2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第七节二项分布与超几何分布、正态分布

第七节二项分布与超几何分布、正态分布

【考试要求】

1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.

2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.

3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直

观，了解正态分布的特征.了解正态分布的均值、方差及其含义.

【高考考情】

考点考法：二项分布、超几何分布、正态分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题

情境，主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形

式呈现，难度中档.

核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理

Q一知谓梳理二＞1&/爰一o

归纳•知识必备

1.伯努利试验与二项分布

(1)伯努利试验：只有两个可能结果的试验.

(2)/7重伯努利试验

①定义：将一个伯努利试验独立重复进行〃次所组成的随机试验.

②特征：(i)同一个伯努利试验重复做〃次；(ii)各次试验的结果相互独立.

(3)二项分布⑴

①概念：在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件4发生的概率为夕(0＜仄1),用力表示事件

4发生的次数，则好的分布列为尸(乃=茂=C；4(1一。)左=0,1,2,…，〃.如果随机变

量片的分布列具有上式的形式，则称随机变量才服从二项分布，记作0).

②均值与方差：如果p),那么£(»=巫，

〃(协=np(l—p).

注解1由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即〃=1时的二项分布.

2.超几何分布⑵

⑴概念：假设一批产品共有川件，其中有"件次品，从1件产品中随机抽取〃件(不放回),

「kz-^n-k

用乃表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为尸(¥=7=MN-M,k=m,加+1,

♦

m+2,…，r.其中A,N,#eN*,M^zN,nWN,zz/=max{0,n-N+狐,r=min{〃，M.如果随

机变量方的分布列具有上式的形式，那么称随机变量片服从超几何分布.

(2)均值:£(&=号nM•

注解2超几何分布的特征是:

(1)考察对象分两类；(2)己知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X

的概率分布.

3.正态分布"'

(1)正态曲线

(A—2

函数f(x)=---1=ex《R，其中〃WR，。＞0为参数，我们称函数f(x)为正态密

川2n

度函数，称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.

⑵正态曲线的特点

①曲线位于*轴上方,与x轴不相交.

②曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称.

③曲线在x=〃处达到峰值—7=.

口

④曲线与x轴围成的面积为L

⑤在参数。取固定值时，正态曲线的位置由〃确定，旦随着上的变化而沿x轴平移，如图(1)

所示.

⑥当〃取定值时，正态曲线的形状由。确定，。较小时,峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变

量小的分布比较集中；。较大时,峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量才的分布比较分散，

如图⑵所示.

图⑴图⑵

(3)正态分布的定义及表示

若随机变量才的概率分布密度函数为f（x）=

1（v---4）2

---7=e------j----,xeR,则称随机变量X服从正态分布，记为a?）.

oyj2n乙0

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值.

①/〃一。W朕H+（）七0.6827.

②尸（〃一2oW收〃+20.9545.

③尸（〃一3oW收〃+3。）=0.9973.

＞注解3若才服从正态分布，即4），要充分利用正态曲线的关于直线对称和

曲线与x轴之间的面积为1.

智学•变式探源

1.选择性必修三P80习题T12.选择性必修三P79例6

L（改变题型）抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在30次试验中成功

次数乃的均值为.

211

【解析】由题意知抛掷一枚骰子，出现5点或6点的概率为£=-，则有才〜8（30,三），6（才

633

1

=30X-=10.

O

答案：10

2.（改变数字和问法）从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个

白球、1个红球的概率是（）

A±nAr122

353535343

【解析】选C.如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题,

r2r11o

故所求概率为P=~—^=~.

C735

慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用

3.（二项分布）设随机变量h46,三，则尸（1=3）等于（）

5353

A.C，D.

16B-1688

【解析】选A.P(X=3)=C,*自.

6b4lo

4.(伯努利试验)甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做

三次伯努力试验，若甲至少取胜一次的概率为曾，则甲恰好取胜一次的概率为()

【解析】选C.假设甲取胜为事件A,设每次甲胜的概率为P，由题意得，事件A发生的次数h

8(3,p),

1

6?RQ<2q

则有1—(1—)=言，得夕=1，则事件4恰好发生一次的概率为QX-X1--=—.

64434I外64

5.(正态分布应用)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80,

标准差为10,则理论上在80分到90分的人数是()

A.32B.16C.8D.20

【解析】选B.因为数学成绩近似地服从正态分布M80,102),所以尸(|才一80|W10)^0.6827.

根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率

的一半，所以理论上在80分到90分的人数是:X0.6827X48~16.

6.(对称性求解正态分布问题)已知随机变量1服从正态分布A'(3,1),且

+3),则c=.

【解析】因为hM3,1),所以正态曲线关于直线*=3对称，且尸0>2c—1)=尸(*c+3),

一4

所以2c—l+c+3=2X3,所以c=鼻.

O

答案：I

。、一点探究•传法培优-。

5考点一n重伯努利试验与二项分布囹解兖

高考考情：n重伯努利试验与二项分布是高考命题重点.以实际问题为命题背景，突出考

查〃重伯努利试验与二项分布公式的应用.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，难度

中档.

•角度1〃重伯努利试验及其概率

93

［典例1］甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为不和£.假设两人射击是否击中目标

相互之间没有影响，若甲射击4次，则至少有1次未击中目标的概率为；若

两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为.

【解析】记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件4,则事件4的对立事件，।为

”甲射击4次，全部击中目标”.由题意可知，射击4次相当于做了4次独立重复试验，故

4_16

,)=CX(|

PCA=81,

by/、,一、1665

所以尸(4)=1—P(4))=1——=—.

olol

所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为弁.

记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件4,“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件

区,

2

__8_

则尸(4)=C=

427

3

27

尸(反)=cX

464°

由于甲、乙射击相互独立,

827j

故户(4民)=尸(4)尸(8)=有X—=-.

ZI04o

所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为J.

O

由是651

口不：五

8

”,一题多变

若本例变为“假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击”.那么，乙恰好射击5次后，

被终止射击的概率为多少？

【解析】记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件4,“乙第i次射击未击中”为事件

2,3,4,5),则4="〃万3c57D,U-^2D,UD7D.),且尸(〃)=；.由于各事

件相互独立，故尸(4)=P(4)P(㈤尸(。3)

————1131145

P(D2D,+D2〃+2D,)=-x-X：X(1--X-)=„.

45

所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为「会.

•角度2二项分布

［典例2］某省在新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、

历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科.假设6个自

主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为

某中学高一年级的3名学生.

(1)求这3名学生都选择物理的概率；

⑵设才为这3名学生中选择物理的人数，求才的分布列，并求以才.

【解析】(1)设“这3名学生都选择物理”为事件依题意得每位学生选择物理的概率都为

1m311

5，故产(4)=5=-，即这3名学生都选择物理的概率为6.

Z\£Joo

(2)1的所有可能取值为0,1,2,3,

由题意知3,

pgo)=q出3@0=1,

P(i=i)=q冏2&i=1,

/V=2)=C，313)2=t，

尸(『)=£冏°国3­

所以才的分布列为

X0123

133i

p

8888

13313

=0X-+1X-+2X-+3X-=-.

ooooZ

,规律方法

1.〃重伯努利试验概率求解的策略

(1)首先判断问题中涉及的试验是否为〃重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独

立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相

等，全部满足〃重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.

(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公

式.

k

2.概率模型满足公式尸CT=a=c的三个条件：

n

(1)在一次试验中某事件［发生的概率是一个常数P；(2)/7次试验不仅是在完全相同的情况下

进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；

⑶该公式表示〃次试验中事件力恰好发生了A次的概率.

岁多维训练

1.设h8(4,p),其中;QI，且〃(1=2)=段,则尸(才=3)=()

816832

A——R——r——n——

81812781

2

84

【解析】选D.因为h3(4,p),所以尸(¥=2)=Qp2(l—p)~=—,所以02(1一0尸=谕.

4乙IO1

192

因为5〈K1，所以。(1—。)=3，所以。，

乙<7O

..'3,.,⑵3132

产(才=3)=q0(1—p)=4x|jJx-=—.

2.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两

轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合

格的概率为:，第二轮检测不合格的概率为白，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可

以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4

件产品，记一箱产品获利4元，则尸(后一80)=.

113

【解析】由题意得该产品能销售的概率为(1一国)(1-7T)=7.易知X的所有可能取值为

6104

-320,-200,-80,40,160.

设f表示一箱产品中可以销售的件数，则f〜，4,1

所以0(f=Q=q倬)4-k

工12__27_

所以尸(才=-80)=尸(f=2)=q[J习=128

AJ=40)=Af=3)=c30127

64

尸(,才=160、)=尸/(,54、)=£⑶b4七mJ0=标81.

故^-80)=W=-80)+W=40)+W=160)=-.

3.(2021•青岛模拟)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣

传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上

分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与"图案.抽奖规则：参加者从盒中抽

取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖,

否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参

加者问：''盒中有几张'普法宣传人人参与'卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张

都是‘扫黑除恶利国利民'卡的概率是1.”

(1)求抽奖获奖的概率；

(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，

再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示

获奖的人数，求X的分布列和均值.

【解析】⑴设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，由与,得n=4,故“普法宣传人人参

(Zo

与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为二u=§•

4dd+55…<5、

(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为§X--9*丁=9'所以X-B(3,-

3—k

即P(X=k)=C'(k=0,1,2,3),

X的分布列为

X0123

6480100125

p

729243243729

55

所以E(X)=3X-=-.

v/O

教师

专用

某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；

若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再

由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初

13

审专家通过的概率均为5,复审能通过的概率为行，各专家评审的结果相互独立.

(1)求某应聘人员被录用的概率；

(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.

【解析】设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件B,“通过复

审”为事件C.

(1)设“某应聘人员被录用”为事件D,

则D=AUBC.因为P(A),

/、1fH1/、3

P(B)=2X-X1--=-,P(C)=—,

乙、乙,乙L\J

2

所以P(D)=P(AUBC)=P(A)+P(B)P(C)=E.

□

(2)根据题意，X=0,1,2,3,4,且X〜B(4,|),

凡表示“应聘的4人中恰有i人被录用"(i=0,1,2,3,4).

⑶48]

因为p(A0)=q=—,

1

2216

P(A)=£X5X

4(IJ-625，

2

2'I"2216

PAC

(2)=-625，

3

3396

PAC

(3)=八5-625'

44016

P(A,)=C

4-625'

所以X的分布列为

X01234

812162169616

n

1625625625625625

7考点二超几何分布讲练互动

[典例3](1)一个袋子中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2

分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是()

13141822

A'35B'35C'35D'35

【解析】选4记得分为X,则X=5,6,7,8.

/、。C12,、。41

P(X=7)=—=访;P(X=8)=-=访•

19113

所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)+77=—.

(2)某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学

院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取

3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

①求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；

②设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.

【解析】①设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=」7——

“10

49

60'

所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为右.

②随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

P(x=k)=4

(k=0,1,2,3).

加0

故p(x=o)=^yr-i,、《。

=・（x=D=丁=5

1

p(x=2)=ir=T3,p(x=3)=方

301

求超几何分布的分布列及期望的步骤

验证随机变量服从超几何分布,并确定参

数的值

根据超几何分布的概率计算公式计算出随

机变量取每一个值时的概率

第三分一用表格的形式列出分布列

用期望的定义或超几何分布的期望公式

—求解

/对点训练

1.（多选题）袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个球，则下列正确

的是（）

A.都不是白球的概率为七

3

A恰有1个白球的概率为三

C.至少有1个白球的概率为上

7

D.至多有1个白球的概率为正

c?]dd3

【解析】选/被P(都不是白球)=<=7T，P(恰有1个白球)=「P(至少有1个

G1。G5

白d球,d+():=讪9,P(至多有1个白球)=c生+C父-C=正7

2.为推动羽毛球运动的发展，某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协

会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名

运动员中随机选择4人参加比赛.

⑴设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求

事件A发生的概率；

⑵设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X).

【解析】(1)由已知，有P(析=£•

所以事件A发生的概率为捻.

⑵随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

P(X=k)=——(k=l,2,3,4).

P(X=1)=片，。=逋1，p(x=",者《=不3，

,、,43,、C。1

p(x=3)=-=7*p(x=4)=-=Ii-

所以随机变量x的分布列为

X1234

1331

p

147714

b-13.3,15

所以E(X)=1XR4-2X-+3X-+4X—=-.

(另法：E(X)=1)

oZ

教师

专用【加练备选】

某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又

会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求：

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列与期望.

。d4

【解析】(1)事件A"选派的三人中恰有2人会法语”的概率为P(A)=—1=-.

(2)X的取值为0,1,2,3.则

/、44/、《C18

P(X=0)=~r=—，P(X=1)=--；­=—，

G3bQ3b

P(X="等蓝，P(X=3)=才=话.

所以分布列为

X0123

418121

P

35353535

,、18,12,19

E(X)=1X—+2X—+3X—=-.

3535357

J考点三正态分布|讲练藐

[典例4](1)(多选题)(2021•泰安模拟)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的

研究、应用与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创

建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡

献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其

1/-I八八\2

密度函数为f(x)=­L・e--2szk-，xw(—8,+8),则下列说法正确的是()

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为10cm

C.随机测量一株水稻，其株高在120谶以上的概率比株高在70防以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大

j(V—U)~

【解析】选4C正态分布密度函数为f(x)=7言I•e——T—，xw(—8,+8),

由题意知u=100,。2=100,所以该地水稻的平均株高为100cm,方差为100,故/正确，

8错误；因为正态分布密度曲线关于直线x=100对称，所以P(X>120)=P(XV80)>P(XV70),

故。正确;P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故〃错误.

(2)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服

从正态分布N(100,17.51已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次

参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为；如果成绩大于135分的为特别优秀，那

么本次数学考试成绩特别优秀的大约有人.(若X〜N(u,。2),则P(u—QWXW

口+o)=0.68,P(口一2oWXW口+2o)%0.96)

【解析】因为数学成绩X服从正态分布正100,17.5%

则P(100-17.5^X^100+17.5)=P(82.5WXW117.5)«0.68,

所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率

1-P(82.5^X^117.5)

P(X<82.5)==0.16.

2

又P(100-17.5X2WXW100+17.5X2)=P(65WXW135)=0.96,所以数学成绩特别优秀的

1-P(65WXW135)1-0.96

概率P(X>135)=&----=---0---.----0---2--.

2

又P(X〈82.5)=P(X>117.5)=0.16,则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是照X0.02