2022年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市高考数学三模试卷（文科）（附答案详解）

2022年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市高考数学三模试卷（文

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={-2,0,2},B={x\x>-2],则4nB=()

A.{2}B.{0,2}C.{-2,2)D.{-2,0,2)

2.复数z满足(l+2i)z=3-i,贝ijz的虚部为()

,7C7.—7•

A.--B.--iC.-iD?

3,若sin停-a)=-$则cos(?r-2a)的值为()

A—B——c—D

252525-

4.若弓=(2,—6)，B=(2sin》2cos》下列正确的是()

A.b//(a-b)B.b1(a-K)

C.方在方方向上的投影是一：D.(a+K)l(a-K)

5.若圆心在x轴上、半径为的圆。位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆。的

方程是（）

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三

棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）

A.6

B.9

C.?

D.3

%—y—2<0

7.设，y满足约束条件2x-y+320,则震的取值范围是()

x+y<0

A.[-4,1]B.[-3,-]

C.(-00,-3]U[l,+co)D.[-3,1]

8.设直线x=t与函数/Q)=2K,g(x)=上》的图像分别交于点M,N,则|MN|的最

小值为()

A.；+仇2B.3/n2-1C.5-1D.1

9.四个人做一道选项为ABC。的选择题，四个同学人对话如下：

赵：我选A：钱：我选BCD当中的一个：孙：我选C；李：我选D；

四个人每人选了一个选项，而且各不相同，其中只有一个人说谎，则说谎的人可能

是谁？()

A.赵，钱B.钱，孙C.孙，李D.李，赵

10.已知圆C：(x-2)2+y2=1,直线Z为绕原点转动的任一直线，则事件“直线2与圆

C有公共点”发生的概率为()

A.7B.-C.;D.\

3036

11.设居，B分别是椭圆C：总+3=l(a>b>°)的左、右焦点，直线，过用交椭圆c于

A,B两点，交y轴于C点，若满足耳？=|福且NC6凡=30°,则椭圆的离心率为()

A.4B.?C.；D.\

363b

12.已知函数/(x)=/二+e；r—a(sinx+cosx)有唯一零点，则a=()

A.;B.YC.V2D.1

二、填空题(本大题共4小题,共20.0分）

13.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出i的值为.

第2页，共18页

14.若函数/(x)=｛3+^^>2(a>0且&*1)的值域是［4,+8),则实数a的取值

范围是.

15.在△ABC中，角4、B、C的对边分另ij是a、b,c,bcosCcosA+ccosAcosB=?,△ABC

的面积为K，则:+抽最小值是.

16.已知正方体ABC。-41&GD1的棱长为2,N为DO1的中点，M为棱CC\上的动点，

点P在线段上运动，下面说法正确的是.

①直线BE)11面4的。；

②异面直线4P与所成的角范围为亭J

③点p到平面&G。的距离为定值等；

@AM+MN的最小值为g.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列｛an｝，｛「n｝，Sn为数列｛an｝的前?i项和，a2=4bvSn=2an-2,nbn+1-

2

(n+l)Z?n=n+n(nGN*).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)证明*为等差数列，并求数列｛(-1尸与｝的前2n项和.

18.碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排

放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二

氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简

单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上

提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排

放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和I.”减少碳排放，实

现碳中和，人人都可出一份力.某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮

的最佳角度”的数学建模活动.

实验假设：

①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其

他因素假设一样；

②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，

因此旋转角度设定在10。到90。间，建模实验中选取5个代表性数据：18°,36°,54°,

72°,90°.

某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如表:

项目开始烧水时燃气表度数

水烧开时燃气表度数/dm3

旋转角度/dm3

18°90809210

36°89589080

54°88198958

72°86708819

90°84988670

以x表示旋转角度，y表示燃气用量.

(1)用列表法整理数据(x,y)；

%(旋转角度：度)1836547290

y(燃气用量：

dm3)

(2)假定x,y线性相关，试求回归直线方程;涓(注：计算结果精确到小数

点后三位)

(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为;=1.903x10-2/_

1.472%+150.33.求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度.请用相

关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？(注：计算结果精

确到小数点后一位)

参考数据:2乙％=712,X乙(/-£)(%-9)=1998,劈=i(x—)2=3240,

工之式%-丫T=1501.2,

线性回归模型*=式%—月产x269.1,二次函数模型比=式儿一多产«196.5.

-_o2-1_

参考公式：=空U19,=

ba=y-bx,A_

跟1aLx)z

19.如图，四棱锥P-ABCO中，侧面PAD为等边三角形

且垂直于底面A8C0,AB=BC=\ABAD=

乙4BC=90。，E为4。的中点.

(1)证明:PELAB；

(2)若△P40面积为百，求点。到面PAC的距离.

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20.已知圆A：(x+2)2+y2=9,圆B：(x-2)2+y2=1,圆C与圆4圆B外切.

(1)求圆心C的轨迹方程E；

(2)若过点B且斜率k的直线与E交与"、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点P,

证明器的值是定值.

21.已知函数/(久)=(。K+6)/，曲线y=/Q)在点(-1,/(一1))处的切线方程为x—

ey+1=0.

(1)求a,b\

(2)若xN-2时，/c/(x)>i%2+2x+l,求实数k的取值范围.

22.在直角坐标系xoy中，圆C的方程为：x2+y2-2x=0,如f

图，P为圆C上任意一点.

(1)以直线0P的倾斜角。为参数，写出圆C的参数方程；()

(2)设点P的坐标为(x,y),求x+y的最大值.

已知f(x)=\2x-a2\.

(1)当a=1时，求不等式/(为+|x+l|>3的解集;

(2)若对于任意实数》,不等式|2尤-3|-/(x)<2a成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•••集合4={-2,0,2},B={x|x>-2},

AC\B={0,2}.

故选：B.

利用交集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•••(l+2i)z=3T,

...Z==「TOW)=1_7

"l+2i(l+2i)(l-2i)55,

Z的虚部为一£

故选:A.

结合虚部的定义，以及复数的运算法则，即可求解.

本题主要考查虚部的定义，以及复数的运算法则，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：：sing-a)=—点

:.cos(7T—2a)=1—2sin2g-a)=1—2xj|=—

故选：B.

由题意，利用二倍角的余弦公式，计算求得结果.

本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析1解：因为石=(2sin92cos$=(1,6),所以三一方=(1,一26)1+石=(3,0)，

对于力，因为1x(―2百)一次x1#0,所以A错误；

对于B,由。(W-B)=lxl+国x(—28)彳0，知石J.(五一办不成立，即B错误；

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对于C,苍在石方向上的投影是|N|cos<百，b>==-1,即C正确；

对于0,由（日+3）・（2—E）=3xl+0#0,知（往+石）J.（五一办）不成立，即。错误.

故选：C.

易知石=（1,6），根据平面向量的线性和数量积的坐标运算法则，逐一判断选项，即可.

本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的坐标运算，投影的含义是解题的关键，

考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为圆。位于y轴左侧，显然4、C不符，（-5,0）到直线x+2y=0的距离

为西.

故选D.

先看圆心，排除4、C,在8、。中选一个验证直线x+2y=0相切即可.

本题采用回代验证方，法解答灵活.还可以数形结合估计法，直接推得结果.

6.【答案】D

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体由一个四棱锥体A-BCDE切

去一个三棱锥体A-BCD.

如图所示：

故：V=吸-BCDE—%-BCD=,x&x（2+3）x2x3--x-x2x2x3=3.

故选：D.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

7.【答案】D

【分析】

本题主要考查线性规划的应用，利用直

线斜率的几何意义是解决本题的关键.

作出不等式组对应的平面区域，利用直

线斜率的几何意义，结合数形结合进行

求解即可.

【解答】

解：作出不等式组对应的平面区域如图:

则空的几何意义是区域内的点到定

点P(-6,-4)的斜率,

由=0得％=T，y=1,即火一1,1),

由得％=—5，y=—7，即6(-5,-7),

则AP的斜率k=^-=l,

BP的斜率fc=^―=-3,

则与取值范围是[-3,1]

XTO

故选D.

8.【答案】A

【解析】解：设M(t,2t2),N(t,lnt),则|MN|=J(2设一，nt)2=2t2一仇>0(因为

Int<t—1<2t2),

设九«)=2严一/3t>0,则h'(t)=4t_,=(2t+?(2tT),

易知函数h(t)在(0,；)单调递减，在(；,+8)单调递增，

Karnin=九©)=；+m2.

故选:A.

设M(t,2t2),N(t,lnt),利用两点间的距离公式可求得|MN|=h(t)=2t2-Int,t>0,

再利用导数求出函数h(t)的最小值即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查两点间的距离，考查运算求解能力,

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属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：假设赵同学说谎，则赵同学不选A,又孙同学选C,李同学选D,钱同学

选8,

与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同，矛盾，故赵同学没有说谎，排除4D；

若钱同学说谎，则钱同学选A,又赵同学选A,

与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故钱同学没说谎，

若赵同学选4,钱同学选。，孙同学选C,李同学选B,则满足条件，

同时有且仅有李同学说谎，

故可能说谎的同学为孙同学和李同学，故C正确.

故选：C.

假设赵同学说谎，由条件确定是否存在满足条件的选择方法，由此判断其是否说谎，再

同理判断其他同学是否说谎.

本题考查说谎的人可能是谁的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查推理论证能

力，是基础题.

10.【答案】C

【解析】解：设直线方程为y=kx,

由直线，与圆C有公共点，

则点(2,0)到直线/的距离小于等于1,

即黑八

即一乎WkW手，

即直线1的倾斜角的范围为U管,兀)，

即事件“直线I与圆C有公共点”发生的概率为金色空边=工，

7T-03

故选：C.

先求出满足条件的直线1的倾斜角的范围，再结合几何概型中的角度型求解即可.

本题考查了几何概型中的角度型，属基础题.

II.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

利用已知条件求出C与4的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心

率.

【解答】

解：设后，为分别是椭圆C：,+，=l(a>b>0)的左、右焦点，Fi(-c,0).

直线，过鸟交椭圆C于4,B两点，交y轴于C点，若满足笆=|福且

“国e=30°,

可得以0亭),

设4(“),则(c,yc)=|(-c-x,-y),解得4(一久一第c).

可得：2+—=1

口寸9a2,81匕21

即：表2+行=1，ee(o,l)•

解得e=§.

故选：A.

12.【答案】C

【解析】解：令于(X)=e"1+e~x—a(sinx+cosx)=0,

则e"一了+e^~x-yf2asin(x+-),

4

记x+-=t,则e，+e-t=y/2asin(t+~)=>/2acost,

令g(t)=e，+e-，，贝ijg(-t)=e，+eT

・•・g(t)=g(-t),所以g(t)是偶函数，图象关于y轴对称，

因为/(x)有唯一的零点，

所以零点只能是1=0于是

yf2a=2,

所以a=>/2.

故选：C.

换元后，根据函数的对称性，可知g(t)=N+e-t是偶函数，根据只有一个零点，可知

只能在对称轴的地方取值，即可求解.

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本题考查了函数的零点、奇偶性、对称性，属于中档题.

13.【答案】4

【解析】解：执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3,

当n=3时，n是奇数，n=3+1=4>i-2；

当n=4时，n不是奇数，n=(=2,i=3；

当n=2时，n不是奇数，n=1=1,i—4；

满足退出循环的条件，则输出i的值为4.

故答案为：4.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟

程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

14.【答案】(1,2]

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题.

当xS2时，检验满足/(%)24.当x>2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调

性，求得a的范围，综合可得结论.

【解答】

解：・；函数/(%)={3+^^；2缶>°且0力1)的值域是4+~),

故当xW2B寸，满足f(x)=6-x>4.

当x>2时，/(x)=3+logax

①若a>l,/(x)=3+logaX在它的定义域上单调递增，

当x>2时，由/(x)=3+logax24,得logax>1,loga2>1,1<a<2.

②若0<a<1,/(x)=3+logax在它的定义域上单调递减，

/(X)=3+logax<3+loga2<3,不满足f(x)的值域是[4,+8).

综上可得，1<aS2,

故答案为：(L2].

15.【答案】1

【解析】解：由bcosCcosA+ccosAcosB=可得2sinBcosCcos4+2sinCcosAcosB=

simA=sin(B+C),

・•・sinBcosC(2cosA-1)4-sinCcosB{2cosA-1)=0,

:.(sinBcosC+sinCcosB((2cos/-1)=0,sin(B+C)(2cosA-1)=0,

:.sinA(2cosA-1)=0,

17T

人=口

2cosA-1=0,­'-cosA=0<A<nf

△ABC的面积为b，^bcsinA=V3,be=4,

>2区=1,当c=b=2时取等号.

bc7be

故答案为：1.

由正弦定理可得sinA(2cos4-1)=0,可求4,进而由面积可得be=4,从而可求最小

值.

本题考查正弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属中档题.

16.【答案】①③

【解析】解:因为

A1C1LBB1,

u平面

B、D[,BB]BBMi，B1D1DBBt=B1,

所以AiGJ■平面BB/i，又BDiu平面BBMi，

所以4iC[_LBDi，同理可证AiDLBCi，

平面的。=

AXCV4iDu&GD,4104141，

所以直线BA，平面ACm,①正确；

因为44J/DD1，所以上/力。为异面直线4P与。。1的夹角,

当运动到当的位置时，乙

P414P=AA1AB1=45°,

所以异面直线AP与DDi所成的角范围不是由J②错；

因为反CBit:(t平面AG。,&Du平面

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所以BiC〃平面&CM，

所以点P到平面&q。的距离等于点见到平面4的距离,

设点B1到平面&G。的距离为d,则%1.A1C1D=§S4Ale1。乙

又/1-A1C1D=%一4]C1B1=gS—iCiBiDDl=-x2X2=",SA41C1D=#1。.

A1C1sin600=2A/3>

所以;=；x2次xd,所以d=第，③对；

如图将正方形。CgDi绕CCi旋转到与平面ACC/i共面的位置，

由图可得AM+MN24N,当且仅当力，M,N三点共线时取等号,

又4c=2V2,CZ)=2,DN=1，

所以4M+MN的最小值为J13+8/，④错•

故答案为：①③.

利用线面垂直判定定理判断，根据异面直线的夹角的定义判断，由等体积法求点P到平

面的距离由此判断，再求4M+MN的最小值判断.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)当九=1时，ax=Sj=2ax-2,所以%=2,

当n>2时，an-Sn-Sn_x-2an-2-(2an_x-2)=2an-2an_r,

所以：厮=2即_1，

所以也竟是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an=2九，56N*).

(2)当n=1时a2=43所以b1=1,

2

由于?ibn+i-(九+l)bn=n+n(n6N*),

所以黯吟=1，

所以｛§｝是1为首项，1为等差的等差数列.

所以*=n,

所以％=n2,

令。=(一1尸匕=(T)，2,

则7^n=Q+C2+C3+…+c2rl=-1+2?—3?+42—…(2n)2=(2—1)(2+1)+(4—

3)(4+3)+-(2n-(2n-l))(2n+(2n-1))=3+7+11+15+-+(4n-1)=

n(2n+1).

【解析】(D直接利用递推关系求出数列的通项公式；

(2)利用分组法的应用求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组

法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)整理数据如图:

双旋转角度：度)1836547290

y(燃气用量：

130122139149172

dm3)

x=54,y=142.4,b

a=142.4-0.6167X54=109.0982=109.098)

故回归直线方程为y=o,617x+109,098：

(3)x=-38.7°,即旋转角约为38.7。时，烧开一壶水燃气用量最少;.

121.9(加3).

回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为普，爆，

则Rg=1-«0.82x0.8,/??=1-x0.87x0.9.

,711501.2/1501.2

因为段＜用，所以二次函数拟合效果更好.

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【解析】(1)根据题中数据直接填表即可；

(2)根据题中所给的数据和公式进行求解即可；

(3)根据题中所给的公式，结合所给的函数关系进行求解判断即可.

本题考查线性回归方程，考查学生的运算能力，属于中档题.

19.【答案】证明：(1)四棱锥P-4BCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面4BCD,

在等边三角形PAD中，E为4。的中点，所以PE14D,

,••面PAD面ABCO,面PADn面4BC0=AD,：.PE1面ABCO,

ABu面4BCD,•••PE1AB；

解：(2)TAPAD面积为次，4。=2,PE=遮,

;AB=BC=^AD,/.BAD=UBC=90°,AB=BC=1,

在△P4C中，PA=2,AC-V2>PC=2,

所以SAPAC=；xACx吁=：x&x手=圣

SAACD=£x力。x4B—1,

设点。到面尸力C的距离为九，则/-Ac。=]xSA.CDxPE=-xSAP4cxh,

•••h:弯,即点。到面PAC的距离为第.

【解析】(1)由平面,PA。_L平面ABCO,根据面面垂直性质定理证明PE_L平面48C0,由

此证明PE1AB,(2)根据锥体体积公式结合等体积法求点。到面P4C的距离.

本题考查了线线垂直的证明和点到平面的距离，属于中档题.

20.【答案】解：(1)圆C与圆4、圆B外切,设C点坐标(x,y),圆C半径为r|G4|=r+31cBi=

r+1所以|C4|-|CB|=2.

符合双曲线定义2c=4,c=2所以圆心C的轨迹为双曲线的一支2a=2,a=1,则6=

V3.

所以斗一？=l,xe(1,+8).

(2)过点8且斜率4的直线与E交与M、N两点，

设直线为y=k(x-2),M(X1，%),W(x2,y2),

(y=k(x-2)

联立,V,所以(3-/£2)%2+轨2X一4卜2—3=0,

_-4上2

X]+%2—3-k2

所以-(4/+3)，

=3-k2

设MN中点坐标为E

则E借，晟)，

2

所以|MN|=Vl+k\xr-x2\="+k2J(x、+%2)2-4%I%2

=VTTP,(*)2+S+3]=工

S-M十3-fc23-k2

线段MN的垂直平分线交汇轴与点P,

线EP为：y-急=_*(x-含)，

当丁=0时,P(黑，0)，所以|PB|=|庭-2|,

6++M

所以^3—k2

I8k21.

E-2

【解析】（1）判断圆心C的轨迹为双曲线的一支，求解a,b,即可得到轨迹方程.

y=fc（x—2）

{2_片=］,利用韦达定理,

3-

设MN中点坐标为E,利用弦长公式求解|MN|,然后求解|PB|,推出比值即可.

本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，是中档题.

21.【答案】解：(l)f'Q)=3+a+b)e3

由己知有：f(-l)=;,

将第=-1代入%-ey+1=0得y=0,所以/'(-1)=(-Q+=0,

即(1=人再由/(-1)=十，可得b=l,

故Q=b=1；

(2)由(1)可知,/(%)=(x+l)e\

kf(x)—(1x2+2x+1)=k(x+l)ex—1x2—%—1>0(%>—2),

当％=-1时，原不等式成立,

当一2Wx<-l时，原不等式可化为2kW芫箸,

X2+4X4-2

当4>-1时，原不等式可化为2/cN

/。+1)，

7+4X+2-x(x+2)2

令九（X）,h