2022届海南省海口市高三学生学能力诊断（二）数学试题（解析版）

2022届海南省海口市高三学生学能力诊断(二)数学试题

一、单选题

1.已知集合4={x[O<x<4},«={X|X2-5X+6=0},则仅A)C8=()

A.0B.{1}C.{2}D.{2,3}

【答案】A

【分析】先求出集合3,然后再根据交集和补集运算得出答案.

【详解】由f-5x+6=0解得x=2或x=3,即8={2,3}.

又备A={x|x<0或尤24},所以(际4)口8=0.

故选：A

2

2.复数丁下的虚部为()

1+31

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.

【详解】由已知得

22(1-3i)_2-6iJ3.

7+3i-(l+3i)(l-3i)-10，

则复数(1一3豆的虚部为-3

故选：D.

1v

3.已知x,)，€1<且兀工0,则“x>y”是“—>《■”的()

XX

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】C

【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】因为XN0,所以/>0,则“x>y”两边同除以r即可得至反过来

XX

同乘以V即可，故“x>y"是的充要条件.

XX

故选：C.

4.在核酸检测时，为了让标本中CWA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用

PCR技术对OVA进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA的数量X,,(单位：〃g/〃L)

与PCR扩增次数”满足X"=X°xl.6",其中X。为£WA的初始数量.己知某待测标本中

DNA的初始数量为0.1//g/〃L,核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10〃g/〃L,则

应对该标本进行PCR扩增的次数至少为()(参考数据：1g1.6。0.20,In1.6«0.47)

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.

【详解】由题意知X。=0.1,X„=10,令10=0.1X1.6",得1.6"=100,取以10为底的

对数得〃lgl.6=2,所以〃二与句。.

1g16

故选：B.

5.设公差不为0的等差数列｛5｝的前〃项和为S“，已知S9=3(%+%+/),则机=()

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根据等差数列的前”项和的性质及等差数列通项公式化简可得.

【详解】因为$9=3(生+45+4”)，又$9=9%,

所以9%=3(%+4+4”)，

所以a｝+a5+am=3as，即4+勺=2as，

设等差数列｛为｝的公差为d,

则q+2d+aA+=2(a]+4d),

所以(m+l)d=8d,又dwO,

所以l+/%=8,

所以"2=7.

故选：C.

6.已知双曲线4T=l(a>02>0)的两个焦点为耳，F2,以6为圆心，山用为

半径的圆与E交于点尸，若tan4；/”=2亚，则£的离心率为()

A.73B.2C.2&D.3

【答案】D

【分析】设|耳勾=2c,设线段”的中点为贝"PM|=c—。，在RtAFfM中，可

^\PFt\=3\PM\,从而可得出答案.

【详解】设归国=2c,根据题意可得|叫=2c,tan4改=2五＞0,々Pg为锐

角

则陶=2c-2a,设线段尸用的中点为M,^\PM\=c-a.

在RtZ^PM中，tan/F；PM=2夜，

则忻M|=201P，所以仍用==3|PM|,即2c=3（c-a）,

即生=3（g-1］得E的离心率£=3.

ayaJa

故选：D

7.如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3万，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,

A7石R7g「7715口79

361224

【答案】D

【分析】由条件结合扇形面积公式可求圆台的上下底面的半径，结合圆台的轴截面图形

可求圆台的高，利用圆台体积公式求其体积.

【详解】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为a,

1c1、7T

则其面积为］xax4-/xax2,=3%，得。二彳，

所以扇环的两个圆弧长分别为"和2万，

设圆台的上底半径，下底半径分别为、弓，圆台的高为力，

则2刀=兀、24弓=24

所以4=5，4=1，又圆台的母线长［=4-2=2

所以圆台的高为力=卜2一（］一£|一=半,

所以圆台的体积为V=g乃+l2+|xl乂呼=等兀.

故选：D.

8.已知函数/⑺是定义在R上的奇函数，函数g（x）=|x-2|f（x）的图象关于直线x=2

对称，若=则g（3）=（）

A.5B.1C.-1D.-5

【答案】B

【分析】分析可知g（x+2）=W/（x+2）是偶函数，利用偶函数的定义推导出

f（2-x）=〃2+x）,利用已知条件求出〃3）的值，即可求得g⑶的值.

【详解】因为g（x）的图象关于x=2对称，则g（x+2）=W/（x+2）是偶函数，

g（2-x）=|-x|/（2-x）=W/（2—x）,且g（x+2）=|x|/（x+2）,

所以，凶/（2—x）=W/（2+x）对任意的xwR恒成立，所以，/（2-x）=/（2+x）,

因为/（T）=T且/（x）为奇函数，所以，/（3）=/（2+1）=/（2-1）=-/（-1）=1,

因此，g（3）=|3-2|/（3）=/（l）=l.

故选：B.

二、多选题

9.一组样本数据与毛，…，与的平均数和中位数均为5,若去掉其中一个数据5,则

（）

A.平均数不变B.中位数不变C.极差不变D.方差不变

【答案】AC

【分析】根据平均数、中位数、极差、方差概念求解即可.

【详解】假设西4%<…《八，则原来的中位数为％=5,去掉％后，

平均数和极差不变，故A,C正确.

中位数为气土，这个值不一定为5,所以8不正确.

对于。，

原来的方差为s。=石[(司—5)+(x2—5)+.......+(x“—5)],

去掉％后，新的方差s；=历[(%一5)-+(*2-5)-+........+(x”-5)~],

因为去掉的数据恰好等于平均值，所以剩下的数据的方差不变或增大.

故选：AC

10.已知aw（万,2%），sina=黑"=tan',则（）

A.tan=A/3B.cosa=—C.tan/?=4GD.cos夕=g

【答案】BD

【分析】根据商的关系化简条件可求cosa,利用平方关系求sina,再由商的关系求

tana,再利用tan，，结合二倍角公式及同角三角函数关系求tan",cos/?.

【详解】因为sina=tanacosa=则0

2

所以cosa=g,又ore（万,2万），

所以sina=-3■,tana=-6,故A错误，B正确.

2

,BV3

tan—=------，

22

2tan2

所以tan/?=---------筌=-4g,

1-tan—

2

cos2--sin2-1-tan2—<

22=21

cosJ3==

sin2—+cos2—1+tan2—‘

222

故C错误，D正确.

故选：BD.

H.如图所示，正方体ABC。-44CQ的棱长为2,点E,尸分别为CG和8c的中点,

A.〃平面4ERB.4C，平面AER

4

C.平面AE。截正方体的截面面积为3D.点D到平面的距离为g

【答案】AD

【分析】如图所示，设BC的中点为G,连接GE和GA,GE与8c交于点/,连接AQ

与4R交于点儿连接”/.平面AE。截正方体所得的截面即AGE。，然后逐个分析判

断即可

【详解】如图所示，设BC的中点为G,连接GE,FG和GA,GE与gC交于点/,连接

\D与ADt交于点H,连接HI.平面AER截正方体所得的截面即AGED,.

5

因为在正方体ABCD-ASGR中，尸,G分别为B£,BC的中点，

所以87=BG,B\F〃BG,所以四边形BG五片为平行四边形，

所以FG=Bq,FG〃BB、,

因为44,=B8,,AA,//BB{,

所以FG=A4,,FG//AA,,

所以四边形AGFA为平行四边形，

所以4尸〃AG,

因为4尸（2平面AGu平面AEO1,

所以A尸〃平面AER,故A正确；

在矩形4片。中可看出8c与不垂直，所以与平面AER不垂直，故B错误;

截面AGER是一个等腰梯形，上底GE=0,下底AR=2&，在矩形AB。。中,

AH=DH=Rei=；B\C=4,所以m=2?+fV2乎所以

2

SAGED,=gx(\/5+20)x，^=g,故C错误;

=6GE=y/i,AE=dE+于+f=3,所以

AG2+GE2-AE25+2-91

cosZ.AGE=

2AGGE2M-x/io

因为NAG£e(0,7t),所以sinNAGE=Jl—卡=卡,

所以AGE=；

S,AG.GEsinNAGE=—XXX—=—

2V102,

设点D到平面AED1的距离为d,则VD-AGE=VE-ADG,

S.AGE,d=qS’AOG-CE,

3|44

所以二d=±x2x2xl,得(/=士,即点。到平面AE。的距离为所以D正确,

223

故选：AD

Di

12.已知函数〃x)及其导函数尸(x)满足才(x)—/(x)=x2(lnx+l),且/⑴=0,则

()

A.“X)在(1,一)上单调递增B.“X)在(；」)上有极小值

C.豆。的最小值为/D.。的最小值为0

XX

【答案】ABD

【分析】构造函数g(x)=W，利用导数运算公式求出函数g(x)的解析式，由此可得

函数/(X)的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.

【详解】设g(x)=§,则短(X)="/(')=Inx+1,

所以g(x)=xlnx+C(C为常数)，

所以/(x)=A^(X)=X2lnx+Cx,

又/⑴=0,所以C=0,

所以/(x)=x2]nx,/r(x)=x(21nx+l),

当0<%<2时，r(A-)<o,/(X)单调递减，

当》>七时，ra)>°，〃x)单调递增，

所以/(A-)在X=%处取得极小值，

因为1<五<2,所以3<%<兀

所以“X)在(；」)上有极小值

可知A,B都正确.

g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+l,

当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

e

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

e

所以g(x)的极小值即最小值为8(5=T，故C错误.

/(x)_f⑺=x(x—])lnx,

当0<x<l时，x-1<0,lnx<0,所以<(x)—"♦)>0,

当x>l时，x-l>0,Inx>0,所以/(x)-‘°)>0,

而当x=l时，/(l)一平=0,所以/")—牛的最小值为0,

故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.

三、填空题

13.函数/(x)=sin(2x-l)的最小正周期为.

【答案】兀

【分析】利用正弦函数的周期公式直接求解即可

【详解】/(x)的最小正周期为种=兀.

故答案为：兀

14.已知向量心5的夹角为45。，同=0,且次2,若(而+B)_L5,则4=.

【答案】-2

【分析】先利用数量积的运算求解W，再利用向量垂直数量积为0即可求解.

【详解】因为£石=|£陋上(《45。=2得忖=2,

又因为(。+田口,

所以(义£+44=/1£石+片=22+4=0,所以；1=一2.

故答案为：-2.

15.第二届消博会(中国国际消费品博览会)于2022年5月在海南国际会展中心举办,

甲、乙两人每人从4B,C,。四个不同的消博会展馆中选2个去参观，则他们参观的

展馆不完全相同但都参观A展馆的概率为.

【答案】|

【分析】首先根据题意得到全部基本事件为36种，再用列举法列出符合条件的基本事

件，即可得到答案.

【详解】甲选2个去参观，有第=6种方法，乙选2个去参观，有C：=6种方法，

所以共有6x6=36种，

他们参观的展馆不完全相同但都参观A展馆的情况有：(AB,AC),{AB,AD),

(AC,AB),(AC,AO),{AD,AB),(A£),AC),共6种，

所以对应的概率为「=三=」.

366

故答案为：

16.已知抛物线。：、2=22*(2>0)的焦点为尸，第一象限的A,8两点在C上，若

FALAB,|M|=5,|F5|=13,则直线"的斜率为.

【答案】立

2

【分析】利用抛物线的几何性质，以A8为斜边，构建直角三角形即可求解.

【详解】如图所示，设C的准线为/,分别过A,B作/的垂线，垂足分别为。，E,过

A作于点P.

由抛物线的定义可知|回=|刑=5,|明=|冏=13,所以忸"=13-5=8.又因为

FAVAB,|AB|=V132-52=12,所以|AP|=412?-8?=45行,所以直线A8的斜率

故答案为：字

【点睛】四、解答题

17.在AABC中，角AB,C的对边分别为。力,。,已知8=b=-a.

35

⑴求sinA；

（2）若。=5,AB边的中点为。，求8.

【答案】⑴侦

14

⑵万

【分析】（1）根据已知条件及正弦定理即可求解；

（1）根据已知及线段中点的关系，结合余弦定理即可求解.

【详解】（I）在J3C中，由正弦定理三得

sinAsinB

“asinB5.n5>/3

sinA=--------=—xsin—=------.

Z?7314

77

（2）由力=《〃及a=5,得匕=,〃=7,

△ABC中，由余弦定理层=a2+c,2-2accos3,得49=25+c?-5c,

即/—5c—24=0,解得。=8或c=—3（舍），所以AB=8,

又因为48边的中点为。，所以即80=4,

在△欣））中，由余弦定理得

CD2=BD2+a2-2«xBDxcos^=42+52-2x5x4xcos-=21,

3

所以CD="[.

18.已知数列｛《,｝的各项均为正整数且互不相等，记S“为｛4”｝的前n项和，从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛%｝是等比数列；②数歹U｛S,,+1｝是等比数列；③叼=4（4+1）.

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】证明见解析

【分析】选择①②为条件，③为结论.根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等

比数列前〃项和公式，结合等比中项即可求解；

选择①③为条件，②为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前〃

项和公式，结合等比数列的定义即可求解；

选择②③为条件，①为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，得出S“+l,再利用凡

与S“+l的关系，结合等比数列的定义即可求解.

【详解】选择①②为条件，③为结论.

证明过程如下：设等比数列｛凡｝的公比为g,由题意知4＞。且4rl.

2

则S[+1=4+1,§2+1=4+%q+1,S3+1=q+axq+axq+1,

因为｛S“+l｝是等比数列,所以氏+1）（，3+1）=（5+1）2,

即（q+l）（q+qq+a|/+l）=（q+a^4-l）2,展开整理得qd=利+的，

所以=+q,即色=4（4+1）.

选择①③为条件，②为结论，

证明过程如下：设｛q｝的公比为必由题意知且4Hl.

因为生=4（4+1）,即44=4（4+1）,因为《＞。，所以q=q+l.

所以S”=40一0'）二％-1）=q”-i,所以S,,+l=q".

i-qq

11M+1

因为E+I=q,=

所以｛S“+l｝是首项为4,公比为q的等比数列.

选择②③为条件，①为结论，

证明过程如下：设｛*+1｝的公比为。，由题意知。＞0且。=1.

则S.+1=0+1)0T=(4+1)。1,所以％=$2+1-(S,+1)=(4+l)(e-D,

又因为%=4(4+l),且q+1>0,所以4=。-1.所以S"+l=。”.

当〃22时，q=S,+1—(S,z+1)=Q"-。一=(。一I)。"-，

/=(。-叱

所以=0，

a；(Q-1)Q"2

所以｛氏｝是首项为。-1,公比为Q的等比数列.

19.如图，正三棱柱ABC-A4G的高和底面边长均为2,点尸，。分别为A£,BC的

中点.

(1)证明：平面AQG，平面BCG瓦；

(2)求直线BP与平面AQG所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)由于AABC是正三角形，。为BC的中点，可得AQ_LBC,再由正棱柱的

性质得则由线面垂直的判定定理可得AQL平面BCGBI，再由面面垂直的

判定定理可证得结论，

(2)设线段AC,AG的中点分别为。，。一以。为坐标原点，分别以OB,0C,00]

所在直线为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】(1)因为AABC是正三角形，。为8c的中点，所以AQ_L8C,

因为平面ABC,AQu平面ABC,所以

因为8gnBC=B,

所以4。，平面8。(76,

因为AQu平面AQG，

所以平面A2C1.平面Bcqq.

(2)设线段4C,AG的中点分别为O,Q,以。为坐标原点，分别以。8,0C,。01所

在直线为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

(Ji［

因为正三棱柱的底面边长和高均为2,所以A(0,-l,0),8(6,0,0),。壬，］，。

C.(0,l,2),

「事-；,2，所以丽=-孚-；,2，.=俘1,0］，，患=(0,2,2).

\/\7\7

设3=(x,y,z)为平面AQG的一个法向量，

_一733

则『相=黄+产°,令z=l,则心

n-AC}=2y+2z=0

设直线BP与平面42a所成角为。，则

sm”H瓯讣彘《

所以直线BP与平面4QC所成角的正弦值为

20.为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》,

某校组织学生加强100米短跑训练.在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统

计他们的成绩(单位：秒)，整理得到如图所示的频率分布直方图(每组区间包含左端

点，不包含右端点).

(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率.

(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数.(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)

(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布N(〃,1.22?),以(2)中所求的

样本平均数作为〃的估计值.若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在

［12.56,17.44似处的人数为匕求尸(YW1).

附：若Z~N(M，O2),则P(〃一2b4ZM〃+2b)=0.9545.O.954510«0.6277.

【答案】⑴0.11

⑵15

(3)0.3723

【分析】(1)先由频率分布直方图求出“，然后可得出答案.

(2)根据平均数的公式可得答案.

(3)由(2)知〃=15,由正态分布求出该校男生短跑成绩在［12.56,17.44］以外的概率，根

据题意Y~8(10,0.0455),从而可得答案.

【详解】⑴由频率分布直方图可得2a+0.08+0.09+0.22+0.24+0.33=l,

解得a=0.02,

所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为002+0.09=0.11.

(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为

12x0.02+13x0.09+14x0.22+15x0.33+16x0.24+17x0.08+18x0.02-15.

⑶由(2)知〃=15,所以X~N(15,1.222),

所以该校男生短跑成绩在［12.56,17.44］以外的概率为

1-P(12.56<X<17.44)=1-0.9545=0.0455.

根据题意丫~8(10,0.0455),

所以P(y*1)=1-尸(V=0)=1-0.9545”>=1-0.6277=0.3723.

2L已知椭圆0J+

g=的离心率为不，且经过点心

(1)求C的方程;

(2)动直线/与圆O:/+y2=i相切，与C交于M,N两点，求。到线段MN的中垂线的

最大距离.

【答案】(1号+9=1

呜

c2>/2

——---

a3

【分析】(1)首先根据题意列出方程组?+2=1,再解方程组即可.

a~b-

a~=b~+c~

(2)当/的斜率不存在时，。到中垂线的距离为0.当/的斜率存在时，设

l:y=kx+m(k^0),M(A,,y,),N®,%).根据直线与圆相切得到M+1,求出

I8kmI

中垂线得到。到中垂线的距离为41口弘21,再利用基本不等式即可得到答案.

c2正

e=—=----

a3

1a=3

63_i

【详解】(1)由题知:/+屏=1解得。=1

c=2\[2

a2=及+c2

所以C的方程为'+y2=i.

(2)当/的斜率不存在时，线段MN的中垂线为x轴，此时。到中垂线的距离为0.

当/的斜率存在时，设/：y=H+砥&片0),“(ay),可(孙％).

因为/与圆f+y2=l相切，则。至心的距离为市g=l,所以病=公+1.

X2_]

~9+y=,得(1+9公)/+18^^+9加2—9=0,

)y=kx+m

则EI芭+'2=一18百k〃，r可z得nM…NM的A中u点i为d/「中910n，帝m后、｝

则MN的中垂线方程为'=一:1+^^[1T枭，即X+6，+£^=0.

I8kmI