2022年辽宁省本溪市中考数学试卷（附答案详解）

2022年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.5的相反数是（）

A.-5B.-：C.5D.

2.如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的

俯视图是（）

A.（a2）4=a6B.a2-a4=a6C.a2+a4=a6D.a2a4=a6

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示:

尺码/cm2222.52323.52424.525

销售量/

12511731

双

所售30双女鞋尺码的众数是（）

A.25cmB.24cmC.23.5cmD.23cm

6.下列一元二次方程无实数根的是（）

A.x2+%—2=0B./-2%=0

C.%2+%+5=0D.%2—2%4-1=0

7.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计

图.根据统计图得出的结论正确的是（）

12345678910次数

A.甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定

B.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数

C.甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数

D.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数

8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ktx+瓦与

y=k2x+与的图象分别为直线k和直线G，下列结论正确

的是（）

A.-k2<0

B.kt+k2<0

C.瓦一<0

D.瓦也<0

9.《孙子算经少中有一道题，原文是：“今有木，不知长短,引绳度之，余绳四尺五

寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子

还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长久尺,

木长y尺，所列方程组正确的是（）

第2页，共27页

x—y=4.5R(y—x=4.5„(x~y=4.5y-x—4.5

D.

2x+1=y'(2x—1=y[|%+1=y-1=y

10.抛物线y=a/+bx+。的部分图象如图所示，对称

轴为直线x=-1,直线y=kx+c与抛物线都经过点

(一3,0).下列说法：@ab>0；②4a+c>0；③若

(一2,%)与(1,y2)是抛物线上的两个点，则yi<y2：

④方程a/+匕％+c=0的两根为X]=—3,x2=1；

⑤当x=-1时，函数y=a/+(b-k)x有最大

值.其中正确的个数是()

A.2B.3C.4D.5

二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)

11.2022年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为12000平方米，为亚洲最大，将数

据12000用科学记数法表示为.

12.分解因式：ax:?—a=.

13.反比例函数y=3的图象经过点4(1,3),则k的值是

14.质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示:

抽检产品数

1001502002503005001000

n

合格产品数

89134179226271451904

m

合格率T0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是(结果保留一位小数)

15.在平面直角坐标系中，线段AB的端点4(3,2),B(5,2),将线段ZB平移得到线段CD,

点4的对应点C的坐标是(—1,2),则点B的对应点。的坐标是.

16.如图，在△ABC中，AB=AC,=54。，以点C为

圆心，C力长为半径作弧交AB于点D,分别以点4和点

。为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E,

作直线CE,交ZB于点F,则乙4CF的度数是.

17.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，48=60。，BC=2,点P为斜边48上的一个

动点（点P不与点4、B重合），过点P作PD14C,PE1BC,垂足分别为点。和点E,

连接DE,PC交于点Q,连接力Q,当为直角三角形时，AP的长是.

18.如图，正方形4BCD的边长为10,点G是边CC的中点，

点E是边4D上一动点，连接BE,将△ABE沿BE翻折

得至lUFBE,连接GF,当GF最小时，4E的长是

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

19.先化简，再求值：（2+白）一笔，其中a=4.

a—2a+2a+2

20.根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，并设置了5个

岗位：4防疫宣传；B.协助核酸采样；C.物资配送；D.环境消杀；E.心理服务，众

多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位.光明社区统计了本社

区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表.

光明社区志愿者报名情况统计表

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冈包.频数(人)频率

A600.15

Ba0.25

C1600.40

D600.15

E20C

合计b1.00

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

(1)6=，c=；

(2)补全条形统计图；

(3)光明社区约有4000人，请你估计该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者？

(4)光明社区从报名“心理服务”岗位的20人中筛选出4名志愿者，这4人中有2人是

一级心理咨询师，2人是二级心理咨询师，现从4人中随机选取2人负责心理服务热

线，请用列表或画树状图的方法求所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率.

21.麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排4,8两种型号的收割机进行小麦收

割作业.已知一台4型收割机比一台8型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台4型

收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.

(1)一台4型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？

(2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成

不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？

22.如图，B港口在4港口的南偏西25。方向上，距离4港口100海里处.一艘货轮航行到

C处，发现A港口在货轮的北偏西25。方向，B港口在货轮的北偏西70。方向.求此时

货轮与4港口的距离(结果取整数).

(参考数据：sin50°*0.766,cos50°«0.643,tan50°«1.192,V2x1.414)

北

23.某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不

高于18元.经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满

足如图所示的一次函数关系.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是

多少？

24.如图，在RtAABC中，^ACB=90°,nODEF的顶点。，D在斜边4B上，顶点E,F分

别在边BC,4c上，以点。为圆心，。4长为半径的。。恰好经过点。和点E.

(1)求证：BC与。。相切；

(2)若sin/BAC=|,CE=6,求。尸的长.

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25.在4ABC中，ABAC=90°,AB=AC,线段AB绕点工逆时针旋转至AD(AD不与AC重

合)，旋转角记为a,4D4C的平分线4E与射线BD相交于点E,连接EC.

(1)如图①，当a=20。时，乙4EB的度数是；

(2)如图②，当0。＜。＜90。时，求证：BD+2CE=V2AE;

(3)当0。＜a＜180。，4E=2CE时，请直接写出黑的值.

图①备用图

26.如图，抛物线3/=£1%2-3刀+＜:与％轴交于4(-4,0),B两点，与y轴交于点C(0,4),

点。为x轴上方抛物线上的动点，射线。。交直线4c于点E,将射线。。绕点0逆时针

旋转45。得到射线OP,OP交直线4c于点F,连接DF.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点。在第二象限且署=：时，求点。的坐标；

(3)当4。。尸为直角三角形时，请直接写出点。的坐标.

第8页，共27页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：5的相反数是-5,

故选:A.

根据相反数的概念解答即可.

本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

2.【答案】B

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形，

故选：B.

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

3.【答案】B

【解析】解：4（。2）4=。8,故A选项错误；

B.a2-a4=a6,故8选项正确；

（7〃2+&4力。6,故。选项错误；

D.a2-i-a4=a~2=故。选项错误；

故选：B.

根据嘉的乘方运算法则，同底数基的乘法法则，合并同类项，同底数基的除法法则解答

即可.

本题主要考查了累的乘方，同底数塞的乘法，合并同类项，同底数塞的除法，熟练掌握

相关运算法则是解答本题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：4不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

5.【答案】C

【解析】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，23.5出现的次数最多，

二众数是23.5cm.

故选：C.

根据众数的意义解答即可.

本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键.

6.【答案】C

【解析】解：4、4=M-4x1x(-2)=9>0,则该方程有两个不相等的实数根，故

本选项不符合题意；

8、4=(—2)2—4xlx0=4>0,则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合

题意；

C、zl=l2-4xlx5=-19<0,则该方程无实数根，故本选项符合题意；

。、4=(一2产—4X1X1=0,则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据一元二次方程根的情况与判别式4的关系：(1)4>0Q方程有两个不相等的实数根;

(2)4=0=方程有两个相等的实数根；(3)21<00方程没有实数根判断即可.

此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程a/+b久+c=o(aR。)，当

b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当非-4ac=0时，方程有两个相等的

实数根；当匕2一4砒<0时，方程无实数根.

7.【答案】A

【解析】解：由图可得，甲射击10次的成绩分别为5,6,6,7,5,6,6,6,7,6；

乙射击10次的成绩分别为9,5,3,6,9,10,4,7,8,9.

甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；

甲的众数是6,乙的众数是9,故B错误，不符合题意；

甲的平均数为2x(5+6+6+7+5+6+6+6+7+6)=6,乙的平均数为二x(9+

5+3+6+9+10+4+7+8+9)=7,故C错误，不符合题意；

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甲的中位数是6,乙的中位数是7.5,故。错误，不符合题意.

故选：A.

分别根据方差、众数、平均数和中位数的定义解答即可.

本题考查数据的收集与整理，熟练掌握方差、众数、平均数和中位数的意义是解题关键.

8.【答案】D

【解析】解：；一次函数丫=/qx+瓦的图象过一、二、三象限，

二自>0,瓦>0,

；一次函数y=七刀+的图象过一、三、四象限，

:.卜。，

2>b2<0,

、故不符合题意；

.♦.4kr-k2>0>A

、故不符合题意；

Bkr+k2>0,8

、故不符合题意；

Cb1-b2>0,C

D、瓦/2<0,故。符合题意；

故选：D.

根据一次函数瓦与=心％+的图象位置，可得的>瓦>

y=/qx+y0，0,k2>0,

然后逐一判断即可解答.

b2<0,

本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：••・用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，

■■x—y=4.5；

•••将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，

•••|x+1=y.

fx—y=4.5

•••所列方程组为i.

(-X+1=y

故选：C.

根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，

即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程

组是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：・♦•抛物线的开口方向向下,

:.Q<0.

••・抛物线的对称轴为直线％=-1,

b=2a,b<0,

va<0,b<0,

Aab>0,

・•.①的结论正确；

,・,抛物线y=ax2+b%+c经过点(-3,0),

:.9Q—3b+c=0,

・•・9Q—3x2a+c=0,

・•・3Q+c=0.

••・4Q+c=aV0,

.・.②的结论不正确；

•.・抛物线的对称轴为直线x=-1,

二点(一2,yi)关于直线久=一1对称的对称点为(0,yi)，

va<0,

二当》>—1时，y随x的增大而减小.

I>0>-1,

•••yi>y2-

③的结论不正确；

•.・抛物线的对称轴为直线％=-1,抛物线经过点(-3,0),

•••抛物线一定经过点(L0)，

二抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为-3,1,

二方程a/+bx+c=0的两根为=-3,&=1，

.•.④的结论正确；

•••直线y-kx+c经过点(一3,0),

:.—3k+c=0,

：•c=3k.

丁3Q+c=0,

第12页，共27页

**•c——3Q,

:.3k=—3a,

・•.fc=­a.

・•・函数y=ax2+(b—fc)x

=ax2+(2a+a)x

=ax2+3ax

=a(x+|)2+^a2,

va<0,

.•.当工=一决寸，函数丫=谓+9-小有最大值，

⑤的结论不正确.

综上，结论正确的有：①④，

故选：A.

利用图象的信息与已知条件求得a,b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每

个结论进行逐一判断即可得出结论.

本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，

一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与

已知条件求得a,b的关系式是解题的关键.

11.【答案】1.2x104

【解析】解：12000用科学记数法表示为1.2x104.

故答案为：1.2X104.

科学记数法就是用球的方式来表示，写成ax10”的形式，其中n=位数一1.

本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幕的方式来表示，科学记数法表示数时要注

意其指数是正指数、还是负指数.

12.【答案】a(x+l)(x—l)

【解析】解：a/-a,

=a(x2—1)

=a(x+1)(尤—1).

应先提取公因式a,再利用平方差公式进行二次分解.

主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能

再分解为止.

13.【答案】3

【解析】解：••・反比例函数y=：的图象经过点4(1,3),

[k=1x3=3,

故答案为：3.

根据反比例函数的性质解答即可.

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答本

题的关键.

14.【答案】0.9

【解析】解：由表格中的数据可得，

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9,

故答案为：0.9.

根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的

概率.

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答.

15.【答案】(1,2)

【解析】解：•.•点4(3,2)的对应点。的坐标为(一1,2),

••・平移规律为向左平移4个单位，

B(5,2)的对应点。的坐标为(1,2).

故答案为：(1,2).

根据点4、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可.

本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减;

纵坐标上移加，下移减.

16.【答案】18°

【解析】解：由作图可得，AFVAB,

•••lBFC=90°,

•••NBCF=90°-NB=36°,

又AB=4C,ZB=54°,

第14页，共27页

^ACB=NB=54°,

•••乙ACF=54°-36°=18°,

故答案为：18°.

由尺规作图可得CF1AB,再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可.

本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的

性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提.

17.【答案】3或2百

【解析】解：在RtAZBC中，Z.ACB=90°,NB=60。，BC=2,

•••4BAC=30°,

•••AB=2BC=2x2=4,

AC=5MB2-842=V42-22=2V3.

当乙4PQ=90。时，如图1,

图1

在RM4BC中，/.ACB=90°,48=60。，BC=2,

/.BAC=30°,

:.AB=2BC=2x2=4,

22

AAC=7AB2—BC2=V4-2=2V

vZ.APQ=Z.ACB=90°,/-CAP=Z.BAC,

.，.△C4Ps△SAC,

••一二—,U|J--=——,

APACAP2V3

.-.AP=3,

当乙4QP=90。时,如图2,

-PDLAC,PE上BC,/-ACB=90°,

四边形DPEC是矩形，

•••CQ=QP,

•：Z.AQP=90°,

•••AQ垂直平分CP，

AP=AC=2V3，

综上所述，当AHPQ为直角三角形时，4P的长是3或2百，

故答案为：3或2v

由已知求出AB=4,4C=2百，再分乙4PQ=90。和乙4QP=90。两种情况进行讨论，

即可求出答案.

本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含30度角的直角三角形

的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，

分类讨论的数学思想是解决问题的关键.

18.【答案】5A/5-5

【解析】解：••・将AABE沿BE翻折得至必FBE,

BF=BA=10,

・・•点尸在以B为圆心，10为半径的圆上运动，

当点G、尸、B三点共线时，GF最小，

连接EG,设AE=x,

由勾股定理得，BG=S圾,

VS梯形ABGD=S4EDG+^tiABE+^AEBG,

I(5+10)x10=1x5x(10-x)+1x10x+1x5得，

解得x=5V5—5>

•••AE=5V5-5-

故答案为：5V5-5.

由翻折知B尸=B4=10,得点尸在以B为圆心，10为半径的圆上运动，可知当点G、F、

第16页，共27页

B三点共线时，GF最小，再利用面积法可得力E的长.

本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时,

GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度.

3a+6a+2

.【答案】解：原式=[

19(a+2)(a—2)a+1

4(a+l)a+2

(a+2)(a—2)a+1

4

a-21

当a=4时，原式=3=2.

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

20.【答案】4000.05

【解析】解：(1)统计的志愿者总人数明社区志屈％报名情况条形统计

为:60+0.15=400,

•••b=400,

c=20+400=0.05,

故答案为：400,0.05；

(2)a=400x0.25=100,

补全的条形统计图如右图所示；

(“6。x盘=6(万人)，

答：估计该市市区60万人口中有石万

人报名当志愿者；

(4)设一级心理咨询师用A表示，二级心理咨询师用B表示,

树状图如下所示：

开始

AABB

小/N/T\

ABBBBAABAAB

由上可得，一共有12种可能性，其中所选2人恰好都是一级心理咨询师有2种可能性,

所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率为鼻=

126

(1)根据A岗位的频数和频率，可以计算出统计的志愿者总人数，然后再计算出c的值即

可；

(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出a的值，从而可以将条形统计

图补充完整；

(3)根据题意和统计图中的数据，可以计算出该市市区60万人口中有多少人报名当志愿

者；

(4)根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可.

本题考查列表法与树状图法、频数分布表、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，

利用数形结合的思想解答.

21.【答案】解：(1)设一台B型收割机平均每天收割小麦4公顷，则一台4型收割机平均

每天收割小麦(x+2)公顷，

依题意得：々=2，

x+2x

解得：x=3,

经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，

二x+2=3+2=5.

答：一台4型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷.

(2)设安排m台4型收割机，则安排(12-m台B型收割机，

依题意得：5771+3(12—771)>50,

解得：m>7.

答：至少要安排7台4型收割机.

【解析】(1)设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台4型收割机平均每天收

割小麦(x+2)公顷，利用工作时间=工作总量+工作效率，结合一台4型收割机收割15公

顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于x的分式

方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设安排m台4型收割机,则安排(12-m)台B型收割机,根据要确保每天完成不少于50

公顷的小麦收割任务，即可得出关于小的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得

出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量

关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

第18页，共27页

22.【答案】解：过点8作8014C,垂足为

由题意得：

乙BAC=25°+25°=50°,4BCA=70°-25°=45°,

在RtzMBD中，4B=100海里，

AD=AB-cos50°«100X0.643=64.3（海里），

BD=AB•sin50°«100X0.766=76.6（海里），

在中，CD=7^=76.6（海里），

tan450'

AC=AD+CD=64.3+76.6®141（海里），

;此时货轮与4港口的距离约为141海里.

【解析】过点B作BDJ.4C,垂足为D,根据题意得：^BAC=50°,^BCA=45°,然后

在中，利用锐角三角函数的定义求出AD,BD的长，再在RtABDC中，利用

锐角三角函数的定义求出C。的长，最后进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(kR0),

由所给函数图象可知：{晨":谯,

解得:{£=益，

3=500

故y与％的函数关系式为y=-20%+500；

(2)vy=-20%+500,

・•・w=(%—13)y=(x—13)(—20x4-500)

=-20/+760%—6500

=-20(%-19尸+720,

■:—20V0,

二当x<19时，w随尤的增大而增大，

v13<%<18,

.•・当％=18时，w有最大值，最大值为700,

售价定为18元/件时，每天最大利润为700元.

【解析】(1)设y与X之间的函数关系式为y=kx+b(k¥0),然后用待定系数法求函数

解析式；

(2)根据利润=单件利润x销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值

范围求出函数最值.

本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润x销售量列出函数解析式.

24.【答案】(1)证明：连接OE,

ATB

・・•四边形。DEF是平行四边形，

EF//OD,EF=OD,

•・,OA=OD,

AEF//OA,EF=OA,

・•・四边形/OEF是平行四边形，

:.OE//AC,

・•・Z,OEB=乙ACB,

・・•乙ACB=90°,

・•・Z-OEB=90°,

:.OE1BC,

•••OE是。。的半径，

•••BC与。。相切；

(2)解：过点F作1于点H,

第20页，共27页

・・•四边形AOEF是平行四边形,

・・・EF//OA,

・•・Z-CFE=乙CAB,

3

smZ-CFE=sinZ-CAB=

在RtZkCEF中，Z.ACB=90°,

vCE=6,sinzCFE=—,

,・•四边形/OFF是平行四边形，且。4=OE,

二口40%是菱形，

.・・=AO=EF=10,

在RtZkAFH中，Z.AHF=90°,

vAF=10,Sinz-CAB=去，

FH=AF-sin/CAB=10x13=6,

vAH2=AF2-FH2,

•••AH=y/AF2-FH2=8.

OH=AO-AH=10-8=2,

在RtZkOFH中，Z.FHO=90°,

vOF2=OH2+FH2,

：.OF=y/OH2+FH2=V22+62=2V10，

•••OF=2V10.

【解析】(1)连接。E，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边

形，贝|JOE〃AC,从而得出4OEB=90。，从而证明结论；

(2)过点尸作FH1。4于点H,根据sin"FE=sin^CAB=|,可得EF的长，由。A=OE,

得Q40EF是菱形，则4F=AO=EF=10,从而得出FH和ZH的长，进而求出OF的长.

本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定

理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键.

25.【答案】45。

【解析】(1)解：•••线段4B绕点4逆时针旋转a至4。，a=20。,

•••ABAD=20°,AB=AD,

1

乙ADB=/.ABD=：x(180°-20°)=80°,

又；乙BAC=90°,

Z.DAC=70°,

：4E平分4ZMC,

乙DAE=-2/.DAC=35°,

・•.Z.AEB=Z.ADB-Z-DAE=80°-35°=45°,

故答案为：45°；

(2)证明：延长。B到F,使8F=CE,连接4F,

・•・AD=AC,

•・•AE平分乙DAC,

:.Z.DAE=Z-CAE,

又・••/£=AE,

-乙DEA=乙CEA,Z-ADE—Z.ACE,DE=CE,

•••AB=AD,

・•・乙ABD=Z.ADB,

vZ.ADE+/.ADB=180°,

・•・Z.ACE+乙ABD=180°,

第22页，共27页

・・•^BAC=90°,

・・.乙BEC=360°-+/.ABD)-Z-BAC=360°-180°-90°=90°,

vZ.DEA=Z.CEA,

.・"弘="必=99。。=45。,

•••乙ABF+乙ABD=180°,乙ACE+乙ABD=180°,

-乙ABF=Z-ACE,

-AB=AC,BF=CE,

.•・△48/三△acE(sas),

・•・AF=AEf乙AFB=^AEC=45°,

・•・LFAE=180°-45°-45°=90°,

在RtZkAFE「口，^FAE=90°,

4E

vcosZ-AEF=—,

AE

・•.EF=--------==y/2AE,

COS/.AEFcos45°

•・•EF=BF+8。+DE=CE+8。+CE=80+2CE,

・•・BD+2CE=五AE・,

(3)解：如图3,当0。＜0＜90。时,

由(2)可知BD+2CE=内七,CE=DE,

-AE=2CE,

:・BD+2DE=2gE，

器=2企-2；

如图4,当90。＜«V180。时,

刃

B

图4

在BD上截取BF=DE,连接4/，方法同(2)可证△ADEw/kACE(SAS),

:.DE=CE,

vAB=AC=AD,

・•・乙ABF=Z.ADE,

•••△/"三△4DE(S/S),

:.AF=AE,Z-BAF=4DAE,

又・・•乙DAE=Z-CAE,

Z.BAF=Z.CAE,

:./-EAF=乙FAC+乙CAE=/.FAC