重庆市高级数学理科第三次学业质量调研测试卷

重庆市高级数学理科第三次学业质量调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。参照公式：假如事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）假如事件A、B互相独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰巧发生kkk次的概率P（nk）=CnP（1-P）n－k球的表面积公式S=4πR2此中R表示球的半径球的体积公式V=4πR3此中R表示球的半径3第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。）1．函数fxlg22x3的定义域是会合M，函数gxx1的定义域是会合P，则PMxA,11,B,31,C3,D1,2．在△ABC中，a、b、cbc3bca，则∠A等于分别是∠A、∠B、∠C的对边，且222A60°B30°C120°D150°3．等差数列{an}的公差d不为零，Sn是其前n项和，则以下四个命题中的假命题是（）A．若d<0，且S3=S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项B．给定n，对于必定kN*(kn)，都有ankank2anC．若d>0，则{Sn}中必定有最小的项D．存在kN*，使akak1和akak1同号4．如图，P为△AOB所在平面上一点，向量OAa,OBb，且P在线段AB的垂直均分线上，向量OPc。若|a|=3，|b|=2，则c·（a－b）的值为（）A．5B．3C．5D．3225．如图，已知A，B，C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC3，O为球心，则二面角O-AB-C的大小为ABC3Darccos334arccos33111OCABx06．已知点M（a，b）在由不等式组y0确立的平面地区内，则点N(ab,ab)所在平面地区xy2的面积是（）A．8B．4C．2D．17．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对峙的两个事件是（）A．“起码有1个白球”与“都是白球”B．“起码有1个白球”与“起码有1个红球”C．“恰有1个白球”与“恰有2个白球”D．“起码有1个白球”与“都是红球”8．若x，y{x|xa0a110a2100}，此中ai{1,2,3,4,5,6,7}(i0,1,2)，且xy636，则实数（x，y）表示坐标平面上不一样点的个数为（）A．50B．70C．90D．1209．已知直线yk(x3)(kR)与双曲线x2y21.某学生作了以下变形：由m27yk(x3)x2y2消去y后获得形如Ax2BxC0的方程，当A=0时，该方程有一解；当A≠0时，m271B24AC恒成立.假定学生的演算过程是正确的，则实数m的取值范围为（）A．[9,)B．(0,9]C．(0,3]D．[3,)10．对于函数f(x)x1，设f2(x)f[f(x)],f3(x)f[f2(x)],,fn1(x)f[fn(x)]x1(nN*,且n2)，令会合M{x|f2007(x)x,xR}，则会合M为（）A．空集B．实数集C．单元素集D．二元素集第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分。把答案填在答题卡的相应地点上。）11．若(x1)6的睁开式中的第五项是15,设Snx1x2x3...xn(nN*)，则x2limSn=.n212．已知i是虚数单位，且函数(1i)2i(x0)在R上连续，则实数a等于f(x)2cosx(xa0)13．过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|AF|2|FB|，则椭圆的离心率e=。14．将棱长为3的正四周体以各极点截去四个棱长为1的小正四周体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为。15．已知函数f(x)x3bx2cxd(b,c,d为常数），当k(,0)(4,)时，f(x)k0只有一个实根；当k∈（0，4）时，f(x)k0只有3个相异实根，现给出以下4个命题：①f(x)4和f'(x)0有一个同样的实根；②f()0和f'()0；有一个同样的实根；xx③f(x)30的任一实根大于f(x)10的任一实根；④f(x)50的任一实根小于f(x)20的任一实根.此中正确命题的序号是。16．已知会合A=x,yxy2,x,yR，B=x,yxya,x,yR，若AB中的元素所对应的点恰巧是一个正八边形的极点，则正数a的值▲三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分13分）已知函数f(x)lg[3(31)tanxtan2x].（1）求函数f(x)的定义域；（2）若是两个膜长为2的向量a，b的夹角，且不等式f(x)lg(1sin)对于定义域内的随意实数x恒成立，求|a+b|的取值范围.18．（本小题满分13分）一个口袋中装有大小同样的2个白球和4个黑球。1）采纳放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰巧颜色不一样的概率；2）采纳不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的希望和方差.319．（本小题满分13分）已知数列an知足a11，anan1(n2,nN)．41nan12（Ⅰ）试判断数列11n能否为等比数列，并说明原因；an（Ⅱ）设bn1，求数列bn的前n项和Sn；2an（Ⅲ）设cnansin(2n1)，数列cn的前n项和为Tn．求证：对随意的nN，Tn4．2720．（本小题满分13分）在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，∠ABC=90°，M为棱PC的中点。（1）求证：点P，A，B，C四点在同一球面上；2）求二面角A—MB—C的大小；3）求过P、A、B、C四点的球面中，A、B两点的球面距离。21．（本小题满分12分）如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O订交于C，D，C1，D1，连结CC1与OB交于点H，且有：OH(323)HB。此中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距。（1）当c=1时，求双曲线E的方程；2）试证：对随意正实数c，双曲线E的离心率为常数。3）连结A1C与双曲线E交于F，能否存在实数,使A1FFC恒成立，若存在，试求出的值；若不存在，请说明原因.422．（本小题满分12分）设函数f(x)1ax3bx2cx(abc),其图象在点A(1,f(1),B(m,f(m))处的切线的斜率分别3为0，－a.（1）求证：0b1；（2）若函数f（x）的递加区间为[s，t]，求|s－t|的取a值范围.（3）若当x≥k时，（k是a，b，c没关的常数），恒有f'(x)a0，试求k的最小值.5[参照答案]一、选择题1．A2．C3．D4．D5．D6．B7．C8．C9．B10．A提示：2．利用三角函数可知coscos。应选C.3．对于AS8S3a4a5a6a7a85a60S5S6又d0,S5S6为最大，故A正确.对于C，∵d＞0，∴点（n，S）散布在张口向上的抛物线.故{S}中必定有最小的项，故C正确.nna0amnmab26．由题意得：b0设,得mnab2nabb2mn02mn0mn所以线性拘束条件转变为：0,即mn02m2mnmn222如图求得暗影部分的面积为：S=47．对于A，B，两事件不是互斥事件，对于D，两事件既是互斥的，也是对峙的，应选C.8．∵x，y均为三位数，且x+y=636，将和分为两类，一类是没有进位的，如123+513，一类是有进位的，如163+473；没有进位时，因为6=1+5=2+4=3+3，3=1+2∴（x，y）共有5×2×5=50个；有进位时，个位不行能进位，只好十位进百位，故十位只好为7和6，从而百位只好为1和4与2和3，∴（x，y）共有4×2×5=40个，故总合有50+40=90个不一样点.9．由已知可推得直线与双曲线恒有公共点，而直线过定点（3，0）m30m910．f(x)12f2(x)12x111xf(x)11,f3(x)x1xx1xf4(x)x,f5(x)f(x).....,故fn(x)是以4为周期.f2007(x)f3(x)1xxx210(xR),则r2∴会合M为空集.1x二、填空题11．112．413．214．7315．①②④3提示：63115151211．T5422(4x2,故limSn1C6(x))x21xn10时()(2)2lim()(0)2.212．xfxiix0fxf又limf(x)lim(a2cosx)a2,a22a4x0x013．如图，由椭圆的第二定义得r1r22r2e,则d12r2，d1d2d1ed2r2,两式相减得r2d1d2,注意到直线AB的倾斜角为60°eed1d21|AB|1(r1r2)3r2.r23r2,故e2e2222314．原正四周体的表面积为49393，每截去一个小正四周体，4表面减少三个小正三角形，增添一个正三角形，故表面积减少4323，故所得几何体的表面积为73.2415．由k＜0或k＞4时，f(x)k0只有一个实数根可知，在k＜0或k＞4时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点；0＜k＜4时，函数y=f（x）与y=k的图象有三个交点；故函数的极值点有两个，极值分别为0和4，函数大概图象以下图，由图知f'(x)0有两根x1，x2，且f(x1)4及f(x2)0,f'(x1)0及f'(x2)0所以x1是f(x)4和f'(x)0的根，x2是f(x)0和f'(x)0的根，所以①，②对；将y=f（x）的图象向下平移1个单位得y=f（x）－1的图象，向上平移3个单位得y=f（x）+3的图象，由图象知③错；将y=f（x）的图象向上平移5个单位得y=f（x）+5的图象，将y=f（x）的图象向下平移2个单位得y=f（x）－2的图象，由图象知④对.16．222三、解答题17．（1）若原函数存心义，则3(31)tanxtan2x0,解之得3tanx1故kxk(kZ),故函数f(x)的定义域为(k,k)(kZ)34347（2）因为x(k,k)(kZ时，03(31)tanxtan2x13342故函数f（x）的最大值为lg(13).()lg(1sin)恒成立，只要2lg(1sin)lg(13).故sin3,[,3],1cos1223322故|ab|2|a|2|b|22|a||b|cos44222cos8cos故|ab|2的取值范围是[4，12]，|ab|的取值范围是[2，23]18．解法一“有放回摸两次，颜色不一样”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰巧颜色不一样”为事件A，∵“两球恰巧颜色不一样”共2×4+4×2=16种可能，P(A)16466921解法二“有放回摸取”可看作独立重复实验∵每次摸出一球得白球的概率为P634∴“有放回摸两次，颜色不一样”的概率为P2(1)C21(1p)9（2）设摸得白球的个数为，依题意得P(0)432,P(1)42248;P(2)2116556565156515E0118212,D(02)22(12)28(22)2116215153353153154519．解：（Ⅰ）1(1)n2，1(1)n(2)[1(1)n1]，3分anan1anan1又1(1)3，数列11n是首项为3，公比为2的等比数列．5分a1an（Ⅱ）依（Ⅰ）的结论有1(1)n3(2)n1，即an(1)n1.6分an32n11bn(32n11)294n162n11．Sn91(14n)61(12n)n62nn9．9分1412n34（Ⅲ）sin(2n1)(1)n1，28cn(1)n11．10分3(2)n1(1)n32n11当n3时，则Tn111131321322132n111111111121[1(21)n2]4732232332n128121111[1(1)n2]11147484．286228684847T1T2T3，对随意的nN，Tn413分．720．（1）证明：由已知条件Rt△PAC中PM=MC，则MP=MC=MAPA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，PBBCABBC则MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上，（2）以AC为y轴，AP为z轴成立以下图的空间直角坐标系A—xyz，则B（2,2,0),M(0,2,1),C(0,22,0)设平面AMB的法向量为n(x,y,1),AM(0,2,1),AB(2,2,0)nAM0x2222,1),所以n(由得,nAB0y2222同理设平面BMC的法向量为m(a,b,1),则mBC0(2,2,1)解得mmCM022所以cosmn1.故二面角A—MB—C的大小为120°.|m||n|2（3）∵过P，A，B，C四点的球面的球心为M，半径为MCPC3,Ab22在MAB中，cosAMB33341,AMBarccos1.223331故A、B两点的球面距离为3arccos.321．（1）由c=1知B（0，1），∵OH3233(323)HB，∴xH0,yH23249即H(0,3),点C在单位圆上，∴C(1,3)222设双曲线E的方程为x2y20,b0).a21(ab2a2b21,a213由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：13解得24a24b21,b232所以双曲线E的方程为：x2y21.33122（2）证明：∵A1（－c，0），B（0，c），由OH(323)HB得:H(0,3c),C(1c,3c),222a2b2c2①x2y2设双曲线E的方程为1(a0,b0),∴3ca2b2c221②4a24b2①代入②，化简整理得346a2b2b40,(b)46(b)230aaa解得(b)2323.又e2c21(b)2423.aa2a∴e42331c没关的常数。，即双曲线E的离心离是与（3）假定存在实数,使A1FFC恒成立，A1(c,0),C(c,3c)22cc3c(2)3c22点F(,点C，F都在双曲线E上，故有有xF,yF112(1,2(1))c23c21③4a24b23c2c2e243c22由③得e24⑤c2(2)2b2b23224b22④4a(1)(1)⑤代入④得e2(2)2(e24)2)21,化简整理得e2e2214(1)24(1即e