第3章正交分解

1信号分解将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用叠加原理求得总响应。单元函数选择冲激函数、阶跃函数正交函数集：三角函数集、指数函数集信号域变换时域↔频域时域↔复频域从本章开始由时域转入变换域分析。时域频域23.2.1矢量的正交分解2.矢量的正交分解1.正交矢量3在三维空间中，构成完备的正交矢量集4则称函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。

于是信号在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的函数表示为：

3.2.2实信号的正交分解信号在区间（t1,t2）内正交

5则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交复变函数集。

于是信号在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的函数表示为：

3.2.3复变信号的正交分解6与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。完备的正交函数集有两种定义：

A.如果用正交的函数集在区间（t1,t2）内近似表示，若令，则称该函数集为完备的正交函数集。

B.如果在正交函数集之外，不存在函数，满足等式:则这个函数集称为完备的正交函数集。

73.3.1三角傅里叶级数三角函数集

在区间（t0,t0+T）()内为完备的正交函数集。

8任何周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开。直流分量

n次谐波分量n=1，基波分量直流分量余弦分量系数正弦分量系数10

——基波频率，——

n

次谐波频率

令则其中可证:(任一周期信号可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示）11实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。方均误差趋于零。例3-1将下列方波信号展开成三角级数1-1tTT/214153.3.2指数傅里叶级数虚指数函数集

在区间（t0,t0+T）()内为完备的正交函数集。

17指数与三角傅氏级数的关系a018指数与三角傅氏级数的关系定义复数振幅193.3.3周期函数的奇偶性及其三角傅里叶级数特点奇函数是奇函数。周期奇函数的三角傅里叶级数：只有正弦项。偶函数是偶函数。周期偶函数的三角傅里叶级数：只有余弦项（可能有直流项）。非奇非偶函数三角傅里叶级数：正弦项、余弦项都有，可能有直流分量。20非奇非偶函数21周期函数的奇谐偶谐性判定及其傅里叶级数特点奇谐函数傅里叶级数：只有奇次谐波。偶谐函数傅里叶级数：只有偶次谐波。非奇谐非偶谐函数傅里叶级数：偶次谐波和奇次谐波同时存在。23周期信号f(t)

的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。

(A)余弦项的奇次谐波，无直流

(B)正弦项的奇次谐波，无直流

(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。例1偶函数：只含余弦项；半周重叠：只含偶次谐波和直流C24例2周期信号f(t)

的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。

(A)余弦项的奇次谐波，无直流

(B)正弦项的奇次谐波，无直流

(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。奇函数：只含正弦项；半周镜象对称：只含奇次谐波B25例3习题3.8（1）已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；解：波形纵轴对称；半周重叠。f(t)=f(t+T/2)f(t)=f(-t)26习题3.8（2）已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。f(t)=-f(t+T/2)f(t)=f(-t)273.4周期信号的频谱频谱图振幅频谱相位频谱28周期方波信号29A周期性矩形脉冲30特点：离散性、谐波性、收敛性31周期T不变，脉冲宽度变化32由大变小，An

的第一个过零点频率增大，即，称为信号的带宽，确定了带宽。由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。由于T

不变，谱线间隔不变，即不变。33脉冲宽度不变,周期T变化34不变，An

的第一个过零点频率不变，即，带宽不变。T

由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。

T

时，谱线间隔0，这时：

周期信号非周期信号；离散频谱连续频谱35周期信号频谱的特点唯一性：一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。

离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。谐波性：频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。收敛性：各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。36频带宽度理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率较低的一部分分量。周期信号的频带宽度——从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，简称带宽。包络线为抽样函数的频谱的频带宽度——从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的频率(2π/τ)之间的频率范围。一般信号的频谱的的频带宽度——从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度τ）与频宽成反比；时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。37离散频谱与连续频谱时域中连续的周期函数，它的频谱在频域中是离散的非周期函数。当周期Ｔ增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当

T

（周期函数变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。即，时域中连续的非周期函数，它的频谱在频域中是连续的非周期函数。383.5傅里叶变换与非周期信号的频谱

频谱密度函数，简称频谱函数傅里叶正变换式39傅里叶反变换式40非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换傅里叶反变换简记：F(j)=F[f

(t)]称频谱函数；或记为：一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积，即要求

f

(t)

=[F(j)]称为原函数。F-1

41与周期信号的傅里叶级数类似，一般为复函数频率特性称为幅频特性；称为相频特性。频率特性423.6常用信号的傅里叶变换

434445=46p.115473.7周期信号的傅里叶变换

48一般周期信号例3-5求均匀冲激序列的傅里叶变换。1.线性特性

且设a1,a2为常数，则有

若

3.8傅里叶变换的基本性质

512.延时特性

含义：信号在时域中延时对应在频域中移相。52533.移频特性

表明：信号在时域中与因子相乘，等效于频域中频率的转移

推论：5455例[]564.尺度变换特性

若

则

含义：在时域内,信号沿时间轴压缩至原来的,对应于频域中，它的频谱函数展宽倍。即信号的脉宽与频宽成反比。

5758推论

例：求的傅里叶变换解：59例3.21(4)或603.21(6)或615.奇偶特性

如果是t的实函数，且设

则有(1)

(2)

偶偶奇奇实偶实偶实奇虚奇623.13636.对称性质

推论64213例1例265例366

7、时域微分特性

含义：信号对时间取导数，相当于在频域中用因子去乘它的频谱函数。

678、时域积分特性

推论：则68求导求导求导69709、频域的微分与积分性质

若

则

7110.卷积定理

1．时域卷积定理

2．频域卷积定理

723.19[]733.9帕赛瓦尔定理与能量频谱

（一）信号的能量W和平均功率P

1.信号的能量：

2．信号的平均功率：

3．能量信号（能量有限信号）

能量为有限值（W＝有限值，P=0）

4.功率信号

平均功率为有限值（P＝有限值，W=∞）

74（二）周期信号的功率表明：

对周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得信号功率相等，且频域中的信号功率表示为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。

周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和