第二节函数的求导法则

第二节函数的求导法则要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维活动.-------F.莱布尼茨求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题.但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的.能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径.牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作.特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献.今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.分布图示★引言 ★和、差、积、商的求导法则★例1-2 ★例3-4 ★例5★例6★应用举例——作为变化率的导数★反函数的导数 ★例10 ★例11★复合函数的求导法则 ★初等函数的求导法则★例12 ★例13 ★例14★例15★例16 ★例17 ★例18★例19★例20★例21 ★例22 ★例23★例24－25 ★例26★双曲函数与反双曲函数的导数 ★例27★内容小结 ★课堂练习★习题2-2 内容要点一、导数的四则运算法则二、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.三、复合函数的求导法则定理3若函数在点x处可导,而在点处可导,则复合函数在点x处可导,且其导数为或注:复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.四、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则五、双曲函数与反双曲函数的导数例题选讲导数的四则运算法则的应用例1(E01)求的导数.解例2(E02)求的导数.解例3(E03)求的导数;解即同理可得例4(E04)求的导数;解同理可得例5求的导数.解因为所以注:此题如果利用后面讲到的复合函数的求导法则则计算过程更为简单.那时，不必按本题那样拆开为两项来计算.例6(E04)人体对一定剂量药物的反应有时可用方程：来刻画，其中，C为一正常数，M表示血液中吸收的药物量。衡量反应R可以有不同的方式：若反应R是用血压的变化来衡量，单位是毫米水银柱；若反应R用温度的变化衡量，则单位是摄氏度。解反函数的导数例7(E05)（瞬时变化率）圆面积A和其直径D的关系方程为A=,当D=10m时，面积关于直径的变化是多大？解面积关于直径的变化率是，当D=10m时，面积的变化率是（）即当直径由D由10米增加1米变为11米后圆面积约增加5平方米例8(E06)（质点的垂直运动模型）一质点以每秒50米的发射速度垂直射向空中，秒后达到的高度为（米）（见图），假设在此运动过程中重力为唯一的作用力，试求(1)该质点能达到的最大高度？(2)该质点离地面120米时的速度是多少？(3)何时质点重新落回地面？解依题设及§1.1引例1的讨论,易知时刻t的速度为(米/秒).当秒时，变为0，此时质点达到最大高度(米).令,解得或6，故(米/秒)或(米/秒).(3)令,解得(秒),即质点10秒后重新落回地面.例9(E07)(经济学中的导数)某产品在生产8到20件的情况下，其生产件的成本与销售件的收入分别为=(元)与=(元)，某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少?每天多销售一件产品面获得的收入为多少?解在每天生产10件的基础上再多生产一件的成本大约为:（）,(元),即多生产一件的附加成本为272元.边际收入为（）=3，=250(元)，即多销售一件产品而增加的收入为250元.例10(E08)求函数的导数.解在内单调、可导,且在对应区间内有同理可得例11(E09)求函数的导数.解在内单调、可导，且在对应区间内有特别地复合函数的求导法则例12(E10)求函数的导数.解设则例13(E11)求函数的导数.解设则注：复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时，要从外层,逐层推进.先求对大括号内的变量的导数再求对中括号内的变量的导数最后求对小括号内的变量的导数.在这里，首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;其次,在逐层求导时,不要遗漏,也不要重复.熟练之后可以不设中间变量的字母,心中记住,一气呵成.例14(E13)求函数的导数.解例15求函数的导数.解一设中间变量,令于是解二不设中间变量.例16(E12)求函数的导数.解例17求函数的导数.解例18求函数的导数.解例19求导数解在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为这时例20求导数解例21求导数解例22设求解当时,当时,当时,即所以例23(E14)求函数的导数.解求分段函数的导数时，在每一段内的导数可按一般求导法则求之，但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之.当时,当时,当时,由知,所以例24已知可导，求函数的导数.解注:求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义，此例中,表示对求导，而表示对求导.例25求导数且可导.解例26求导数:且可导.解双曲函数与反双曲函数的导数例27(E15)求函数的导数.解课堂练习1.求下列函数的导数: