苏教版选择性必修第一册3.1.1椭圆的标准方程课时作业

【精编】椭圆的标准方程课时练习一．填空题1．在平面直角坐标系中，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，且是等腰直角三角形，且，则椭圆的离心率为_________.2．已知椭圆：的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且的面积等于4，则的取值范围为________.3．已知椭圆的左？右焦点分别为，直线与椭圆C相交于点A，B.给出下列三个命题：①存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；②存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；③存在m，使的周长最大.其中，所有真命题的序号为_________.4．已知圆过椭圆：的焦点与短轴端点，则椭圆的标准方程为______.5．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．6．焦点在x轴上的椭圆过点，焦距为2，则椭圆的离心率为_______．7．设椭圆右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，焦距为，，且，则椭圆的方程为___________.8．设以原点为圆心的圆与轴交两点，如果以为焦点的椭圆与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是__________.9．已知椭圆的左．右焦点分别为，，为第二象限内椭圆上的一点，连接交轴于点，若，，其中为坐标原点，则该椭圆的离心率为______．10．通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点(如图所示)，如图是底面边长为2？高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________.11．已知椭圆的右顶点和上顶点分别为A．B，点P在椭圆上，AP交y轴于点C，BP交x轴于点D，若，则该椭圆的离心率为________.12．已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上的一点，且，则的面积是________．13．若实数x，y满足方程，则的取值范围为___________．14．已知椭圆的左．右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.15．已知椭圆C的离心率为，短半轴长为，则椭圆C的焦距为________．

参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：设，由题意结合椭圆性质可得，，由等腰直角三角形性质可得，再由直角三角形性质可得，最后利用即可得解.详解：如图所示，设，由椭圆定义可得，是等腰直角三角形，且，，，，，，，在中，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.2．【答案】【解析】分析：设，由得到在圆上，根据题意可得，根据的面积等于，得到点纵坐标，将圆与椭圆联立，表示出点纵坐标，从而得到的值，结合，得到的范围，从而求得的范围.详解：设，，，因为椭圆上存在一点，使得，所以，即，可得，因为的面积等于，所以，即，椭圆与圆联立，得，所以，即，因为，，所以，即，所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.3．【答案】①③【解析】分析：首先根据题意得到，，，，设，.对①，分类讨论，，和，以及，即可判断①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，，利用，解方程即可判断②为假命题，对③，利用椭圆的定义即可判断③为真命题.详解：由题知：，，，，设，.对①，若，则，此时.，，则，所以，满足为等腰直角三角形.若，则，此时，，不满足等腰三角形.若，则，此时，，不满足等腰三角形.所以存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形，故①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，，满足等腰三角形.当时，根据椭圆的对称性可知：直线的倾斜角为，，即.又因为，所以，解得或，都在内，故存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形为假命题.对③，的周长为，又因为，，所以，即的周长为，又因为，当且仅当时取等号，所以，即的周长为.当且仅当时，的周长最大.故③为真命题.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义，解决本题①的关键为分类讨论，，和，以及，②的关键为代入椭圆的对称性，③的关键为椭圆的定义，属于中档题.4．【答案】【解析】分析：由题意求得，再由，即可求得椭圆的标准方程，得到答案．详解：由题意，圆过椭圆：的焦点与短轴端点，可得，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及是解答的关键，着重考查了计算能力．5．【答案】4【解析】分析：由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.详解：由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，可得，解得，所以椭圆的长轴长为4.故答案为：.6．【答案】【解析】分析：由条件焦点在x轴上的椭圆过点,则，又焦距为2,则，从而可得答案.详解：由条件设椭圆的标准方程为由椭圆过点,则，又焦距为2,则所以椭圆的离心率为故答案为：7．【答案】【解析】分析：由题设条件结合椭圆定义及对称性求出椭圆C在点P或Q处的两条焦半径，再由直角三角形建立方程求解而得.详解：设椭圆的左焦点为，则由椭圆的对称性可知，，又，解得，由，得，由勾股定理可得，即，解得，而，则，因此，椭圆的标准方程为.答案为：8．【答案】【解析】分析：求得椭圆上任意一点到圆心的距离，可得，从而得解.详解：设椭圆上任意一点为，则，则点到圆心的距离为：，由，得根据题意可得，所以，解得.故答案为：.9．【答案】【解析】分析：由题意可得，则，因为，，化简即可得出离心率．详解：因为，所以，由题意可得，则，因为，所以，所以.因为，所以，，所以，可得，解得．故答案为：10．【答案】【解析】分析：作出光源投影后的图形，在三角形中分别解得椭圆参数a，c，从而求得离心率.详解：从P作于M点，在平面内作球的切线，交平面于N点，则在平面内形成的图形如图所示：底面边长为2？高为3的正四棱柱，实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，则，，故，，则，根据题目条件知，是椭圆焦点，MN是长轴，即，，则，离心率故答案为：11．【答案】【解析】分析：设，写出直线．的直线方程，分别求出，，进而表示出．，由化简可得，即可求出离心率.详解：设，则：，令，，：，令，，，，，因为，所以，即，所以.故答案为：12．【答案】【解析】分析：根据椭圆的定义，得到的值，再由，在中，用余弦定理，求出，根据三角形面积公式，即可得出结果.详解：根据椭圆定义，可得，且椭圆的焦距为，又，在中，由余弦定理，可得，所以，即，所以，因此的面积是.故答案为：.13．【答案】【解析】分析：由题可知，可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，设其椭圆的下焦点为，再由椭圆定义转化为求解的范围.详解：可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，即，设其椭圆的下焦点为，又由椭圆定义得，所以，又，所以，故.故答案为：【点睛】关键点睛：本题解决的关键是能够将求解转化为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和的问题.14．【答案】【解析】分析：运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．详解：解：设的内切圆与相切于D，E，F，