高中数学选择性必修二 等比数列的性质及应用教学设计

等比数列的性质及应用教学设计

课题等比数列的性质及应用单元第一单元学科数学年级高二

教材《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一

分析个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，

而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今

后学习和工作中必备的数学素养。

数列是刻画离散现象的函数，作为重要的数学模型，具有承上启下的作用。数列的教学

内容及过程为学生核心素养发展提供生长点，培养学生的数学思维。

1数学抽象：等比数列的性质

教学2逻辑推理：等比数列性质的推导

目标

3数学运算：等比数列性质的运用

与

4数学建模：应用等比数列解决实际问题

核心

素养5直观想象：等比数列的性质及其与指数函数的关系

6数据分析：等比数列的性质及推导、运用，提高学生数学判断以及参与数学活动的能力

重点等比数列的性质、等比数列的应用

难点等比数列的运算、等比数列的性质及应用

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

温故知新通过与等差数列

等比数列等差数列进行对比，发展

an+l

定义Tqan+l一Q/i=d复习导入学生类比思维能

公比（公力，加强记忆。发

q不可以是0d可以是0

差）

展学生数学抽

等比（差）等比中项=G2=等差中项=

中项ab2A=a+b象、数学运算、数

%

学建模等核心素

=。0一1(n=%+(九一l)d

通项公式

>2)an养。

nm

Qn=amq-.=am+(n—m)d.

性质am+an

aman=QpQq

若m+n=p+q=Qp+Qq

问题：

等比中项与等差中项的区别？

提示：

(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项

(2)两个数a,b的等差中项只有一个，两个同号且

不为0的数的等比中项有两个.

讲授新课拓展

1两个等比数列合成数列的性质

若数列｛6｝，｛/｝均为等比数列，c为不等于0的常

数,则数列｛caj｛碌｝,5•%｝,｛詈｝也为等比数列.

例4用10000元购买某个理财产品一年.

(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个

月能获得多少利息(精确到1元)？

(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当

每季度利率为多少时，按季结算的利

息不少于按月结算的利息(精确到

10-5)?

运用等比数列的

分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作

知识解决实际问

本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为。

题，发展学生逻

元，每期的利率为r,则从第一期开始，各期的本利

辑推理、数学抽

和a,a(l+r),a(l+「尸，...构成等比数列.

象、数学建模等

解：(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成

核心素养。

一个数列｛即｝，则｛即｝是等比数列，

首项由=104(1+0.400%),

公比q=l+0.400%,所以

412

a12=10(1+0.400%)x10490.7

所以，

12个月后的利息为10490.7-104*491(元)

(2)设季度利率为r,这笔钱存n个季度以后

的本金和组成一个数列｛%｝,则｛勾｝也是一个等比

数列，首项瓦=10线1+功，公比为1+r,于是

44

i>4=10(1+r)

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息

为+l)4一10勺元.

解不等式1。4(1+74-IO”2491,得

r>1.206%

所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算

的利息不少于按月结算的利息.

例5已知数列｛an｝的首项%=3.

(1)若｛即｝为等差数列，公差d=2,证明数列

｛3%｝为等比数列；

(2)若｛即｝等比数列，公比为q=l.证明数

歹”｛log3%｝为等差数列.

例题巩固

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列

加深对等比、等

的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.

差数列概念的理

证明：(1)由的=3,d=2,得｛Q九｝的通项公式

解，体会等差与

为an=2几+1.

等比数列的内在

设%=3而，则蜉=学段=9

联系。

又d=33=27

所以，｛3而｝是以27为首项，9为公比的等比数

列.

(2)由a1=3,q=|>得

3-2n

an=3x(3nT=3

两边取以3为底的对数，得

3-2n

log3an=log33=3-2n

所以

log3an+1-log3a„=[3-2(n+1)]-(3-2n)

=-2

又log3ar=log33=1

所以，｛log3a工是首项为1,公差为-2的等差

数列.

思考

(1)已知b>0且b大1,如果数列是等探究与等比、等

差数列，那么数列｛匕即｝是否一定是等比数列？差数列相关的性

(2)如果数列｛an｝是各项均为正的等比数列，质

那么数列｛log》即｝是否一定是等差数列？

提示：(1)

设｛an｝的首项为由，公差为d,

则a„+i-an=d.

anai

cn=b,则q=b,

=bai-a=阴

%bann+n

又因为b>0且b^l,所以阴常数

故｛7｝是首项为Li公比为阴的等比数列.

(2)

设数列｛即｝的首项为。(心0),公比为q(q>0),贝U

数列｛七｝的各项分别为

a,aq,aq2,…，aqn"1

对各项分别取以b为底的对数，得

2n-1

logba,logbaq,logbaq,…，logftaq

即logf,a,logba+logbq,logba+2\ogbq,

…，log&a+(n-1)logbq

例题巩固

这就形成首项是log》a,公差是log》q的等差数

列

拓展

等比、等差数列的两个性质：

(1)已知b>0且b于1,如果数列｛即｝是等

差数列，那么数列｛〃叫是等比数列.

(2)如果数列｛a,J是各项均为正的等比数列，

那么数列｛logb加｝是等差数列.

例6某工厂去年12月试产1050个高新电子考查数列的通项

产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂公式的求法，数

在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年列的单调性的应

12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都用，提高学生转

在前一个月的基础上提高5%,产品合格率比前一化思想以及计算

个月增加0.4%,那么生产该产品一年后，月不合格为什么n<能力

品的数量能否控制在100个以内？24?

分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格

率分别构成数列｛即｝,｛bn｝,则各有不合格品的数量

构成数列由题意可知,数列｛%｝是等比数

列,｛%｝是等差数列。由于数列｛斯％｝既非等差数

列，又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再

寻求问题的解决方法.

解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率

分别构成数列｛即｝,｛b^.

由题意，知

an=1050x1.05—1

bn=l-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n

其中，n=l,2,…，24,

则从今年1月起，各月不合格产品的数量是

n-1

anbn=1050x1.05x(0.104-0.004n)

=1.05nx(104-4n)

由计算工具计算(精确到0.1),并列表(表4.3-

1)

表4.3-1

n1234567

105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9

n891011121314

4瓦106.4105.5104.2102.6100.698.195.0

观察发现，数列｛叫匕｝先递增，在第6项以后

递减，所以只要设法证明当nN6时，｛册％｝递减，

且由3瓦3<10。即可.

[俨+也+i=1.05”+%104-45+1)]

n

anbn-1.05x(104-4n)

得n>5

所以，当？126时，｛a71bn｝递减

又由3b13=98<100

所以，当13<n<24时，anbn<a13b13<100

所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量

能控制在100以内.

课堂练习：

1(等比数列的性质)

(1)在1与100之间插入n个正数，使这〃+2

个数成等比数列，则插入的〃个数的积为()

A.10nB.n10C.100nD.n100

(2)在等比数列｛aja3=16,aia2a3•••aw=

265,则a7等于________.

解：

(l)设这n+2个数为a2,,an+1,

an+2且％=1,an+2=100,则

nn

a2a3…Qn+1=(。1/1+2)2=(100)2=10n

(2)因为的a2a3…%o=265,所以a3a8=213

又因为的=16=24,所以他=29

s

因为a8=a3,q,所以打2.

所以Q=%=256

q

答案：(1)A(2)256

2设｛an｝是等比数列,且01+G2+。3=1，。2+

。3+。4=2，则%+。7+@8=()

A.12B.24C.30D.32

解：｛即｝是等比数列,且由+。2+。3=1，

则。2+，3+。4=q(%+。2+。3)，即q=2,

所以

。6+%+。8=9'(Qi+&+。3)=25X1=32

故选：D

3在正项等比数列｛每｝中,aj4-2a6aQ+=100

则。5+-

解：根据题意，正项等比数列｛Qn｝中，Q6a8=。509

则

2

al+2Q6a8+Q：=磋+2a5Q9+Q€=(a5+a9)

=100

则。5+的=10

答案：10

4已知｛an｝,也｝均为正项等比数列,Qn分别为

数列｛四｝,｛勾｝的前〃项积，且臀=亭；则鬻

inQnzninD3

的值为—.

解：数列｛aJ｛bn｝均为正项等比数列，

设它们的公比分别为g,机，

Pn,Qn分别为数列｛a—｛匕｝的前”项积，

因为

九(九一1)

\nPnInQi,股.…&n)ln[af・q2]

InQn-In(瓦•b•…b)~~.,嚼羽

n…22nln[hp-rnm2]

1

n\nar+九"2