^^+^^+...+%-3+)一
〃2222324252“一X
aaaaaa
_(\,2,3,2.3..〃〃-3,n-2,f^3.^4..〃〃-2,。〃一I1
I2222324252'i2"JU4252"-12"J
=a+4+胃+2+冬+…+曾%-2%
I2222324252'i2"22
_6+生+4,XpA--P々.1+42+43,Xp,XP—6+42+%i^_p
__~4^22^+4"2"~4n,
所以+奈+4+,,即月<q+,+q.
所以之条<%+:+/,得证.
/=!,Z
【点睛】
本题考查由前”项和关系求等比数列公比,求等差数列通项公式,还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩
证明不等式,属于难题.
18.(1)8=(一|,一,⑵[-3,2)53,4]
【解析】
(1)由不等式2x2+(2^+5)x+5k<0可得(2x+5)(x+6<0,讨论一k与-)的关系,即可得到结果;
2
(2)先解得不等式工一2>0,由集合M中有且仅有一个整数,当一人<一|时,则M中仅有的整数为-3;当
-左>-。时,则M中仅有的整数为-2,进而求解即可.
【详解】
解:(1)因为2^+(2左+5)》+5左<0,所以(2x+5)(x+&)<0,
当一左即上>g时,8=(_左,_^}
当一人=一工,即%=*时,3=0;
22
当—k>—$■,即Z<2时,8=(—,—kj.
22\2J
(2)由f一工一2>0得,-l)u(2,+oo),
当一女<一:,即女〉2时,M中仅有的整数为—3,
所以Y〈Tl<-3,即Ze(3,4];
当一女>-,即攵<°时,M中仅有的整数为-2,
22
所以一2<—左〈3,即丘[-3,2);
综上,满足题意的k的范围为[-3,2)。(3,4]
【点睛】
本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
2
19.(I)91%;(H)y;(m)两次活动效果均好,理由详见解析.
【解析】
(I)结合表中的数据,代入平均数公式求解即可;
(D)设抽至胪高诚信度”的事件为4,则抽到“一般信度”的事件为3,则随机抽取两周,则有两周为“高诚信度”事件
为C,利用列举法列出所有的基本事件和事件C所包含的基本事件,利用古典概型概率计算公式求解即可;
(m)结合表中的数据判断即可.
【详解】
(I)表中十二周“水站诚信度”的平均数
_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96I
x=----------------------------------------------x——=91%.
12100
(U)设抽至胪高诚信度”的事件为A,,则抽至一般信度”的事件为8,则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为C,总
的基本事件为4&、AA、AApAA、AA'A2A八AA、A;A4、A^A、AA、A,B、A;B、4丛、人8共15种,
事件C所包含的基本事件为A4、AA、AA、AA、&4、4A4、4A、4&、44、A4A共10种,
102
由古典概型概率计算公式可得,P(C)=—=-.
(HI)两次活动效果均好.
理由:活动举办后,“水站诚信度,由88%—94%和80%-85%看出,后继一周都有提升.
【点睛】
本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式;考查运算求解能力;利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典
概型概率的关键;属于中档题、常考题型.
20.(1)见解析(2)b“=2'nwN*(3)见解析
【解析】
YICI
(1)令〃=1可得4=,=0,即“=0.得到5“=于,再利用通项公式和前n项和的关系求解,
(2)由(1)知。“=2(〃—1),〃eN*.设等比数列出}的公比为4,所以a==2/1,再根据明恰为S&与仇一1
的等比中项求解,
(3)由⑵得到此2时,M=藜占+万占+…+吴[+:+…+白
=2"一(2”-1)+1=之」求得,,再代入证明。
2〃2〃2
【详解】
(1)解:令〃=1可得q=5=0,即a=0.所以S“=—j.
2时a,=5“一5,”=半一(〃一詈一,可得(〃-2)4=(〃一I)。,1,
ann-\ana,a,〜.、
当时工=-所以4=…X」X4=2(〃-1).
41«-2%an-2ai
显然当"=1,2时,满足上式.所以a“=2(〃—l),〃eN*.
:.an+i-a„=2,所以数列{%}是等差数列,
(2)由(1)知a“=2(〃-1),〃€N*.
设等比数列也}的公比为夕,所以a=伉/1=2/T
4=6总=12也=2q,
••・%恰为与〃2T的等比中项,
所以62=12x(2q-l),
解得q=2,所以2=2",〃eN*
(3)〃22时,Tn=C|+c2+...+cn,
++++/…+(出+^^+-・+/而〃22时,
111111
+...H------>-------1--------F...H------
-2z,-'+l2,,-|+2
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