数学苏教版必修4学案第2章2-22-2-3向量的数乘

2．向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？eq\a\vs4\al([新知初探])1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.eq\a\vs4\al([小试身手])1．化简：2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝_________.答案：14a－9b2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________.答案：b－a3．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ＝________.答案：－eq\f(R,r)4．在△ABC中，已知点D在AB边上，且＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，则λ＝________.答案：eq\f(2,3)向量数乘的基本运算[典例]计算：(1)(－5)×4a；(2)5(a＋b)－4(a－b)－3a；(3)(3a－5b＋2c)－4(2a－b＋3c)．[解](1)原式＝(－5×4)a＝－20a.(2)原式＝5a＋5b－4a＋4b－3a＝－2a＋9b.(3)原式＝3a－5b＋2c－8a＋4b－12c＝－5a－b－10c.向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用]化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.用已知向量表示未知向量[典例]在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.[解]＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．[活学活用]如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.解：连结CN，因为N是AB的中点，AB＝2CD，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以＝－＝－b，又＋＋＝0，所以＝－－＝－eq\f(1,2)a＋b；＝＋＝eq\f(1,4)a－b.向量共线的判定及应用题点一：证明点共线1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求证：M，N，C三点共线.证明：设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)a－b.又因为N在BD上且BN＝eq\f(1,3)BD，所以＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(a＋b)，所以＝－＝eq\f(1,3)(a＋b)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))，所以＝eq\f(2,3)，又因为与的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.答案：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,5)，＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5).求证：四边形APQB为梯形．证明：因为＝＋＋＝－eq\f(1,3)－eq\f(2,5)＋＋eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＝eq\f(13,15)，所以∥.又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一学业水平达标1．化简：eq\f(1,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(2a＋8b)－4(4a－2b)))＝_______.解析：原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b.答案：－2a＋4b2．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则向量y＝________.解析：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝2y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)y＋b＝0，所以eq\f(7,2)y＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b，所以y＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案：eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c3．若＝eq\f(1,3)，＝t，则t的值是________．解析：由题意＝eq\f(1,3)，所以＝－eq\f(2,3)，所以t＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)4．已知a，b是非零向量，＝a＋2b，＝2a＋4b，则四边形ABCD的形状一定是________．解析：因为＝2，所以DC∥AB，且DC＝2AB，所以四边形ABCD一定是梯形．答案：梯形5．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝－＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b6．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.解析：因为＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋2.由＋＋＝0得，＋＝，所以＋＝3，故m＝3.答案：37.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________.解析：＝＋，又＋＝a，－＝b，∴＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，＝＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，∴＝＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝________.解析：设＝a，＝b，则＝－eq\f(1,2)b＋a，＝－eq\f(1,2)a＋b，从而＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝.答案：9．计算：(1)eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((a＋2b)＋3a－\f(1,3)(6a－12b)))；(2)(λ＋μ)(a＋b)－(λ－μ)(a－b)．解：(1)原式＝eq\f(1,4)(a＋2b)＋eq\f(3,4)a－eq\f(1,12)(6a－12b)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b.(2)原式＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b－(λ－μ)a＋(λ－μ)b＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b＝2μa＋2λb.10．如图所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A是BC中点，∴2＝＋，即＝2－＝2a－b，＝－＝－eq\f(2,3)＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)若＝λ，则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵与共线．∴存在实数k，使＝k.∴(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5).层级二应试能力达标1．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,mλ－2λ－3＝0，))解得m＝－1或m＝3.答案：－1或32．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．解析：因为＝5e，＝－7e，所以＝－eq\f(7,5).所以与平行且方向相反，易知||>||.又因为||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯形3．点C在线段AB上，且＝eq\f(3,5)，若＝λ，则λ＝________.解析：∵＝eq\f(3,5)，∴AC＝eq\f(3,2)CB，与方向相同，故λ＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)4．已知＝a，＝b，＝λ(λ≠0)，则＝_________.解析：因为＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝eq\f(1,λ)＋eq\f(λ－1,λ).答案：eq\f(1,λ)a＋eq\f(λ－1,λ)b5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为________．解析：设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝eq\f(3,5)，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6.如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值为________．解析：设＝a，＝b，由题意知＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b，由P，G，Q三点共线，得存在实数λ使得＝λ，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ