数学中的逻辑推理

数学中的逻辑推理第一页，共四十页，2022年，8月28日0数学思维概述

1.思维思维是多种学科的研究对象。从心理学的角度分析，“思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。”一、思维与数学思维思维具有（1）问题性（2）间接性（3）概括性（4）语言性思维的分类：★根据思维的抽象程度分类，思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象逻辑思维。★根据思维的目的性分类，思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。★按思维的智力品质分类，思维可分为再现性思维和创造性思维。★按思维的形式不同分类，思维可分为辐合思维和发散思维。第二页，共四十页，2022年，8月28日2.数学思维数学思维从属于一般思维，它是人脑对数学对象理性的认识过程，是对数学学科的本质属性与数学对象间关系的反映。数学思维既有一般思维的共性，又具有自身的特性。注数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出数学思维特有的规律。数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动包括研究数学和学习数学的活动。不论是研究数学还是学习数学，数学思维都贯穿在发现问题和解决问题之中。

数学思维的成分主要包括逻辑思维、形象思维和直觉思维。概括如下：◆逻辑思维又称抽象思惟，是思维的一种高级形式。其特点是以抽象的概念、判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系。◆形象思维是凭借事物的具体形象和表象的联想来进行的思维。它具有层次性，较低层次的形象思维主要以物体的具体形象作为思维材料，其思维过程仍保持着思维与实际动作的联系，接近于具体的动作思维。

数学思维概述第三页，共四十页，2022年，8月28日◆直觉思维指人们运用视觉形象或表象，经过高度的简缩思维活动，迅速地、直接地、综合地作出判断的思维方式。其特征主要有以下两个方面：第一，思维的简缩性。通常可以用一种抽象的度量单位来测量数学思维的长短，这个度量单位称为思维链。对同一个问题有不同解决方法，也就是存在长度不同的思维链。第二，思维的整体性。思维者不着眼于细节的逻辑分析，而是从整体上把握其本质。著名数学家庞加莱曾对直觉思维的整体性作过精彩的描述：“一个数学证明并不是若干个三段论的简单并列，而是众多的三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身主要得多。一旦我们感觉到它，也就是说，直觉到这个序，以至我们一眼之下就能领悟了整个推理，我们就再也不必害怕会忘掉任何元素。因为每个元素都将在序中各得其所，而这是不需要我们付出任何记忆上的努力的。”数学思维概述第四页，共四十页，2022年，8月28日数学思维概述二、数学思维的特征

1．数学思维的概括性2．数学思维的间接性3．数学思维的问题性4．数学思维的复合性第五页，共四十页，2022年，8月28日数学思维概述三、数学思维的品质数学思维品质主要包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、独创性和批判性五个方面。数学思维的五种品质相互联系，互为制约。

1．数学思维的深刻性数学思维的深刻性指思维活动的抽象程度和逻辑水平，反映思维活动的广度和深度。2．数学思维的敏捷性思维的敏捷性指思维活动的速度。它反映了智力的敏锐程度。主要表现为能缩短运算环节和推理过程，正确和迅速地得出结论。3．数学思维的灵活性思维的灵活性即思维活动的灵活程度，是指能够根据客观条件的发展与变化，及时地改变先前思维过程或方式，寻求新的思维角度和方向。在数学学习中，思维的灵活性主要表现在思维的起点灵活，即能根据题设和结论，灵活地确定解题方向，选择解题方法；过程灵活，即能从分析到综合，从综合到分析，并将有关知识迁移到当前的问题解决之中。第六页，共四十页，2022年，8月28日数学思维概述4．数学思维的独创性

思维的独创性指独立思考创造出有一定价值和新颖成果的智力品质，是人类思维的高级形态，是智力的高级表现。在数学学习中，思维的独创性表现为善于独立地思考和分析问题，寻求多种途径解决问题，或者能从旧问题引申出一些新问题。思维的独创性较多地寓于发散思维和直觉思维之中。5．数学思维的批判性思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，反映了思维活动中独立分析和批判的程度。它表现为善于独立思考、提出疑问，能及时发现和纠正错误；能够自我地对解决问题过程进行评价，自觉调控思维进程；能够对问题本身进行评价，从而对问题进行推广。

第七页，共四十页，2022年，8月28日§1

归纳推理归纳推理是通过各种手段(观察、实验、分析、比较等)对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。

归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。一、完全归纳法完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。1．穷举归纳法穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一属性(作出特称判断)，从而得到这类事物都有这一属性的一般结论(全称判断)的归纳推理。第八页，共四十页，2022年，8月28日§1

归纳推理2．类分法所谓分类，用集合语言可定义如下：

2，…，n)为该分类下的一个类。

交直线PQ于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆。第九页，共四十页，2022年，8月28日

§1

归纳推理二、不完全归纳法根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。素数分布论中许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想，然后再经严格数学推导，设法给予证明的。在数学中，不完全归纳法又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法。1．枚举归纳法

枚举归纳法是先找几个特殊对象进行试验，然后归纳出共性特征，最后提出一种比较合理的猜想的推想方法。它的步骤可概括为“试验——归纳——猜想”，至于要考察多少个特殊对象，那要看具体情况。第十页，共四十页，2022年，8月28日§1

归纳推理

2．因果关系归纳法

因果规律的特点，在前后相继的一些现象中，通过某些现象的相关变化，归纳出现象间的因果联系。这种方法叫做因果关系归纳法。大体可分为以下五类,五种方法中，最基本的是求同法与差异法，它们都是发现因果联系的方法。(1)求同法从不同场合中找出相同元素，即发现各种条件中只有一个因素是普遍存在的，那么A就是a的原因。场合各种条件被研究对象ⅠA，B，CaⅡA，D，EaⅢA，F，Ga∴A是a的原因第十一页，共四十页，2022年，8月28日§1

归纳推理

(2)差异法从两种场合之差异找出因果联系。场合各种条件被研究对象ⅠA，B，CaⅡB，Cb或a不出现∴A是a的原因(3)求同差异共同法探讨求同法与差异法二者结合寻找因果联系。场合各种条件被研究对象ⅠA，B，CaⅡA，P，EaⅢF，Bb或a不出现ⅣM，Ec或a不出现∴A是a的原因第十二页，共四十页，2022年，8月28日§1

归纳推理

(4)共变法从某一现象变化引起的另一现象变化中，找出两现象之间的因果联系。场合各种条件被研究对象ⅠA1；B，Ca1ⅡA2，B，Ca2

ⅢA2，B，Ca3∴A是a的原因(5)剩余法在一组复杂现象中，把已知因果联系的现象减去，探求其他现象的原因。场合各种条件被研究对象ⅠA，B，Ca，b，cⅡBbⅢCc∴A是a的原因

第十三页，共四十页，2022年，8月28日

§2类比推理类比推理，是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理方法。它既包含从特殊到特殊，又包含从一般到一般的推理。其特点是：利用某些客观事物间的相似性，以对一个系统的研究作为获得关于另一个系统的信息的手段。推理前提所提供的仅仅是两个(或两类)事物的一些相同点。以此为据，进而推出另一属性也相同。其推理根据是不充分的，它无法保证已知相同的属性和推出的属性之间有必然的联系。所以，它是一种或然推理。一、类比推理的类型及原则1．类比推理的类型第一类：简单共存类比。它是根据对象的属性之间有简单共存关系而进行的推理。A对象具有属性a、b、c、d

∴B对象可能也具有属性d这个类推公式中，a、b、c表示两个(类)对象的相同(似)属性，而d表示推移属性。第十四页，共四十页，2022年，8月28日类比推理第二类：因果类比。它是根据对象的属性之间可能具有同一种因果关系而进行的推理。A对象中，属性a、b、c同属性d有因果联系

∴B对象可能有属性d′(d′与d相同或相似)第三类：对称类比。它是根据对象属性之间具有对称性而进行的推理。它比前二类更可靠些，但一事物的对称关系不一定恰好适合另一对象。第十五页，共四十页，2022年，8月28日类比推理第四类：协变类比，又称数学相似类比。它是根据对象属性之间具有某种确定的协变关系，即函数变化关系而进行的推理。由于它定量地描述了对象属性之间的关系，因此比前类类比前进了一大步。这种类比推理有两种形式：(1)根据两个对象有若干属性相似，且在二者的数学方程式相似的情况下，推出它们在其它属性方面可能相似。A对象具有属性a、b、c，且对A有f(x)=0

由于f(x′)=0与f(x)=0相似，∴B对象可能有属性c′

(2)根据两个对象的各种属性在协变关系中的地位与作用相似，推论出它们的数学方程式也可能相似。A对象具有属性a、b、c，且对A有f(x)=0

由于属性a、b、c与a′、b′、c′相似，∴对B可能有f(x′)=0第十六页，共四十页，2022年，8月28日类比推理第五类：综合类比。它是根据对象属性的多种关系的综合相似而进行的推理。A属性a、b、c、d及它们之间的多种关系

由a、b、c、d的量值可能推出a′、b′、c′、d′的相应量值2．类比推理的原则第一，类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性以及它们之间的相关程度，如果相似属性与相关程度越高，那么类比推理的结论的可靠程度就越大。第二，类比推理也是信息从模型向原型的转移，是以对一个系统的研究作为获得关于另一个系统的信息的手段。在数学中，常表现为思路方法的转移。如抽象空间中的距离和初等代数中实数的绝对值、复数的模的概念，从实质上讲是一致的。第十七页，共四十页，2022年，8月28日类比推理3．运用类比推理应注意的几个问题(1)要善于观察事物的特点，注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处，并追究造成这种共同或相似的原因。要大胆放宽眼界，不受自己的研究对象与学科的限制。(2)要善于联想，从一事物联想到与它性质相似的其他事物，从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理。(3)类比常与归纳、演绎综合运用，另外它也离不开分析。归纳、类比和探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的，因此必须自觉掌握创造性思维等特征，并运用到实际工作中去。第十八页，共四十页，2022年，8月28日类比推理二、类比推理的作用1．类比是对知识进行理线串点，融汇贯通的好办法。如平面几何、线性代数与泛函分析有关知识的类比，使我们加深对高等数学的理解与认识。如下表所示：第十九页，共四十页，2022年，8月28日类比推理2．类比是富于创造性的方法之一拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”

3．借用简化的类比形式，可望形成有关问题答案的猜想，从而找到有用的探索方向

例已知x+y+z=x·y·z，求证

考虑到直接证明困难，但通过细分析左端每一个分式，与二倍角的正切公式

的右端相似，于是联想到可用三角函数换元法证。

第二十页，共四十页，2022年，8月28日类比推理

这是一个曾使雅各布•伯努利感到无能为力的数学问题，他曾经写道：“假如有人能够求出这个我们直到现在还未求出的和，并能把它通知我们，我们将会感谢他。”对于这个问题，欧拉发现了各式各样的表达式（定积分，级数），但没有一个能使他满意，他用这些表达式之一，算出了一个有七位有效数字的和（1.644934），但这仅是一个近似值，而欧拉的目的是求出准确值。最后他发现了它，是类比方法帮助他得到了精彩的结果。例求自然数平方的倒数和分析：设一个2n次代数方程（（﹡）无零根，将这个方程变形为第二十一页，共四十页，2022年，8月28日类比推理令这个方程的根为则有即与方程（*）比较x2项的系数，有考虑方程

即

这个方程有无穷个根：0，π，-π，2π，-2π，3π，-3π，…。去掉x=0这个根之后，方程化为第二十二页，共四十页，2022年，8月28日类比推理将这个方程与方程（*）类比，得出于是有对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新的并且还来没有这样用过。”波利亚（G.Polya）在1953年对此曾作出如下评论：“欧拉成功的决定性因素是大胆，从严格逻辑角度来回顾，他的做法是荒谬的。他把对某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了，即把关于一个代数方程的法则应用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比，而类比告诉他可以这样做。这门新科学，在几年以后，他自己把它称为‘无穷分析’。”第二十三页，共四十页，2022年，8月28日

§３演绎推理演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然性推理。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统。演绎推理也是发展假设和理论的一个必要环节。19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。

一、三段论所谓“三段论”就是由两个判断(其中至少有一个是全称判断)得出第三个判断的一种推理方法。第二十四页，共四十页，2022年，8月28日演绎推理二、归纳与演绎之间的关系1．归纳与演绎是相互联系互为补充的，它们都属推理方法归纳是演绎的基础，演绎是归纳的前导，归纳为演绎准备条件，演绎为归纳提供理论根据。在实际中，两法总是结合使用。数学家克莱因说的好：“最初建立某一个假设的人所做的归纳法的工作，跟最初证明这个假设的人所做的演绎法的工作，当然具有同样的价值，因为这个和那个是同样必要的。”推理方法与证明方法的关系可用下表表示：第二十五页，共四十页，2022年，8月28日演绎推理2．数学归纳法是“归纳—演绎”法归纳和演绎在认识过程中的相互渗透在数学归纳法中体现最明显。数学归纳法是一种证明方法，它的证明步骤是：(1)对于一个与自然数N有关的命题A，证明当n=1(或n等于某一个有限的正整数)时命题A成立；(2)假设命题A对于n=k时成立，要求推出命题A对于n=k+1也成立。由(1)和(2)可知命题对于所有的自然数都成立。数学归纳法：1.数学归纳原理2.数学归纳法的形式3.例题

第二十六页，共四十页，2022年，8月28日演绎推理3．卡尔纳普的理论

19世纪中叶以后，逻辑学家的研究逐步转向重视归纳，重视概率，重视归纳和概率的关系。直到近代以卡尔纳普为代表的逻辑文学家提出关于归纳逻辑的理论。他认为一切归纳推理是关于概率的推理；归纳逻辑是关于归纳推理的原理的理论，归纳逻辑就是概率逻辑。他对演绎推理与归纳推理的定义作了新的研究，认为演绎推理是前提逻辑蕴涵结论的推理，归纳推理是前提既不逻辑蕴涵结论，也不逻辑蕴涵非结论的推理，这比上述把演绎说成是一般到特殊，归纳是特殊到一般的传统论法更接近归纳逻辑是有区别的，后者是以归纳推理作为研究对象，他把归纳推理分为五种：(1)直接推理；(2)预见性推理；(3)类比推理；(4)逆推理；(5)全称推理，并作了系统的研究。卡尔纳普的理论对数学中的逻辑思维方法与方法论起着重大影响。学习与研究卡尔纳普的现代归纳逻辑理论对数学工作者来说是一项有意义的工作。第二十七页，共四十页，2022年，8月28日演绎推理三、教学要采用“归纳与演绎交互为用的原则”徐利治教授指出：“为了培育既有创造发明能力，又有逻辑论证能力的数学师资和学生，应该在中学和大专院校的数学教材中，采用“归纳与演绎交互为用的原则”，按照这条原则，不仅应该教学生学会运用科学归纳法试着去猜结论、猜条件、猜定理、猜证法，而且还要让他们学会从探索性演绎法过渡到纯形式演绎法，能够把预见性的合理命题或定理的证明一丝不苟地建立在逻辑演绎基础上。”有时不是先用不完全归纳法再演绎，而是先演绎推证，获得结论之后再分类归纳。

例2在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，若它把正方形分成面积相等的两部分，求证这条曲线的长度不小于1。第二十八页，共四十页，2022年，8月28日演绎推理第二十九页，共四十页，2022年，8月28日演绎推理第三十页，共四十页，2022年，8月28日§4分析与综合数学中还有一种经常用到的逻辑方法，这就是分析与综合。它们同归纳、演绎、类比等方法不是相互平行完全独立的，而是互相渗透与交叉的。一、分析法分析法是抽象思维的基本方法之一。是人们用来揭示事物本质、了解各事物之间及事物各部分之间内在联系的重要的思维方法。什么是分析法呢？从方法论的角度讲，就是把研究对象分解为它的各个组成部分、方面、因素、层次，然后分别加以研究，从而认识事物的基础或本质的一种思维方法。这是方法论中的分析法，也是数学思想方法中的分析法。第三十一页，共四十页，2022年，8月28日分析与综合

1．元过程分析法元过程分析法从对事物部分的研究，直接去揭示整体规律的思维方法。例如从某种物理过程或几何形体中抽取任何一小部分进行研究，通过分析小单元的局部中的关系和变化规律，建立整个物理过程或几何形体的数量关系，然后综合之，计算出整体的量。我们以微积分中的微元法为例列表说明。第三十二页，共四十页，2022年，8月28日分析与综合2．追溯型分析法这种分析法，其思路是把所研究的对象看成是一个整体，并假设该事物是存在的(或成立的)，进一步分析其组成的各个部分成立的充分条件。当这些条件找到了(或成立时)，显然这些条件就是原事物(或原命题)成立的充分条件。这就是通常所说的“执果索因”的推理方法。

例1若x、y、z为互不相等的正数，求证

第三十三页，共四十页，2022年，8月28日分析与综合3．构造型分析法这种分析法，其思路是把所研究对象中的成立的部分和不明确的部分都看成是成立的，这样，整个事物也就随之被看做是成立(这就是构造)，然后进行探讨、推理，找出不明确部分成立的必要条件，即是整体事物成立的必要条件，也就是通常所说的原命题成立的必要条件。例2已知A、B为锐角三角形之二内角，求证tgA·tgB＞1。

证明分析锐角△ABC，就我们所研究事物的整体，其边、角和由它所涉及的有关线段、比值均可看成是这个事物的各组成部分，其中，A、B、C为锐角，即该事物中成立的部分。考虑到tgA·tgB，可作CD⊥AB，则应有即CD2＞AD·BD。我们希望能在CD所在直线上找一点E，使得ED2＝AD·BD，且有CD＞ED。假设这个不明确的部分是成立的，则E点应在CD内。通过已有的知识和C是锐角，我们很快知道E点即是以AB为直径的半圆与CD的交点，且落在CD内，即原命题是成立的。第三十四页，共四十页，2022年，8月28日分析与综合4．前进型分析法这种分析法，其思路是从整体事物中已经成立的某一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩及到其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的必要条件，也就是原命题成立的必要条件。

例3设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这样的数列最多能包含多少项。

解：从已经明确的部分出发，即∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0，∴a8+a9+…+a11＞0。顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。但∵a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因而a11+a12+a13＞0，但因为a11+a12+…+a17＜0，∴a14+…+a17＜0。另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。第三十五页，共四十页，2022年，8月28日分析与综合5．混合型分析法这种分析法，其思路是从命题的充分条件出发，用前进型分析法进行到中途，又从命题的必要条件出发，用追溯型分析法追溯到中途，直到两者追到同一中间结果，接近分析全过程。这种