2022届中考数学压轴题押题及答案

2022年中考数学压轴题

1.如图，抛物线y=-f+bx+c与X轴交于4B两点(/在8的左侧)，与沙轴交于点N,

过4点的直线/：y=丘+”与y轴交于点C,与抛物线y=-f+bx+c的另一个交点为。，

已知Z(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-~+6x+c上一动点(不与小D重合).

(1)求抛物线和直线/的解析式；

(2)当点尸在直线/上方的抛物线上时，过尸点作「8〃》轴交直线/于点E,作尸尸〃y

轴交直线/于点F,求'的最大值；

(3)设A/为直线/上的点，探究是否存在点使得以点N、C,M、尸为顶点的四边

形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)将点/、o的坐标代入直线表达式得：fr/c+n=0,,解得：卜=一：

故直线/的表达式为：y=-x-\,

将点”、。的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：y=-X2+3X+4；

(2)直线/的表达式为：y=-x-\,则直线/与x轴的夹角为45°,

即：则尸E=PF,

设点尸坐标为(x,-/+3x+4)、则点尸(x,-x-1),

PE+PF=2PF=2(-X2+3X+4+X+1)=-2(x-2)2+18,

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V-2<0,故尸E+尸产有最大值,

当x=2时，其最大值为18；

（3）NC=5,

①当NC是平行四边形的一条边时，

设点P坐标为（x,-f+3x+4）、则点/（x,-%-1）,

由题意得：\yM~yp\=5,即：|-/+3x+4+x+11=5,

解得：x=2±g或0或4（舍去0）,

则点M坐标为（2+旧，-3-旧）或（2-旧，-3+小）或（4,-5）；

②当NC是平行四边形的对角线时，

3

则NC的中点坐标为（0,-）,

设点P坐标为（m,-/+点+4）、则点M（n,-n-1）,

N、C,M、尸为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为中点，

即：“解得：｛巾=4

I—mz+3m4-4—n—1=3In=—4

故点〃（-4,3）；

故点M的坐标为：（2+旧，-3-E）或（2-E，-3+VH）或（4,-5）或（-

4,3）.

2.如图，在平面直角坐标系xoy中，。为坐标原点，点/（4,0）,点B（0,4）,/\ABO

的中线/C与y轴交于点C,且OM经过O,A,C三点.

（1）求圆心"的坐标；

（2）若直线与OM相切于点4交y轴于点。，求直线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点8且以圆心加为顶点的抛物线上有一动点P,过点尸作

PE〃y轴，交直线4。于点£若以PE为半径的。尸与直线相交于另一点F.当EF

=4近时，求点尸的坐标.

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•.•点/(4,0),则点M(2,1)；

(2)应该是圆M与直线力。相切，则/。/。=90°,

设：ZCAO^a,则NC/O=/O£M=/PE4=a,

/i八0C1.12

tanZG4(7=诋==tana,贝fflliljsma=而，cosa=存,

.__Ar

心何，则=10,

则点。(0,-8),

将点小。的坐标代入一次函数表达式：y=/nx+〃并解得:

直线49的表达式为：y=2x-8；

(3)抛物线的表达式为：y=a(x-2)2+1,

将点B坐标代入上式并解得：“=p4,

故抛物线的表达式为：)，=¥-3x+4,

过点P作则£7/=共五=2遥,

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解得：PE=5,

3

设点尸(x,~X2-3X+4),则点E(x,2x-8),

4

则PE=Jr2-3x+4-2x+8=5,

解得x=竽或2,

1419

则点尸(y,―)或(2,1).

3.已知二次函数尸ax(x-3)+c(4/<0；0WxW3),反比例函数尸器(x>0,k>0)图

k

象如图1所示，反比例函数y=亍(x>0,k>0)的图象经过点尸(/n,〃)，尸A/J_x轴，

垂足为轴，垂足为N；且。MX0N=12.(1)求A的值.

(2)确定二次函数y=ax(x-3)+c(a<0,O0W3)对称轴，并计算当。取-1时二

次函数的最大值.(用含有字母c的式子表示)

(3)当c=0时，计算抛物线与x轴的两个交点之间的距离.

(4)如图2,当”=1时，抛物线y=ax(x-3)+c(a<0,0WxW3)有一时刻恰好经

过P点，且此时抛物线与双曲线y=[(x>0,k>0)有且只有一个公共点尸(如图2所

示)，我们不妨把此时刻的c记作ci,请直接写出抛物线y=ax(x-3)+c(a<0,OWx

W3)的图象与双曲线y=5(x>0,%>0)的图象有一个公共点时c的取值范围.

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解：(1)由。MX0N=12,则A=OMXON=12；

(2)y=ax(x-3)+c的对称轴为x=—

当a=-1时，函数(x-3)+c=-x(x-3)+c,

QQ

即y=-X2+3X+C=-(x—2)2+4+c；

,9

,此时二次函数y=-x(x-3)+c(a<0；0«3)的最大值为1+c；

(3)当c=0时，二次函数y=ax(x-3)+c=ax(x-3)(a<0；0WxW3)；

此时令y=0，则ox(x-3)=0,'：a<0x(x-3)=0；

即x=0或3；

・・・二次函数》=仆(x-3)与x轴的两个交点为(0,0)和(3,0),

则抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3；

(4)①当cVci时,

抛物线-X(X-3)+c的图象与双曲线y=［没有公共点；

②当c-c\时，

b

抛物线N=-X(X-3)+c(a<0；O0W3)的图象与双曲线y=右有唯一公共点P；

③当C>CI时，

抛物线向上平移，当抛物线右端点正好落在双曲线上时，不妨设此时点8的坐标为(3,

ci),ci=4,

.•.当ci<cW4时，抛物线与双曲线有两个公共点：

④当c>4时，抛物线y=-x(x-3)+c(a<0：0«)的图象和双曲线始终有一个

公共点；

所以当c>4时;抛物线y=-x(x-3)+c(tz<0；04W3)的图象和双曲线

始终有一个公共点.

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4.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为

该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,/£是△/8C中NZ的遥望角，若N/=a,请用含a的代数式表示NE.

(2)如图2,四边形N8CD内接于。。，AD^BD,四边形N8CD的外角平分线。下交

。。于点尸，连结8尸并延长交CD的延长线于点E.求证：NBEC是AABC中NBAC

的遥望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结/E,AF,若NC是。。的直径.

①求的度数；

②若48=8,CD=5,求△£>£尸的面积.

图1图2图3

解：(1),:BE平分N4BC,CE平分N4C。，

111

・•・ZE=ZECD-ZEBD=/(ZACD-NABC)=/4=知

(2)如图1,延长5c到点7,

图1

•・•四边形/8co内接于O。,

AZFDC+ZFBC=\SO°,

又•：/FDE+NFDC=18O0,

・•・/FDE=/FBC,

♦：DF平分/ADE,

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/•ZADF=/FDE,

=/ADF=/ABF,

：.NABF=/FBC,

•••8E是N43C的平分线，

*：AD=前，

，NACD=/BFD,

VZBFD^ZBCD=\^O0,ZDCT+ZBCD=\SO0,

:・/DCT=/BFD,

・・・ZACD=ZDCTf

：.CE是△48C的外角平分线，

・•・NBEC是AABC中Z.BAC的遥望角.

(3)①如图2,连接CE

图2

丁ZBEC是△力中NBAC的遥望角,

:・/BAC=2/BEC,

*/NBFC=NBAC,

：./BFC=2/BEC,

ZBFC=/BEC+/FCE,

:./BEC=/FCE,

*.•/FCE=NE4D,

:./BEC=/FAD,

又*：/FDE=/FDA,FD=FD,

:./XFDE/AFDA(力力S),

：・DE=DA,

：.NAED=NDAE,

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•・ZC是。。的直径，

AZADC=90°,

AZAED+ZDAE=90°,

ZAED=ZDAE=45°,

②如图3,过点/作ZGLBE于点G,过点F作句于点M,

图3

・・ZC是。。的直径，

AZABC=90°,

・・浜平分NZ3C,

，ZFAC=NEBC=^ZABC=45°,

VZAED=45°,

，NAED=NE4C,

*.*/FED=/FAD,

：.ZAED-ZFED=ZE4C-NFAD,

：.NAEG=NCAD,

u：ZEGA=ZADC=90°,

：./\EGA^/\ADCf

AEAG

••__•_—_，

ACCD

「在RtZ\4BG中，43=8,ZABG=45°,

:"G=芍AB=4立,

在RtZXZDE中，AE=y/2AD,

・五AD_4V2

AC=~f

9AD4

・・前一5f

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在RtzXADC中，AD1+DC1=AC1,

.,.设4D=4x,/C=5x,则有(4x)2+52=(5x)2,

.5

20

:.ED=AD=",

35

：・CE=CD+DE=¥，

'：NBEC=/FCE,

:・FC=FE,

•：FM_LCE,

：.EM=^CE=^-,

:.DM=DE-EM=j,

6

VZFDM=45°,

:.FM=DM=3,

6

•-S£,DEF=^DE'FM=等.

5.如图，已知/C,8。为。。的两条直径，连接Z8,BC,0EL/8于点E,点厂是半径

OC的中点，连接EF.

(1)设的半径为1,若NBAC=30°,求线段EF的长.

(2)连接8F,DF,设。8与EF交于点尸，

①求证：PE—PF.

②若DF=EF,求N84C的度数.

⑴解：'：OELAB,N8/C=30°,O