高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案第一册数学教学案

2.1等式性质与不等式性质(教师独具内容)课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的观点，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实质问题．教课要点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．教课难点：用作差法比较代数式的大小．【知识导学】知识点一等式的性质假如a＝b，那么a＋c＝b＋c.b假如a＝b，那么ac＝bc或c＝c(c≠0)．假如a＝b，b＝c，那么a＝c.知识点二作差比较法(1)010203a<b.理论依照：□a－b>0?a>b；□a－b＝0?a＝b；□a－b<0?(2)04050607方法步骤：①□作差；②□整理；③□判断符号；④□下结论．知识点三两个实数大小的比较ab01ab(1)>?□－>0；02(2)a＝b?a－b□＝0；03abab(3)□<?－<0.知识点四不等式的性质02假如a>b，那么b<a；假如b<a，那么□a>b，即□a>b?b<a.(2)假如>，且03>，即>，>04.>，那么□?□>abbcacabbcac(3)05假如a>b，那么a＋c□>b＋c.(4)假如>，>0，那么ac06>，07□>；假如<0，那么□<.abcbcabcacbc(5)08假如a>b，c>d，那么a＋c□>b＋d.(6)09假如a>b>0，c>d>0，那么ac□>bd；10假如a>b>0，c<d<0，那么ac□<bd.(7)n11n．假如a>b>0，那么a□>b(n∈N，n≥2)(8)12nnb(n∈N，n≥2)．假如□a>b>0，那么a>【新知拓展】1．对于不等式性质的理解两个同向不等式能够相加，但不可以够相减，如a>b，c>d不可以推出a－c>b－d.2．常用的结论1a>b，ab>0?a<b；1b<0<a?a>b；ab(3)a>b>0，c>d>0?d>c；(4)aa＋maa－mbb＋mbb－m若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．bb＋mbb－maa＋maa－m3．比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完整平方式或几个完整平方式的“和”，也可两者并用．4．利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，一定依照不等式的性质进行求解，同向不等式拥有可加性与可乘性，可是不可以相减或相除，解题时一定利用性质，步步有据，防止改变代数式的取值范围．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若x2＝0，则x≥0.()(2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )(3)若a>b，则ac2>bc2.()11(4)若a>b>0，则a>b.()(5)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.( )答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )A．a>b>－b>－a

B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a

D．a>b>－a>－b(2)设b<a，d<c，则以下不等式中必定建立的是

(

)A．a－c>b－d

B．ac>bdC．a＋c>b＋d

D．a＋d>b＋c已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________．答案(1)C(2)C(3)x2＋2>3x题型一作差法比较大小例1比较以下各组中两数的大小：已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2；已知x<1，比较x3－1与2x2－2x；114(3)已知x，y均为正数，设m＝x＋y，n＝x＋y，比较m与n的大小．[解](1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)a3＋b3－a2b－ab2a2(a－b)－b2(a－b)(a－b)(a2－b2)(a－b)2(a＋b)．a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)22123＝(x－1)(x－x＋1)＝(x－1)x－2＋4.3x<1，∴x－1<0.又x－2＋4>0，112332∴(x－1)x－2＋4<0，∴x－1<2x－2x.(3)∵－＝1＋1－4＝x＋y－4＝x＋y2－4xy＝x－y2.mnxyx＋yxyx＋yxyx＋yxyx＋y又x，y均为正数，x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号建立)．[变式研究]若将本例(2)中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小又怎样呢？解由例题知3－1－(22－2)＝(123，∵x－123xx－1)x－＋＋>0，xx2424∴当x－1<0，即x<1时，x3－1<2x2－2x；当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x；当x－1>0，即x>1时，x3－1>2x2－2x.金版点睛作差比较法的四个步骤[追踪训练1](1)比较x3＋6x与x2＋6的大小；已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．解(1)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)．∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6；当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；当x<1时，x3＋6x<x2＋6.x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b(a－b)(a2＋1)．当a＞b时，x－y＞0，因此x＞y；当a＝b时，x－y＝0，因此x＝y；当a＜b时，x－y＜0，因此x＜y.题型二不等式的性质及应用例2以下命题正确的选项是________．cc①<且c>0?>；abab②a>b且c>d?ac>bd；③a>b>0且c>d>0?abd>c；ab④c2>c2?a>b.cc[分析]①<，11<0，>0时，知足已知条件，但推不出>，∴①错ab?<；当c>0ababab误．②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题明显不建立．∴②错误．a>b>0，abab③c>d>0?d>c>0?d>c建立．∴③正确．④明显c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴④正确．[答案]③④金版点睛解决这种问题，主假如依据不等式的性质判断，其实质是看能否知足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，能够从条件下手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否认.[追踪训练2](1)判断以下命题能否正确，并说明原因：ab①若c>d，则ad>bc；②设a，b为正实数，若11<.－<－，则aabbab若a<b<0，分别判断以下式子能否建立，并简述原因：1111a－b<a；②a＋b>b.abab解(1)①由c>d，因此c－d>0，－－bc>0，－<0，即adbc>0，因此cd>0或cd<0.cd即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0，故不正确．112222②因为a－a<b－b，且a>0，b>0，因此ab－b<ab－a?ab－ab－b＋a<0?ab(a－b)＋(a－b)<0?(a－b)(ab＋1)<0，因此a－b<0，即a<b正确．①建立．由a<b<0得a<a－b<0，1因此a－b<a.②建立．因为a<b<0，因此a＋b<b<0，1因此a＋b>b.题型三利用不等式的性质证明不等式例3(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc；a已知a>b>0，c<d<0，求证：a－c<b－d；(3)已知bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋bc＋db≤d.[证明](1)∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.f<e，∴f－ac<e－bc.(2)∵c<d<0，∴－c>－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0.∴0<1<1.再由0<<，∴b<a.a－cb－dbaa－cb－d∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0，acaca＋bc＋d∴b≤d.∴b＋1≤d＋1.∴b≤d.金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧实质：就是依据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质建立的条件．技巧：若不可以直接由不等式的性质获得，可先剖析需要证明的不等式的构造．而后利用不等式的性质进行逆推，找寻使其建立的充分条件．[追踪训练3]ab(1)已知c>a>b>0，求证：c－a>c－b；11xy已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y，求证：x＋a>y＋b.证明(1)∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，11abc－a>c－b>0.又∵a>b>0，∴c－a>c－b.11xyababa＋xb＋y(2)∵a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y，∴a>b，故x<y，则x＋1<y＋1，即x<y.yx＋a>b＋y.题型四利用不等式的性质求取值范围a例4(1)已知2<a≤5,3≤b<10，求a－b，b的取值范围；ππα＋βα－β(2)已知－2≤α<β≤2，求2，3的取值范围．[解](1)∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.又2<a≤5，∴－8<a－b≤2.1111a5又＜≤，∴<≤.10b35b3(2)∵－παβπ2≤≤2，<παππβπ∴－4≤2<4，－4<2≤4.πα＋βπ两式相加得－2<2<2.παππβππβπ∵－6≤3<6，－6<3≤6，－6≤－3<6，πα－βπ两式相加得－3≤3<3.α－βπα－β又α<β，∴3<0，∴－3≤3<0.[变式研究]将本例(1)中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．解由2<a≤5,3≤b＜10得2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10，即5<a＋b<15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题此题中不可以直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不可以分别求出x，y的范围，再求2x＋3的范围，应把已知的“x＋y”“x－”视为整体，即25x＋1－)，＋3＝()－(yyxy2y2xy因此需分别求出

512(x＋y)，－2(x－y)的范围，两范围相加可得

2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，

一旦变化出其余的范围问题，

则不可以再间接得出，一定“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数目关系，而后去求．[追踪训练4]已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．解令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.μ＋va＝，a＋b＝μ，2由解得a－b＝v，μ－vb＝.2因为4a－2b＝4·μ＋v－2·μ－v222μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，而2≤μ≤4,3≤3v≤6，因此5≤μ＋3v≤10.因此

5≤4a－2b≤10.1．若

m＝x2－1，n＝2(x＋1)

2－4(x＋1)＋1，则

m与n的大小关系是

(

)A．m<n

B．m>nC．m≥n

D．m≤n答案

D分析∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.2．设

a，b，c，d∈R，则(

)A．a>b，c＝d?ac<bdabc>c?a>b3311C．a>b，ab>0?a<b2211D．a>b，ab>0?a<b答案C分析用清除法，A错误，明显＝＝0时，结论不建立．B错误，c<0时，结论不行cd立．D错误，＝－2，＝－1时，结论不建立．应选C.ab3．已知a<0，－1<b<0，以下不等式建立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a答案D分析此题能够依据不等式的性质来解，因为－1<b<0，因此0<b2<1?a<ab2<0，且ab>0，易得答案为D.此题也能够依据，的范围取特别值，比方令a＝－1，＝－1，也简单获得