新教材人教b版选择性必修三5.3.1.2等比数列的性质作业

等比数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等比数列{an}中,a3a13=16,则a8的值等于 B.8 C.±4 【解析】a82=a3a13=16,所以a82.已知等比数列an满足a5+a8=2,a6·a7=-8,则q312 12或-2【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5·a8=a6·a7=-8,又因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,所以q3=a8a53.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= () B.24 【解析】an则a1+a2+a3=a11+qa2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q1+q因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q51+q+q4.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,那么a3·a6·a9·…·a30等于 ()10 B.220 16 【解析】选B.设A=a1a4a7…a28,B=a2a5C=a3a6a9…公比为q10=210,由条件得A·B·C=230,所以B=210,所以C=B·210=220.5.在等比数列an中,a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,则a8等于 B.-1 C.±1 【解析】4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4+a12=-3,a4a12=1,所以a4<0,a12又an是等比数列,所以a82=a4a12=1,而等比数列6.某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加入本金,以计算下期的利息)计算,参考数据8≈9≈10≈11≈万元 万元万元 万元【解析】选C.由题意知,该家庭2021年1月1日本金加收益和为10·(1+5%)=10×1.05,2022年1月1日本金加收益和为10×2,2023年1月1日本金加收益和为10×3……2030年1月1日本金加收益和为10×10≈10×2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.二、填空题(每小题5分,共10分)7.等比数列{an}中,a1=3,q=2,则a4=________,an=________.

【解析】a4=a1q3=3×23=24,an=a1qn-1=3×2n-1.答案:243×2n-18.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15【解析】设等比数列{an}的公比为q,a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=aa13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a②÷①得q48=8,q16=2,所以a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·q1q43=a14·q166=a14·q6·q160=(a11024.答案:1024三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=21a1+1a2,a3+a4+a5=641a【解析】设数列{an}的公比为q(q>0).因为a1+a2=2·1a所以a1+a1q=2·1+qa1q,即a1又因为a3+a4+a5=641a所以a3(1+q+q2)=64·q2+q+1a3联立①②,解得q=2,a1=1,故an=2n-1(n∈10.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;(3)试比较an与Sn的大小.【解析】(1)因为bn=log2an,所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2a=log2q(q>0)为常数,所以数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.(2)因为b1+b3+b5=6,所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即b3=2.又因为a1>1,所以b1=log2a1又因为b1·b3·b5=0,所以b5=0,即b3=2,b因此Sn=4n+n(n-又因为d=log2q=-1,所以q=12,b1=log2a即a1=16,所以an=25-n(n∈(3)由(2)知,an=25当n≥9时,Sn=n(9所以当n≥9时,an>Sn.又因为a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=12a7=14,a8=18,S1=4,S2=7,S3=9,SS5=10,S6=9,S7=7,S8=4,所以当n=3,4,5,6,7,8时,an<Sn;当n=1,2或n≥9,n∈N*时,an>Sn.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在数列{an}中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12等于() B.34 【解析】选C.依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.2.等差数列an的首项为1,公差不为0,若a2,a3,a6成等比数列,则数列an的前8项的和S8 B.22 48【解析】an的首项为1,设公差为d(d≠0).若a2,a3,a6则a32=a2a6,即1+2解得d=-2,所以anS8=8×1+8×72×-3.已知等比数列{an}满足an>0,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥3时,log2a1+log2a3+…+log2 2 2【解析】选2a1+log2a3+…+log=log2(a1a3·…·a2n-1=log2(a1a=log2(22n)n24.等比数列{an}的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,则log2a1+log2a2+…+log2a10 B.10 D.2+log【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,所以a4a7+a5a由等比数列的性质可得:a1a10=…=a4a7=a5则log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·a10)=log2(a1a10)5二、填空题(每小题5分,共20分)5.在3和一个未知数间填上一个数,使这三个数成等差数列,若中间项减去6则成等比数列,则此未知数是________.

【解析】设此三数为3,a,b,则2解得a=3,b答案:3或276.在12和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为________【解析】设插入的3个数依次为a,b,c,即12由等比数列的性质可得b2=ac=12×因为a2=12所以b=2(负值舍去).所以这3个数的积为abc=4×2=8.答案:87.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=an+1an,若b10·b11=2,则a【解题指南】解答本题首先要注意b1·b2·b3·…·b20=a2a1·a3a2·a4a3·…·a21a20=a21a1=a21,另外要注意根据b10【解析】因为bn=an所以b1=a2a1,b2b3=a4a3,…,b20以上各式相乘,得b1·b2·b3·…·b20=a2a1·a3a2·a4因为数列{bn}为等比数列,所以b1·b20=b2·b19=b3·b18=…=b10·b11=2,所以a21=b1·b2·b3·…·b20=210=1024.答案:10248.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=158,a8a9=-98,则1a7+1a8【解析】因为a7+a8+a9+a10=158a8·a9=a7·a10=-98所以1a7+1a8=a=a=a7+a8+答案:-5【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=158,a8a9=-所以a7+a即a7a8a9+1a9又a7a10=a8a所以a7a7a10+1a9所以1a7+1a8+1a答案:-5三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值.(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.【解析】(1)由已知,当n=1时,a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,当n=2时,S2=2a2-3×2=a1+a2,解得a2=9,当n=3时,S3=2a3-3×3=a1+a2+a3,解得a3=21.(2)因为Sn=2an-3×n,所以Sn+1=2an两式相减得an+1=2a所以bn+1bn=又因为b1=a1+3=6,所以{bn}是首项为6,公比为2的等比数列,bn=6×2n所以an=bn-3=6×2n-1【补偿训练】设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.【解析】(1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2kn-k+1.经验证,n=1时,上式也成立,所以an=2kn-k+1.(2)因为am,a2m,a4m成等比数列,所以a2m2=am·即(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),∈N*成立,所以k=0或k=1.10.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}【解析】设{an}的公差为d.由S3=a22,得3a2=a22,故a由S1,S2,S4成等比数列,得S22=S1S又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0,或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1(n∈N*).11.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,数列{bn}中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对任意的正整数n(n∈N*),an+logcbn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的任意性建立c,m的方程,判断解是否存在.【解析】因为Sn=3n2+5n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+2,而a1=S1n=6n+2,由64bn+1-bn=0得bn+1b所以{bn}是首项为8,公比为8-2的等比数列.所以bn=8×(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数c和m,使an+logcbn=m恒成立,则6n+2+logc83-2n=m,即(6-2logc8)n+(2+3logc8)=m,对任意n∈N*恒成立.所以6-2lo所以存在常数c=2,使得对任意n∈N*,恒有an+logcbn=11.【补偿训练】设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,(1)试用an表示an(2)求证:an-(3)当a1=76时,求数列{an}的通项公式及项的最值【解析】(1)由