人教A版高考数学一轮复习（理）专题练习（提高）：三角函数-解三角形

解三角形一、选择题（共12小题；共60分）1.在△ABC中，AC=7，BC=2，B=60∘，则 A.32 B.332 C.3+2.在△ABC中，已知b+c:c+a:a+b A.6:5:4 B.7:5:3 C.3:5:7 D.4:5:63.如图在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC=33，BD=5，sin∠ABC=23 A.14 B.4 C.25 D.4.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sin A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5.已知A船在灯塔C北偏东85∘且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C西偏北25∘且B到C的距离为3 km，则 A.23 km B.32 km6.若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为   A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定7.△ABC中，ac=3−1，tanB A.30∘ B.45∘ C.60∘8.已知在△ABC中，a，b，c分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边，若过点C作垂直于AB的垂线CD，且CD=h，则下列给出的关于a，b，c，h的不等式中正确的是   A.a+b≥2h2 C.a+b≥4h29.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2bsinC，则tan A.4 B.33 C.8 D.10.已知正实数m，n，设a=m+n，b=m2+14mn+n2．若以a，b为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足 A.1,6 B.2,36 C.4,20 D.4,3611.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若BC边上的高为a2，则cb A.2 B.2 C.22 D.12.已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③cos2α2， 分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有   A.1组 B.2组 C.3组 D.4组二、填空题（共5小题；共25分）13.如果满足A=60∘，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是

14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=23，C=π3，tanA=34，则sinA=15.已知△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC且AD交BC与点D，AD=a，若sin2∠ABC+sin2∠BCA+16.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin32B+π4=2217.已知△ABC满足A=π3，AB+AC⋅BC=0，点M在△ABC三、解答题（共5小题；共65分）18.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC=π4，求19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a20.已知△ABC中，22sin2（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为边BC上的高．已知AD=36a（1）若A=2π3（2）求c+122.已知fx（1）若x∈π6,（2）在△ABC中，A为BC边所对的内角，若fA=2，BC=1，求答案第一部分1.B 【解析】在△ABC中，由余弦定理可知：AC即7=AB整理得AB解得AB=−1（舍去）或AB=3．故BC边上的高AD=AB⋅sin2.B 【解析】由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6kk>0，则a=72k，b=52k，3.B 【解析】提示：因为cos∠DBC=cos∠ABC−90∘=sin4.C 5.D 6.A 【解析】令C=90∘，各边增加k个单位长度后各角分别为A＇、B由题意可知C＇>B＇，C因为a2+b所以cosC所以C＇故△A＇7.B 8.B 【解析】由三角形的面积公式得12则a2所以由余弦定理得a2再由基本不等式得a2即a2b2因为0<∠ACB<π所以1−cos所以ab1+再由余弦定理得ab1+所以a+b2即a+b≥49.C 【解析】a=2bsin又根据三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanA所以tanAtanBtanC=tanA⋅tanA10.D 【解析】因为正实数m，n，所以a=m+n≥2mn，b=因为其第三条边长为c，且c满足c2所以c2因为−1<cos所以4mn<c所以实数k的取值范围为4,36．11.C 12.B 【解析】因为α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b>c．则①中，sinα=a2R，sin则a2R②中，sin2α=a24由a24R2+③中，cos2α2④中，当α=β=30∘时，γ=120∘，则第二部分13.2【解析】当BC<AB⋅sinA时，不能构成三角形；当BC=AB⋅sinA，即ksin60∘=6，k=43时，三角形为直角三角形，不符合题意；当AB≥BC>ABsinA，即k≥6>ksin60∘，即6≤k<43综上可知，实数k的取值范围是2314.35，15.2【解析】由正弦定理可知，sin2∠ABC+sin2∠BCA+sin2∠BACsin∠ABC⋅sin∠BCA=b2+c2+a16.3,4【解析】由0<B<π得，π因为sin32B+π4又因为a+c=2，所以由余弦定理可得，b2因为a+c=2，a+c≥2ac，当且仅当a=c时取等号，所以0<ac≤1，则−3≤−3ac<0，则1≤b2<4所以△ABC周长L=a+b+c=b+2∈3,417.1,3【解析】由△ABC满足A=π3，可得△ABC为等边三角形，又点M在△ABC外，且MB=2MC=2，如图1．若M与A在BC同侧，设BC=a，∠BMC=β，∠BCM=α，则asinβ=又cosα=所以∣MA∣2=如图2．若M与A在BC异侧，设∠BMC=β，∠BCM=α，则asinβ=又cosα=所以∣MA∣2=综上，∣MA∣的最小值为1，最大值为3．第三部分18.（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，所以tanα=12所以tan∠BAC=又∠BAC∈0,所以∠BAC=π

（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=π4．AD=6，由正弦定理得ADsinπ4因为AD>BD，所以α为锐角，从而cosα=因此sin∠ADC=△ADC的面积S=19.（1）因为bsin由正弦定理可得sinB因为sinA≠0所以sinB=3cos可知cosB≠0所以tanB=所以B=π

（2）因为sinC=2所以c=2a．由余弦定理可得b2所以9=a把c=2a代入上式化为a2解得a=3所以c=2320.（1）由22sin2又因为R=2所以a2所以a2所以cosC=又因为0∘所以C=60

（2）S=所以当2A=120∘，即A=6021.（1）因为S△ABC即1⋅c⋅32=a⋅根据余弦定理a2有3c=1+c即c−12=0，即