北师大版九年级数学上中考正方形新题赏析

434434中正形题析正方形是一种特殊的平行四边形，更是一种特殊的矩形和特殊的菱形.所以处理开放型问题相对而言是比较复杂的近年来中考又不断加大有关正方形问题的创新力度所以求解时一定要充分运用所学知识抓住有关正方形问题的本质特征.了方便同学们学习，现以中考试题为例说明如下：一、正形的面积问例1（临市）如图1，正方形硬纸片ABCD边长是4，点E、F别是AB、的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A.2分析

要求图中阴影部分的面积于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.解

根据题意“小别墅”图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是，所以阴影部分的面积应等于4.故应选.说明

本题的图形在操作过程中虽然形状发生了改变但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解图二、直三角形拼正形问题例2（烟市）年月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形大正方形的面积是13小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b则a

3

＋b

的值为（）A.35D.97分析

要求a＋的值由已知条件利用勾股定理结合方程的知识可以分别求出ab.1

22224222242解

因为直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，所以大正方形的边长由勾股定理，得＝+b，小正方形的边长是a－b，又因为大正方形的面积是，小正方形的面积是，即c

＝a

2

+b

2

＝13(a－b)＝，13所以ab6，消去b，得a－13a＝－36，配方，得(a－)＝.2即a＝3或2，所以b＝2或3，又较长直角边为，较短直角边为，所以a＝3b＝2，所以a

3

＋b

4

＝43.应选.说明

求解时一定要理解并图的意义，从中找出已知量与未知量之间的关系.三、用方形与矩形正方形题例3（烟市）如图3，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片张，边长分别为ab矩形卡片6张，边长为b正方形卡片张用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿分析

16卡片，拼成一个正方形，而边长为的正方形卡片张，边长分别为ab矩形卡片6张，边长为b正方形卡片张，由此可知正方形的每边上应有4，而且这个正方形的边长应为a+3b.解

因为边长为a的正方形卡片1张，边长分别为，的矩形卡片6张，边长为b正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个方形，所以正方形的每边上应有4，而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图4是其中的一种说明

这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.图图四、正形的操作问例4（旅口区）如图5，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞最后将正方形纸片展开得到的图案是2

如图6示的（）图分析

ABCD图要想知道展开后得到的图案是什么可以依据题意结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.解

因为将正方形沿对角线折叠一次后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞就是说这个正方形上共有6个小圆其中分成组关于正方形的对角线即折痕对称，1对圆在两个直角的顶点上对圆位于对角线即折痕的两侧.应选.说明

这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.五、利正方形探索律问题例5（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数渐加1的规律拼成如图7列图案：第

第

图

第（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；（2）第n个图案中有白色纸片＿＿＿张.分析

要解答这两个问题，只要能求出第n图案中有白色纸片的张数即可，由于第1图案中有白色纸片1张，第个图案中有白色纸片张，第3个图案中有白色纸片张，…，由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张，从而求解.解

因为第1图案中有白色纸片1张第个图案中有白色纸片张第3

3图案中有白色纸片张，…，所以可以得到第n个图案中