高二级文化科学科竞赛初赛试卷理科

高二级文化科学科竞赛初赛试卷理科数学一、选择题：本题共6小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={}，则A∩B等于()A.{0,1,2,3} B.[1,3] C.{1,2,3}D.[0,3]2.已知向量，，则下列向量中与垂直的是（）A．B．C．D．3.已知变量，满足，则的最大值是().A.4 B.6C.7D.84.如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．6.是等差数列的前项和，，则时的最大值是（）A.2022B.2022 C.4034D.4035二、填空题：本题共2小题，每小题5分。7.已知复数满足，则．8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为__________．三、解答题：本题共3小题，总分60。9.（本小题满分20分）在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边．（本小题满分20分）如图3，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC和△PAC都是正三角形，，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D.（Ⅰ）证明：平面PEF⊥平面PED；（Ⅱ）求二面角的正弦值．11.（本小题满分20分）已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于两点，连接，求的面积的最大值。高二级文化科学科竞赛初赛数学答案（理科）一、选择题：本题共6小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.D3.D4.A5.B6.C二、填空题：本题共2小题，每小题5分。7.18.三、解答题：本题共3小题，总分60。9．（本小题满分20分）（1）解：∴由正弦定理得：---3分-------5分-----7分又........................8分∴--------10分解：，即：--------15分又由余弦定理得：--11分故：-------20分【方法2】，即：..............①--------15分又.............②由①②解得：..................17分由余弦定理得：--18分故：---------20分10．（本小题满分20分）解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF//AB，----------------------------2分在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC，----------------------------------------------------------------------------------------4分∴PE⊥AB，又PD⊥AB，PE∩PD=P，∴AB⊥平面PED，---------------------------------6分又EF//AB，∴EF⊥平面PED，又平面PEF，∴平面PEF⊥平面PED.------------------------------------------------------8分（Ⅱ）解法1：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面PAC，----------------------------------------------------------------------------------------10分以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，则,,--------14分,,设为平面PAB的一个法向量，则由得，令，得，即------------------------------18分设二面角的大小为，则,，即二面角的正弦值为.---------------------------------------------------------20分【解法2：由（Ⅰ）知EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，以点E为坐标原点，ED所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=,,,又,∴,,则,,-------------------------------------10分∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面PAE，故为平面PAE的法向量，----------------------------------14分设为平面PAD的一个法向量，则由得，令得，故--------------------------------18分设二面角的大小为，则,，即二面角的正弦值为.---------------------------------------------------------20分11.（本小题满分20分）解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，…4分故，