2022年新课标人教版高中数学必修一教案（全册）

2022年新课标人教版高中数学必修一全套

优秀教案(全册)

备课资料

［备选例题］

【例1】判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示：

(1)被3除余1的自然数组成的集合；

(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合；

(4)设a、b是非零实数，求丫=&+3+半的所有值组成的集合.

思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类用列举法与描

述法表示集合时,一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什

么.

解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为

3n+l(n£N)用描述法表示为{x|x=3n+l,n£N}.

(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7/1,13,17,19.则此集合中的元素

有7个，用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.

⑶满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来

表示.通常用有序数对(x,y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示

为{(x,y)|y=x2+2x-10}.

(4)当ab<0时,y=2+2+处=-1;当ab>0时，则a>0,b>0或a<0,b<0.

1«1闻\ah\

若a>0,b>0,则有y=帚言篇=3；若a<0,b<0,则有

.•.y=2+2+处的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列

\a\\b\\ab\

举法表示为{-1,3}.

【例2］定义A-B={x|x£A,x任B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列

举法表示集合N-M.

分析:应用集合A-B={x|x£A,xeB}与集合A、B的关系来解决.依据定

义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集

合.观察集合M、N,它们的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3还剩

下元素6,则N-M={6}.

答案：{6}.

（设计者：张新军）

设计方案（二）

教学过程

导入新课

思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地，一个含有未知数

的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的

解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么，集合的含义是什么呢？

这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出课

题.

思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达

数学内容.这个词听起来比较陌生，其实在初中我们已经有所接触，比

如自然数集、有理数集，一元一次不等式x-3>5的解集，这些都是集合.

还有，我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距

离等于定长的点的集合.接着点出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例，这5个实例的共同特征

是什么？

(1)1-20以内的所有质数；

(2)我国古代的四大发明；

(3)所有的安理会常任理事国；

(4)所有的正方形；

(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.

活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的

讨论结果，在此基础上，师生共同概括出5个实例的特征，并给出集合的

含义.

引导过程：

①一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集)，集合中的每个

对象叫做这个集合的元素.

②集合常用大写字母A,B,C,D,…表示，元素常用小写字母a,b,c,d,…表

示.

③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.

④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合，那么这个元

素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合，要么不属

于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的

元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.

⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等

的.

⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用和V表示.

元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么a£A,要么

aeA.

⑦在初中我们学过了一些数的集合，国际标准化组织(ISO)制定了常用

数集的记法：

自然数集(包含零):N,正整数集:N(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数

集:R.

因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局

面.

提出问题

(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.

⑵你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解

集？

活动：学生回答后，教师指出：

①在数学中，为书写规范，我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把

元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示

这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为

A={0,l,2,3,4).

②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写

成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数

集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.

应用示例

思路1

1.课本第3页例1.

思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素，再写在大括号内.

点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,

并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示，其特点是非常显明地表

示出了集合中的元素，是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用

字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括

号”{}”内,并写成A={……}的形式.

变式训练

请试一试用列举法表示下列集合：

(l)A={x《N|且--£N};

9-x

(2)B={y|y=-x2+6,x£N,yGN);

(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x£N,y£N}.

分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后

再写在大括号内.

⑴集合A中元素x满足均为自然数；

9-x

(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合；

(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.

答案：(1)A={0,6,8)；

(2)B={2,5,6};

(3)C={(0,6),(l,5),(2,2)).

2.课本第4页例2.

思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表

示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同

特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号"{}”内.

点评：本题主要考查集合的表示方法，以及应用知识解决问题的能力;

描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符

号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表

符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元

素所具有的共同特征.并写成A={...|...}的形式;描述法适合表示有无

数个元素的集合，当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.

变式训练

课本Ps练习2.

思路2

1.下列所给对象不能构成集合的是()

A.一个平面内的所有点

B.所有大于零的正数

C.某校高一(4)班的高个子学生

D.某一天到商场买过货物的顾客

思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义，可知组成集

合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在

这个平面内，要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中

由于大于零的正数很明确，因此B也能组成一个集合;C中由于“高个

子''没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子,

故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商

场，以及是否买过货物是非常明确的，因此它也能组成一个集合.

答案：C

变式训练

下列各组对象中不能构成集合的是()

A.高一(1)班全体女生

B.高一(1)班全体学生家长

C.高一(1)班开设的所有课程

D.高一(1)班身高较高的男同学

分析:判断所给对象能否构成集合的问题，只需根据构成集合的条件,

即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确

定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量

学生身高较高的标准，故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”

改为“身高175cm以上的男同学”，则能构成集合.

答案：D

2.用另一种形式表示下列集合：

(1){绝对值不大于3的整数};

(2){所有被3整除的数};

(3){x|x=|x|,x£Z且x<5};

(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,xGZ};

(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,xeZ,y£Z}.

思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么，二要

明确元素满足的条件是什么.

答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x区3,x£Z},也可

表示为{32-1。1,2,3}.

(2){x|x=3n,nGZ}.

(3),."x=|x|,.*.x>0.

又且x<5,

{x|x=|x|,x£Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.

(4){-2}.

(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)).

变式训练

用适当的形式表示下列集合：

(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；

(2)所有被3整除的数组成的集合；

(3)方程(3X-5)(X+2)(X2+3)=O实数解组成的集合；

⑷一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.

分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集

宜采用描述法.

答案：(1){x||x|W3,x£Z}或{-3,2-1,04,2,3);

(2){x|x=3n,nGZJ;

⑶{泊；

(4){(x,y)|y=x+6}.

3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a£R},若A中至少有一个元素，求a的取

值范围.

思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,a£R的解,要看这个方程左边的x2

的系数,a=0和ar。方程的根的情况是不一样的，则集合A的元素也不

相同，所以首先要分类讨论.

解：当a=0时，原方程为-3x+2=0=x=|•，符合题意；

当a，0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程，则卜解得a#)且

9-8«>0.

综上所得a的取值范围是{a|ag羡).

4.用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组fx-3y=14,的解集；

3x+2y=8

(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；

(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合；

(4)所有正方形；

(5)直角坐标平面上在直线x=l和x=-l的两侧的点所组成的集合.

分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较

明了的表示方法.由于方程组［2x.3丫="的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列

3x+2y=8

举法;(2)中尽管是有限集，但由于它的元素个数较多，所以用列举法表

示是不明智的，故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法

为好.

解：(1){(4,-2)};

(2){x|x=3k+2,k£N且x<1000};

(3){(x,y)|x<0且y>0};

(4){正方形};

(5){(x,y)|x<-l或x>1}.

知能训练

课本Ps练习1、2.

拓展提升

1.已知A={x£R|x=l^+电+回+四+四+也+也,abc和}，用列

abcabacheabc

举法表示集合A.

分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号，需分类讨论.

解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况

讨论：

(l)a、b、c全为正时,x=7;

(2)a、b^c两正一负时,x=-l;

(3)a、b、c一正两负时,x=-l;

(4)a、b、c全为负时,x=-l.

.,.A={7,-1}.

注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况)，解题时应

考虑全面.

2.已知集合C={x|x=a+b,aGA,bB}.

⑴若A={0,l,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;

⑵若A={0,l,2,3,4,...,2005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C

中所有元素之和S;

(3)联系高斯求S=l+2+3+4+…+99+100的方法，试求出(2)中的S.

思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.

答案：⑴列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得

S=6+7+8+9+10+11+12=63.

(2)列举法表示集合C={5,6,7,...,2013,2014},由此可得S=5+6+7+…+2

013+2014.

⑶高斯求S=l+2+3+4+...+99+100时，利用

1+100=2+99=3+98=..=50+51=101,进而得

S=1+2+3+4+...+99+100=101x50=5050.

本题(2)中S=5+6+7+…+2013+2014=2019x1005=2029095.

课堂小结

在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：

(1)本节课我们学习过哪些知识内容？

(2)你认为学习集合有什么意义？

(3)选择集合的表示法时应注意些什么?

设计感想

本节课是集合的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法,

通过创设情境，引导探究，师生交流,最终形成概念，获得方法.

作业

1.课本Pn习题1.1A组4.

2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的

关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.

(设计者：韩双影)

模块纵览

课标要求

1.知识与技能

认识和理解集合、映射、函数、幕函数、指数函数、对数函数等概念,

认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的

能力.

2.过程与方法

通过背景的给出，通过经历、体验和实践探索过程的展现，通过数学思

想方法的渗透，让学生体会过程的重要，并在过程中学习知识,同时领

会一定的数学思想和方法.

3.情感、态度与价值观

教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学，使学生在学习和运

用知识的过程中提高对数学学习的兴趣，并在初中函数的学习基础上,

对数学有更深刻的感受，提高说理、批判和质疑精神，形成锲而不舍追

求真理的科学态度和习惯，树立良好的情感态度和价值观.

内容概述

本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数（I）;第三

章函数的应用.

本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合

的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概

念及其表示，并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最

值、奇偶性，这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个

基本初等函数，继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、

辕函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数

的价值得到体现，也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用.

概括地说,本模块的核心内容是“函数函数是描述现实世界最重要、

最常用的数学模型，是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的

准备，是未来公民的必需，因此，整个模块以函数作为中心，以函数思想

作为指导思想.

本模块无论是数还是形都用函数观点来研究，研究它们的变化及其规

律.对方程的认识和研究，也是从函数出发，把它与两个函数相结合，把

它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认

识，方程则被看成是包含于函数的局部.

教学建议

教师，对数学应该有自己深入的想法，只有教师深入了才能有教学的浅

出;教师，对于教学也应该有自己的想法，唯其有自己的想法，才能发挥

自己的特长,教出具有独到想法的学生.

1.抓住核心，重点突破

由于函数是本模块的重点和核心，因此教师要重视函数的教学,向学生

贯彻函数的数学思想，逐步让学生掌握学会函数，更会用函数的思想去

解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面

帮助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系生活常识，尝试列举

具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函

数的含义，②函数的三种表示法的联系、区别与适用性，③分段函数的

意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解，在

求函数定义域、值域时，要控制难度.

2.用课本教，而非教课本

《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要（试行）》的

指导下编写的，是数学学科教育目标的具体化，体现数学学科对学生最

起码的要求，是编制高考大纲的依据，是数学教学和培养学生数学素质

的主要依据，具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双

基”在内的三维发展目标:知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值

观.在这种教学过程中，课本仅仅是一种学习工具，是课程标准的具体

化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体，并不要求

学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化，高考数学

只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处

理新课标课本时，首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要

求.就课本来说，版本不同，对课程标准的理解就有不同,其处理的方式

也就不同，因此，在教学中，要深入钻研课程标准、课本、学生，找准三者

的连接点.这样在新课程改革的形势下，课本仅仅是教学的素材，在教

学过程中,以课本为依托，把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性

地使用、改造课本,最终突破课本，即变“教课本”为“用课本教”，树立“用

课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生,不要把课本看得过于神圣.

3.把学生当成学习的主人

独立自主地思考是学习数学的需要，但是合作交流更不能少.在课堂上,

教师尽量不要大包大揽，以先知先觉出现，把结论告诉学生，而是推出

判断，引导学生独立思考，并在此基础上进行合作和交流，努力实现师

生的互动，这是课标的要求也是时代发展的必然.

4.强调应用，突出提出、分析和解决问题的能力

数学是美的,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美，有两

个方面:一是其中的思维之美，内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的

形式，莫不充满着思维之美;另一方面则是它的作用，它在方方面面的

应用.新课标要求强化数学应用，在应用中，应该特别重视实践能力和

创造能力的培养;在教学中，要重视动手和一题多解的能力.

第一章集合与函数概念

本章教材分析

通过本章的学习，使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对

象，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，体会用集合

语言表达数学内容的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述

数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习,

使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还会用集合与对应

的语言刻画函数,为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,

本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调

结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而

发展学生对变量数学的认识，培养学生的抽象概括能力，增强学生应用

数学的意识.

课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的

实例，强调从实例出发，让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基

础，再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念

的背景教学，这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概

念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表

达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,

用图象表示函数，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、

习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题，这一

观点，一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了

分类讨论思想，让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛

运用，这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之

一,课本重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰

富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分

发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使

学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射,

体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续

性.

在教学中，要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训

练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域

的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这

方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电

脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中

的重要作用.为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性，教

师应根据学生实际情况,合理地取舍.

本章教学时间约需13课时,具体分配如下（仅供参考）:

1.1.1集合的含义与表示约1课时

1.1.2集合间的基本关系约1课时

1.1.3集合的基本运算约2课时

1.2.1函数的概念约2课时

1.2.1函数的表示法约3课时

1.3.1单调性与最大约2课时

L3.2奇偶性约1课时

本章复习约1课时

1.1集合

1.1.1集合的含义与表示

整体设计

教学分析

集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识

与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.课

本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发，结合实例

给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括

等.

值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引

导学生阅读课本,然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟

悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学

生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题，让学生读后回答问

题，再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提

高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时，根据需要，及时

提示学生运用集合语言进行表述.

三维目标

1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集

合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树

立用集合语言表示数学内容的意识.

2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符

号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力,

培养学生的应用意识.

重点难点

教学重点:集合的基本概念与表示方法.

教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.

课时安排

1课时

设计方案（一）

教学过程

导入新课

思路1.军训前学校通知：8月15日8点，高一年级学生到操场集合进行

军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定

（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们

将学习一个新的概念——集合.

思路2.首先教师提出问题:在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出

一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与

此同时，教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么，集合的含义

是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.

推进新课

新知探究

提出问题

①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成

一个集合啊？”

②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集

合啊？

③其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可

以构成一个集合等等.那么，大家能不能再举出一些生活中的实际例子

呢?请你给出集合的含义.

④如果用A表示高一⑶班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的

一位同学,b是高一(4)班的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关

系？由此看见元素与集合之间有什么关系？

⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？

⑥世界上的高山能不能构成一个集合？

⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？

⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？

⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？

⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记

为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性

质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？

讨论结果：

①能.

②能.

③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集

合”.

④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关

系有两种:属于和不属于.

⑤能，是珠穆朗玛峰.

⑥不能.

⑦确定性.给定的集合，它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么

在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合的确定性.

⑧3个.

⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重

复出现的，这就是集合的互异性.

⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性，即集合中的元素

是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同，那么这两

个集合是相等的.

提出问题

阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的

记号.

活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果.学生写出常用数集

的记号后，教师强调:通常情况下，大写的英文字母N、Z、Q、R不能

再表示其他的集合，这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电

话号码一样.以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握.

讨论结果：

常见数集的专用符号.

N:非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）；

N*或N+:正整数集（非负整数集N内排除0的集合）；

Z:整数集（全体整数的集合）；

Q：有理数集（全体有理数的集合）；

R：实数集（全体实数的集合）.

提出问题

①前面所说的集合是如何表示的？

②阅读课本中的相关内容，并思考:除字母表示法和自然语言之外，还

能用什么方法表示集合？

③集合共有几种表示法？

活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自

然语言来表示.

②教师可以举例帮助引导：

例如,24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号

“{}”内，即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，这种表示集合的方法是列

举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多，元素又呈现

出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如:从1

到100的所有整数组成的集合：{1,2,3,…,100},自然数集

N:{0,l,2,3,4,...,n,...};区分a与{a}:{a}表示一个集合，该集合只有一个

元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素

的前后次序;相同的元素不能出现两次.

又例如，不等式x-3>2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列

举法表示.可以表示为{x£R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法

是描述法.

③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.

讨论结果：

①方法一（字母表示法）:大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、

Q,所有的正方形组成的集合记为A等等；

方法二（自然语言）:用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”

组成的集合等等.

②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来

表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法；

描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或

变化）范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共

同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

注:在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线

和元素代表符号，例如:所有直角三角形的集合可以表示为（x|x是直角

三角形｝，也可以写成｛直角三角形｝.

③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描

述法.

应用示例

思路1

1.下列各组对象不能组成集合的是（）

A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数D.函数y=1图象上所有的点

X

活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生此类选择题

要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素

的确定性.

在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中，难题没有

标准，不符合集合元素的确定性，不能构成集合.

答案：B

变式训练

1.下列条件能形成集合的是()

A.充分小的负数全体B.爱好足球的人

C.中国的富翁D.某公司的全体员工

答案：D

2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”，理1

在数集｛2x,xZx｝中，实数x的取值范围是.

分析:实数x的取值满足集合元素的互异性，则2x=x2-x,解得x#0且

xK3,.•.实数x的取值范围是｛x[x<0或0<x<3或x>3).

答案：｛x|x<0或0<x<3或x>3｝

点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明

确时就能构成集合，若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.

2.用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；

(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.

活动：学生先思考或讨论列举法的形式，展示解答过程.当学生出现错

误时，教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素，再把

元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给

出的.

提示学生注意以下方面：

(1)自然数中包含零；

(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法，方程x2=x的根是x=O,x=l;

(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质

数是2、3、5、7、11、13、17、19.

解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么

A={0/23,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么

A={0,l}.

(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么

C={2,3,5,7,11,13,17,19).

点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用

集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数

学内容.

如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示,

其特点是非常显明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法；

列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)

把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.

变式训练

用列举法表示下列集合：

(1)所有绝对值等于8的数的集合A;

(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.

答案：(l)A={-8,8};

(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,123,4,5,6,7).

3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程X2-2=0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤，思考描述法的形式，再找

学生到黑板上书写.当学生出现错误时，教师指导学生书写过程.用描

述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20

的所有整数用数学符号可以表示为10<x<20,x£Z.(重点引导用描述

法表示集合)

用描述法表示集合时，用一个小写英文字母表示集合中的元素，作为集

合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用数

学符号来表达，然后写在大括号“{}”内，在大括号内先写上集合中元素

的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集

合中元素所具有的共同特征.

在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是

满足方程x2-2=0.

在⑵的条件中没有元素代表符号，故要先设出，用一个小写英文字母

表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等

式表示)，二是整数(用元素与集合的关系符号“e”来表示).

解：⑴设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此，用描述法表

示为

A={XGR|X2-2=0}.

方程X2-2=0的两个实数根为后痣,因此用列举法表示为

A={V2,—V2}.

(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x£Z,且10<x<20,因此,

用描述法表示为

B={xEZ|10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列举法表

示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19).

描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符

号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表

符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元

素所具有的共同特征.并写成A=的形式.描述法适合表示有无

数个元素的集合.

注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法

表示.

思路2

l.(l)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系，并用符号表示.

(2)所有素质好的人能否表示为集合？

(3)A={2,2,4}表示是否准确？

(4)A=｛太平洋，大西洋｝,B=｛大西洋，太平洋｝是否表示同一集合？

活动：如果学生没有解题思路，让学生思考以下知识：

(1)元素与集合的关系及其符号表示；

(2)集合元素的性质；

(3)两个集合相同的定义.

解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(£)和不属于(右)，知3属于

集合A,即3EA,5不属于集合A,即集A.

(2)由于素质好的人标准不可量化，不符合集合元素的确定性，故A不能

表示为集合.

(3)表示不准确，不符合集合元素的互异性，应表示为A=｛2,4｝.

(4)因其元素相同,A与B表示同一集合.

变式训练

1.数集｛3,xX-2x)中，实数x满足什么条件?

解：集合元素的特征说明｛3,x,xL2x｝中元素应满足

xw3,x。3,x03,

x2-2x,即<x2*3x,也就是即满足xr-l,0,3.

3H/一2x,x~-2.x—3H0,x*—1,

2.方程ax2+5x+c=0的解集是｛｝,则a=,c=.

分析:方程ax2+5x+c=0的解集是｛)，那么|!是方程的两根,

即有23。'得1=6那么a=-6,c=j.

一1•一1=一cc=-1,

123a

答案：6-1

3.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成，其中k£R,

若A中仅有一个元素，求k的值.

解：由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0(k£R)的解，

若k=0,则x=|■，知A中有一个元素，符合题设；

若原0,则方程为一元二次方程，

当A=9-8k=0即k=2时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根，此时A中有一

8

个元素.

综上所述k=0或k=2.

8

4.2006山东高考，理1定义集合运算:AG)B={z|z=xy(x+y),x£A,y£B},

设集合A={0,l},B={2,3},则集合AOB的所有元素之和为…()

A.OB.6C.12D.18

分析:x£A,x=0或x=1.

当x=0,y£B时，总有z=0;

当x=l时，

若x=l,y=2时，有z=6;当x=l,y=3时，有z=12.

综上所得，集合AOB的所有元素之和为0+6+12=18.

答案：D

注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合，只需观察

这个元素是否在集合中即可.用符号。表示,注意这两个符号的左

边写元素，右边写集合，不能互换它们的位置，否则没有意义.

②如果有明确的标准来判断元素在集合中，那么这些元素就能构成集

合,否则不能构成集合.

③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同，如果完全

相同，那么这两个集合就相等,否则不相等.

2.用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)方程x2-9=0的解组成的集合；

(4){15以内的质数};

(5){x|-^-eZ,xeZ}.

3-x

活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元

素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.

提示学生注意：

⑵中满足条件的数按从小到大排列时，从第二个数起,每个数比前一

个数大3;

(4)中除去】和本身外没有其他的约数的正整数是质数；

(5)中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.

解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表

示为{6,9,12};

(3)方程X2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};

(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为

{2,3,5,7,11,13};

(5)满足上WZ的x有3-x=±l、±2、±3、±6,解之，得x=2、4、1、5、

3-x

0、6、-3、。故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.

变式训练

用列举法表示下列集合：

(l)x2-4的一次因式组成的集合；

(2){y|y=-x?-2x+3,x£R,yWN};

(3)方程x2+6x+9=0的解集；

(4){20以内的质数};

(5){(x,y)|x2+y2=1,x£Z,y£Z};

(6){大于。小于3的整数};

(7){xSR|x2+5x-14=0};

(8){(x,y)|xGN且l<x<4,y-2x=0};

(9){(x,y)|x+y=6,xGN,yGN).

思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注

意不重不漏，不计次序地用“,”隔开放在大括号内.

解：⑴因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};

(2)y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,gpy<4.XyGN,.*.y=0>1、2、3、4,

故{y|y=-x2-2x+3,x£R,y£N}={0,1,2,3,4};

⑶由x2+6x+9=0得XI=X2=-3,.•.方程x2+6x+9=0的解集为{-3};

(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};

(5)因x£Z,y£Z,则x=-l、0、1时,y=0、1、-1,

那么{(x,y)K+y2=1,xGZ,yGZ)={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};

(6){大于0小于3的整数)={1,2};

⑺因x2+5x-14=0的解为XI=-7,X2=2,则{x£Rk+5x-14=0}={-7,2};

⑻当xWN且l<x<4时,x=l、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6,

那么{(x,y)|x£N且l<x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};

(9){(x,y)|x+y=6,x£N,y£N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)).

点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限

个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元

素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.

3.用描述法分别表示下列集合：

(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合；

(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；

(3)不等式x-7<3的解集.

活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？

如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书，教师在其他

学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学

生：

⑴集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有

序实数对(x,y)来表示，其特征是满足y=x2;

⑵集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个

实数,集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于

6;

(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为

x<a的形式，则这些实数的特征是满足x<a.

解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x?,则

二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x?};

(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的

实数组成的集合，则

数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x£R||x|〉6};

(3)不等式x-7<3的解是x<10,则

不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.

点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有

限个并且较多或无限个的集合.

用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代

表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属

性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示，必须抓住其实质.

变式训练

用描述法表示下列集合：

⑴方程2x+y=5的解集；

(2)小于10的所有非负整数的集合；

(3)方程ax+by=0(ab声0)的解；

(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合；

(5)平面直角坐标系中第II、W象限点的集合；

⑹方程组［x+y=L的解的集合；

x-y=l

⑺{1,3,5,7,...};

(8)x轴上所有点的集合;

(9)非负偶数;

(10)能被3整除的整数.

解：(l){(x,y)|2x+y=5};

(2){x|0<x<10,xeZ};

(3){(x,y)|ax+by=0(ab^0));

(4){x||x|>3);

(5){(x,y)|xy<0);

(6){(x,y)『+y=：}；

X-y=1

(7){x|x=2k-l,keN};

(8){(x,y)|xGR,y=0};

(9){x|x=2k,kGNJ;

(10){x|x=3k,keZ).

知能训练

课本Ps练习12.

【补充练习】

1.下列对象能否组成集合：

(1)数组1、3、5、7;

(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;

⑶满足3x-2>x+3的全体实数；

(4)所有直角三角形；

(5)美国NBA的著名篮球明星；

(6)所有绝对值等于6的数；

(7)所有绝对值小于3的整数；

(8)中国男子足球队中技术很差的队员；

(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.

答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.

2.(口答)说出下面集合中的元素：

(1)｛大于3小于11的偶数｝;

(2)｛平方等于1的数｝;

(3)(15的正约数｝.

答案：⑴其元素为4,6,8,10;

⑵其元素为-1,1;

(3)其元素为1,3,5,15.

3.用符号£或把填空：

(1)1—____N,0______N,-3——N,0.5——N,V2——N;

(2)1—____Z,0______Z,-3——Z,0.5——Z,V2一—Z;

(3)1__Q,0__Q,-3__Q,0.5__Q,V2__Q;

(4)1_____R,0______R,-3——R,0.5——R,V2——R

答案：

⑴金£走先任

⑵£GGg史

⑶金eee生

⑷£eEee

4.判断正误：

(1)所有属于N的元素都属于N.)

(2)所有属于N的元素都属于Z()

(3)所有不属于N”的数都不属于Z()

(4)所有不属于Q的实数都属于R.()

⑸不属于N的数不能使方程4x=8成立.()

答案：(l)x(2)<(3)x(4)，(5)4

5.分别用列举法、描述法表示方程组?x+y=2,的解集.

2x-3y=27

解：因fx+y=2,的解为(x=3,

2x-3y=27[y=-7.

用描述法表示该集合为{(x,y)|?x+y=2"

[2x-3y=27

用列举法表示该集合为{(3,-7)}.

拓展提升

问题:集合A={x|x=a+&b,a£Z,b£Z},判断下列元素x=0、——、

V2-1

『「与集合A之间的关系.

V3-V2

活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程,将元素x化

为a+2b的形式，再判断a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突

出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时,转化为

判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.

解：由于x=a+bV2,aeZ,b£Z,

当a=b=O时,x=0.OGA.

又=后+1=1+/，

V2-1

当a=b=1时,a+bV2=1+V2,—£A.

V2-1

又」「二6+叵,

V3-V2

当a=3,b=l时,a+b&=V5+Vi,而3eZ,

]

出A.

V3—V2

1尸1广

AOGA,更A.

V2-1百-5/2

点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.

课堂小结

本节学习了：(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法

表示集合的步骤.

作业

课本PH习题1.1A组2、3、4.

设计感想

集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌

握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解，因此设计时采用

渐进式学习，而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时

注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过

解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针

对不同问题，能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言

与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的

问题，如集合常见表示法的写法，常见数集及其记法应直接给出，以避

免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引

导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教

师的奋斗目标.

备课资料

［备选例题］

［例1］下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱

形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别

是哪种图形的集合？

思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、

正方形的定义来确定.

解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A=｛四边形｝;

梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形,

故B=｛梯形｝,C=｛平行四边形｝;正方形是菱形，故E=｛正方形｝,

即A=｛四边形｝,B=｛梯形｝,C=｛平行四边形｝,D=｛菱形｝,E=｛正方形｝.

【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛,3设集合

A=｛x||xR3|x|+2=0｝,B=｛x|(a-2)x=2｝,则满足B建A的a的值共有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

分析:由已知得A=｛x||x|=l或冈=2｝=｛-2,-1,1,2｝,集合B是关于x的方程

(a-2)x=2的解集，

当B=0时，关于x的方程(a-2)x=2无解,.。2=0.

.\a=2.当BW0时，关于x的方程(a-2)x=2的解x=—GA,

a-2

.•.二一=-2或二-=-1或二一=1或二一=2.

。-2a-2a-2a-2

解得a=l或。或4或3,综上所得,a的值共有5个.

答案：D

【例312005天津高考，文1集合A={x|0<x<3且x£N}的真子集的个

数是()

A.16B.8C.7D.4

分析:A={x[0Wx<3且X£N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个.

答案：C

【例4】已知集合A={x]，xS3},B={x[(x-l)(x-a)=0},试判断集合B是不

是集合A的子集？是否存在实数a使A=B成立？

解析:先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,

可知此时应考虑a的取值是否为1,要使集合B成为集合A的子集，集

合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，