2022届高考数学(文)模拟演练卷全国甲卷

2022届高考数学（文）模拟演练卷全国甲卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x2+2x-34。},则AcB为（）

A.{1,2,3)B.{0.1}C.{-1,0,1)D.{-1,0}

2.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图,

其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),

[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率

A.56B.60C.120D.140

3.已知(1-i)2z=3+2i,则z=()

A.-1-JiB.-1+JiC.-2+iD.-3-j

2222

4.设f(x)=Igx+1,g(x)=ex-i-2.,则()

x-1ex

A.f(x)与g(x)都是奇函数B.f(x)是奇函数,g（x）是偶函数

C.f（x）与g（x）都是偶函数D.f（x）是偶函数,g（x）是奇函数

5.已知双曲线±-l=1（a>0,b>0）的离心率e=2,则该双曲线的渐近线方程为（）

a2b2

A.y=±xB.y=±5^x

C.y=±2xD.y=±—x

3

6.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回出生地产卵.研究鞋鱼的科学家发现鞋鱼的游速v（单位：

m/s）可以表示为v=1-log2—其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鞋鱼的游速为3n/s时,

231002

它的耗氧量的单位数为（）

A.900B.1600C,2700D.8100

7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

C.71D.in

3

8.在^ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边.如果2b=a+c,B=30。，△ABC的面积为

2,那么b=()

2

A.衅BJ+加C整D.2+Q

9.已知正项等比数列｛a｝的前n项和为S，若a=Lsa=2,贝I'二()

nn483-144

1J八31、15

AA.—B.一C.—D：—

168168

10.四张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这四张卡片中随机抽取两张，则取出的两张卡片上的

数字之和为偶数的概率为()

AA.-1BC.—1屋D2

2334

11.已知sin(|(a_蒯=_3cos(|(a4)|>则tan2a=()

A.4®B,更C,4^D.在

--22

12.已知偶函数f(x)在(_w,0］上单调递减，且f(4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为()

A.(_4,0)同(4,+w)B.(_w,_4)同(0,4)C.(_4,0)同(0,4)D.(_w,_4)同(4,+w)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a=(1,2),b=(3,m),且a」(2a_西，则|a_2b|=

14.将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3:4,再将它们卷成两个圆锥侧面,

则这两个圆锥的体积之比为.

15.已知函数f(x)=sin(ox+Q)(o>0,|Q|<n)的部分图象如图所示，则Q=.

16.设F,F分别是椭圆~^+之一1（a〉|？〉。）的左、右焦点，点P在椭圆上，且

12a2b2

PFJPF,|PF||PF|=2.若a=2b,则椭圆的标准方程为__________________.

1212

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡

视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测

试（满分：100分），其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在［50,100］内，得分情况绘制成

频率分布直方图如下，在区间［60,70）,［70,80）,［80,90）的频率依次构成等差数列.

若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.

（1）若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；

（2）请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与

文理科有关？

优秀不优秀合计

理科生

文科生

合计1000

附：心（"b）（；.）渭）;物“其中n=a+b+c+d.

P（K2>k）

0.0500.0100.001

0

k3.8416.63510.828

0

18.已知数列｛a｝是以3为首项，d(d>0)为公差的等差数列，且a,&后,a成等比数列.

n24

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

(2)设b=a—2n,求数列｛b｝的前n项和S.

nnnn

19.如图，矩形ABCD所在平面与CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.

(1)证明：平面AMDJ平面BMC.

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PBD?请说明理由.

20.已知函数f(x)=ax2—ex(a=R),f,(x)是f(x)的导数(e为自然对数的底数).

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.

⑵若当x>0时，不等式f(x)共一X-1恒成立，求实数a的取值范围.

21.已知抛物线C:X2=2py(p>0)的焦点为F,点P是直线I:x—2y—1=0上的动点，|FP|的最小

值为曲1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,若直线AB过抛物线的焦点，求直线AB

的方程.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为〈以=l+2cos,，(b为参数).以坐标原点。

［y=l+2sinp

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为9=a,直线I的极坐标方程为

12

9=a+l

2

(1)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；

(2)设直线I与曲线M交于A,C两点，直线I与曲线M交于B,D两点，求四边形ABCD面

12

积的取值范围.

23.［选修4-5：不等式选讲］

已知函数f(x)=|2x-41+|x+21.

(1)解关于x的不等式f(x)>10；

(2)求满足f(x)=|2x-4|+4的实数x的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：丫集合B={x|x2+2x—3共(}={x]-3共x共1},:AJ^B={—1,0,1},故选C

2.答案：D

解析：由频率分布直方图知，数据落在区间[22.5,30]的频率为2.5人(0.16+0.08+0.04)=0.7.故这

200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200人0.7=140.故选D.

3.答案：B

解析：本题考查复数的运算.可知z=3+"=3+2i=-i+3j.

(1—i)2—2i2

4.答案：B

解析：f(-x)=lg-X+1=ig--■=-，:f(x)为奇函

—X—1X+1X-1

数-g(—x)=e-xj]+ex=g(x),:g(x)是偶函数，故选B.

e-xex

5答案：D

解析：由题意得e=2=匕则双曲线的渐近线方程为y=±匕=+-ay=士吏x,故选D.

aby/c2—az3

6.答案：C

解析：当v=3对，£=llog2-即logM3,故"33=27,所以Q=2700.故选C.

22231003100100

7.答案：A

解析：根据三视图可知几何体是由有公共的底面的圆锥和圆柱体的组合体，由三视图可知，圆锥

的底面半径为1,高为1,圆柱的底面半径为1,高为1,所以组合体的体积为

14兀

-兀人12人1+兀人12人1二一,故留A.

22

由余弦定理，得b2=a2+c2—2accos30o=(a+c)2—2ac—4c=4b2—12一虚，所以b=£+1.

9.答案：D

解析：解法一设等比数列｛a｝的公比为q(q>0且q丰1),va=L,S-a=_,

n48314

(昌।1根(1」)

:(1-qI4得a=[,qj,：s----------------------

II-1I12-

_I2*J_15gq3=c，

解法二设等比数列｛a｝的公比为q(q>0且q丰1),S-a=a+aa=1.

n3i23q2q448

1.a.3115

:q=一，.a=4^1,oS=a+a+a+a=14+_+-=—

21qs41234488

10.答案：B

解析：从四张卡片中任意取出两张的情况有(1,2),(13),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.其

中两张卡片上的数字之和为偶数的情况有(1,3),(2,4),共2种，所以两张卡片上的数字为和为偶

数的概率芍.

11.答案：A

解析：因为sin(|(a-蒯=-3cos(|(a-箭|,所以］sina-f)osa=-3根乎cosa-3根gsina,则

2sina=cosa,即tana=-.所以tan2a="ana,故选A.

21-tan2a〔_义

4

12.答案：A

解析：因为偶函数f(x)在(-w,0］上单调递减，且f(4)=0,

所以根据偶函数的对称性可知，f(x)在(0,+w)上单调递增，且f(-4)=0,

"。可得朦静朦°,

即配'或优<0,

解得x>4或-4<x<0.故选A.

13.答案：我

解析：由题意得2a-b=(-1,4-m).又因为aJ(2a-b),所以-1+8-2m=0,解得m=1,所以

2

a-2b=(-5,-5),\a-2b|=啦.

14.答案：逑回

解析：设圆的半径为r,则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为

2兀桂32nr）44（gMJ也一吗r））j后

2--------2=4,--------2=与，所以两圆锥的体积之比为q——-——V'旦”.

2兀7,，2兀7/取

4-42I-42附

3"）（|（70）|V-（|（/））|

15.答案：生

10

4

解析：由题图可知匚=2TT--=—,所以T二口，因此。="J,所以f仅）=Sin-（|（x+v））|,

2442T5"5

又函数图象过点（2兀,1）,所以sin（|铲+V））|=1,k=Z,解得v=2k7i*,

10

k=Z,

又因为|V|<7T,所以V二匣.故答案为四.

1010

16.答案：2+y2=1

4

解析：a=2b,b2+C2=as,:C2=3b2.

又PF」PF,:|PFp+pF\=（2C）2=12b2,由椭圆定义可知

1212

|PF|+pF*2a=4b,（pF卜中F）f=12b2+4=16b2,:b2=1,a?=4.:椭圆的标准方程为—+y2=1.

12124

17.答案：（1）理科学生得分的平均值为73分.

（2）表格见解析，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

解析：（1）由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得2n=m+0.015.

又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,则（0.015+n+m+0.015+0.010））10=1,

解得m=0.035,n=0.025,

:理科学生得分的平均值为(55)0.015+65)0.025+75)0.035+85)0.015+95)0.010)〉10=73(分).

(2)理科学生优秀的人数为(0.015+0.010))10)600=150,

:补全2X2列联表如表所示,

优秀不优秀合计

理科生150450600

文科生50350400

合计2008001000

1000)(150)350-450)50>

1\2—...->1U.O^o，

600)400)200)800

：有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

18.答案：（1）a=2n+1.

（2）S=-2n+i+ri2+2n+2.

解析：(1)因为aa成等比数列，所以a.a=45,

2424

即(a+d)(a+3d)=45.

11

因为a=3,所以(3+d)(1+d)=15,即d2+4d—12=0,

1

所以d=2或・6(舍去)，

所以a=2n+1.

n

⑵由⑴知,b=(2n+1)—2n,

n

所以S=b+b+...+b=3+5+...+(2n+1)—(2+4+...+2n)=3+2n+1n_2(12n)

n12n21—2

=(n+2).n—(2n+i—2)=-2n+i+02+2n+2.

19.答案：(1)见解析

(2)当P为AM的中点时，MC〃平面PBD.理由见解析

解析：(1)由题设知，平面CMDJ平面ABCD,交线为CD.

因为BCJCD,BC仁平面ABCD,

所以BCJ平面CMD.

又DM仁平面CMD,故BC」DM.

因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DM」CM.

又BCOCM=C，所以DM」平面BMC.

又DM彳二平面AMD,所以平面AMDJ平面BMC.

(2)当P为AM的中点时，MC〃平面PBD.

证明如下：连接AC,BD并交于点0.因为四边形ABCD为矩形，所以。为AC的中点.

因为P为AM的中点，

所以MC〃OP.

又因为MC仁/平面PBD,0P仁平面PBD,所以MC//平面PBD.

20.答案：（1）x+y+1=0.

⑵a仁（［（f引.

解析：⑴当a=1时，f(x)=x2-ex,f,(x)=2x-ex,

则f(0)=0-eo=-1,f,(O)=0-e(>=-1»

所以切线方程为y+1=-1(x-0)，即x+y+1=0.

⑵当x>0时，f(x)共-x-1恒成立，即2*2-6*+*+1共0在[0，+'^)上恒成立,

设g(x)=ax2-e»+x+1,则g,(x)=2ax-e»+1,g,,(x)=2a-e><,

1

①当a%时，2a共1,此时ex>e0=1，

则g,,(x)共0,可知g,(x)在b,+w)上单调递减,

则g(x)共g(0)=0,所以g(x)在【0,+w)上单调递减，

所以g(x)共g(0)=0,即f(x)共-X-1恒成立，所以a共1满足题意，

2

②当a>1』j,令g,,(x)=0,解得x=ln2a,

2

当x=[0,ln2a)时，g,,(x)>0,则g,(x)单调递增，此时g,(0)=0,

则g(x)在10,In2a)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,

即当x=[o,ln2a)时，f(x)>-x-1,即f(x)共-x-1不恒成立，可知a>_L不合题意,

2

牡所述，a=(|(-w』.

21.答案：⑴方程为X2=8y.

(2)方程为3x+4y-8=0.

解析：⑴由题意得F"，|FP|的最小值为乐.

解得p=4,

所以抛物线C的方程为X2=8y.

⑵设A(x,y),B(x,y),P(x,y),

112200

由⑴知y=竺，所以y,=2,

84

则切线PA的方程为y-y=2L(x-x),

141

即xx=4(y+y)；

11

同理PB的方程为xx=4(y+y).

22

将P(x,y)分别RAPA和PB方程可得(X"=少+%

00]xx=4Iy+y,