2022年湖南省张家界市中考数学试题与精品解析

2022年湖南省张家界市中考数学试卷

1.一2022的倒数是（）

A.2022B.一表C.-2022D.表

2.我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1800000000亩耕

地红线.将数据1800000000用科学记数法表示为（）

A.18x108B.1.8x109C.0.18xIO10D.1.8xIO10

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A・衣B.。C④

4.下列计算正确的是（）

A.a2-a3=a6B.2a24-3a3=5a5

C.（2a）2=4a2D.（a—l）2=a2—1

5.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

A.।।»B._1——I_I__1__!_>

6.某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记

录了四人3次选拔测试的相关数据：

甲乙丙T

平均分95939594

方差3.23.24.85.2

根据表中数据，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.在同一平面直角坐标系中，函数丫=/^+1（卜40）和丫=：（卜中0）的图象大致是

（）

8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，。4=2,0B=1,OC=

V3,则AAOB与ABOC的面积之和为（）

C.公

4

D.V3

9.因式分解：。2-25=

10.从企,-1,兀，0,3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是.

11.如图，已知直线。〃匕，41=85°,42=60°,贝1此3=.

12.已知方程*=：,则x=—

13.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》

作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼

成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国

古代数学的成就.如图，已知大正方形ABCZ）的面积是

100,小正方形EFGH的面积是4,那么tan乙4DF=.

14.有一组数据：%=―--,a2=---,a3=---,…，an=2"+i—.记%=%+

11X2X322X3X433X4X5nn(n+l)(n+2)n1

a2+a3+―+an,则S12=.

15.计算：2cos45。+5-3.14)°+|1-&|+G)T.

16.先化简(1一」7)+?+小=，再从1，2.3中选一个适当的数代入求值.

'a-r2a2-2a+l

2

17.如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中，AAOB的顶点坐标分别为力(3,0),

0(0,0),8(3,4).

(1)将△力0B沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△40/1(不写作法，但要标

出顶点字母)；

(2)将aAOB绕点。顺时针旋转90,画出旋转后的△&。282(不写作法，但要标出

顶点字母)；

(3)在(2)的条件下，求点B绕点。旋转到点与所经过的路径长(结果保留").

18.中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由

原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米.已知高铁的平均速度比普

通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度.

19.如图，菱形ABCQ的对角线AC、2。相交于点。，点E是C£＞的中点，连接OE,

过点C作CF〃B。交OE的延长线于点凡连接DF.

(1)求证：40DE迎FCE；

(2)试判断四边形OD/C的形状，并写出证明过程.

20.为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”

问卷调查.根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表:

3

频数分布统计表

组别时间》(分钟)频数

A0<x<206

B20<x<4014

C40<%<60m

D60<%<80n

E80<x<1004

根据统计图表提供的信息解答下列问题：

(1)频数分布统计表中的M,n=；

(2)补全频数分布直方图；

(3)已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的

学生有多少人？

(4)若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列

表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.

21.阅读下列材料：

在A/IBC中，乙4、48、NC所对的边分别为b、c,求证：—,

sin/lsinB

证明：如图1,过点。作CD于点则：

在Rt△BCD中，CD=asinB

在中，CD=bsinA

••・asinB=bsinA

ab

sinAsinB

根据上面的材料解决下列问题:

4

⑴如图2,在△力BC中，“、43、”所对的边分别为a、b、c,求证：3=三；

'/sinBsinC

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划

中的一片三角形区域需美化，已知乙4=67。，NB=53。，AC=80米，求这片区域

的面积.(结果保留根号.参考数据:sin53°«0.8,sin67°«0.9)

22.如图，四边形ABC。内接于圆O,A8是直径，点C是前的中点，延长A。交BC

的延长线于点E.

(1)求证：CE=CD；

(2)若4B=3,BC=V3,求的长.

23.如图，已知抛物线y=a/+bx+3(a片0)的图象与x轴交于4(1,0),B(4,0)两点，

与)，轴交于点C,点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；

(2)若四边形8CEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点

E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，

另一点随之停止.当以M、E、N为顶点的三角形与ABOC相似时，求运动时间f

的值；

(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P,点G是点尸关于点。的对称点，点。是x轴

下方抛物线图象上的动点.若过点。的直线/：y=kx+m(|k|＜》与抛物线只有

一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点”、K,求证：GH+GK为定值.

5

6

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：一2022的倒数是：一焉.

2022

故选：B.

直接利用倒数的定义得出答案.

此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：1800000000=1.8x109,

故选：8.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1S⑷<10,〃为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10兀的形式，其中1W

|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】D

【解析】解：4是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

4.【答案】C

【解析】解：A.a2-a3=a2+3=a5,因此选项A不符合题意；

B,2a2与3a3不是同类项，因此不能合并，所以选项B不符合题意；

C.(2a)2=4a2,因此选项C符合题意；

D.(a-l)2=a2-2a+l,因此选项。不符合题意；

故选：C.

根据同底数幕的乘法，合并同类项，积的乘方与塞的乘方以及完全平方公式进行解答即

可.

本题考查同底数累的乘法，合并同类项，积的乘方与哥的乘方以及完全平方公式，将每

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个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键.

5.【答案】D

【解析】解：f+1>°®，

x+3<4@

由①得：x>-1,

由②得：%<1,

二不等式组的解集为一1<xW1,

故选：D.

先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可.

本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中

各不等式的公共解集.

6.【答案】A

【解析】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，

从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，

所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，

故选：A.

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可.

本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：当k>0时，一次函数y=kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y=+

位于第一、三象限；

当k<0时，一次函数丫=/«+1经过第一、二、四象限，反比例函数y=3立于第二、

四象限；

故选：D.

分k>0或k<0,根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案.

本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k>0,图象经过第一、

三象限，fc<0,图象经过第二、四象限是解题的关键.

8.【答案】C

8

【解析】解：将A/OB绕点3顺时针旋转60。得△BCD,连接OQ,

A

・•・OB=OD,乙BOD=60°,CD=OA=2,

BOD是等边三角形，

:.OD=OB=1,

•・・OD2+OC2=12+(V3)2=4,CD2=22=4,

•-OD2+OC2=CD2,

・•・(DOC=90°,

：,△AOB^△8。。的面积之和为S4BOC+S"CD=^^BOD+S^COD="J~XU+^xlx

显=逗,

4

故选：c.

将△408绕点B顺时针旋转60。得△BCD,连接0。，可得△BOO是等边三角形，再利用

勾股定理的逆定理可得4c0。=90。，从而解决问题.

本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利

用旋转将AAOB与ABOC的面积之和转化为枭8℃+SABCD，是解题的关键.

9.【答案】(a-5)(a+5)

【解析】解：原式=a2-52=(a+5)(a—5).

故答案为：(a+5)(a-5).

根据平方差公式分解即可.

此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

10.【答案】|

【解析】解：V2,兀是无理数，

P(恰好是无理数)=|

故答案为：

先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案.

本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决

本题的关键.

11.【答案】35。

9

【解析】解:如图,

・•・乙DCE=Z1=85°,

:.乙ACB=乙DCE=85°,

•:Z.2=60°,乙ABC=Z2,

:.Z.ABC=60°,

・•・Z3=180°-乙ACB-Z-ABC=35°.

故答案为：35。.

由平行线的性质可得NDCE=41=85°,再由对顶角相等得UBC=Z2,Z.ACB=乙DCE,

再由三角形的内角和即可求解.

本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：

两直线平行，同位角相等.

12.【答案】-3

【解析】解：给分式方程两边同时乘X(X-2),

得5x=3(%—2),

移项得5x—3x=—6,

合并同类项得2x=-6,

解得x=-3,

把x=-3代入x(x-2)中，-3x(―3—2)=15羊0,

所以％=-3是原分式方程的解.

故答案为：x=—3.

应用解分式方程的方法，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.进行

计算即可得出答案.

本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方法进行求解是解决本题的关键.

13.【答案】-

4

【解析】解：•••大正方形A8CQ的面积是100,

・•・AD=10,

・••小正方形EFGH的面积是4,

・,・小正方形EFG”的边长为2,

・・・DF-AF=2,

10

设AF=x,则DF=x+2,

由勾股定理得，%2+(x+2)2=102,

解得x=6或-8(负值舍去)，

:.AF=6,DF=8,

A”AF63

：,tanZ-ADF=——=-=一，

DF84

故答案为：

4

根据两个正方形的面积可得AD=10,DF-AF=2,设4F=X,则。尸=x+2,由勾

股定理得，/+。+2)2=1()2,解方程可得x的值，从而解决问题.

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出

AF的长是解题的关键.

14.【答案】鬻

【解析】解：的=嬴+击;

5511.131

乙2X3X424221+222+2

7711,131

Qq-----=———X-卜------X---；

33x4x560233+123+2

2n+l11,131

Q力=----------=—X—H-------X，

nn(n+l)(n+2)2nn+12n+2

当九=12时，

原式="i+3+3+…+5+G+1+…+与一…+3)

201

—,

182

故答案为：

通过探索数字变化的规律进行分析计算.

本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键.

15.【答案】解：原式=2x¥+1+迎一1+2

=2V2+2.

【解析】根据特殊锐角三角函数值，零指数累，绝对值以及负整数指数累的性质进行计

算即可.

本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幕，绝对值以及负整数指数暴，掌握特殊锐角三

角函数值，零指数累，绝对值以及负整数指数骞的性质是正确解答的前提.

16.【答案】解：原式=竺9邑+卢三

a-1a-2(a-1)2

a-221

—x+

CL—1Cl-2d—1

11

21

=----H------

a—Ia—I

——3.

a-l'

因为a=1,2时分式无意义，所以a=3,

当a=3时，原式=|.

【解析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定。的

值，代入计算即可.

本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解

答的关键.

17.【答案】解：(1)如图，△&0避1即为所求;

(2)如图，△&O2B2即为所求;

(3)在Rt△力。8中，OB=>JOA2+AB2=5,

【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A,0,B的对应点为,Bi即可；

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,O,B的对应点&,02,殳即可；

(3)利用弧长公式求解.

本题考查作图-旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换,

旋转变换的性质，属于中考常考题型.

18.【答案】解：设高铁的平均速度为x/an",则普通列车的平均速度为(x-200)fcm//i,

由题意得:x+40=3.5(%-200),

解得：x=296,

答：高铁的平均速度为296km//i.

【解析】设高铁的平均速度为xkm/人由运行里程缩短了40千米得：x+40=3.5(x-

200),可解得高铁的平均速度为296km".

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本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程.

19.【答案】（1）证明：•.♦点E是CQ的中点，

■1•CE-DE,

又•••CF//BD

/.ODE=Z.FCE,

SAFCE中，

NODE=乙FCE

DE=CE,

.4DEO=Z.CEF

•••△ODEAFCEQ4SA）；

（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：

ODEFCE,

0E=FE,

又•••CE=DE,

二四边形ODFC为平行四边形，

又•••四边形ABC。为菱形，

•••AC1.BD,

即NDOC=90。，

二四边形OQFC为矩形.

【解析】（1）根据ASA即可证明4ODE^AFCE；

（2）由（l）AODE公AFCE,可得OE=FE,证明四边形ODFC为平行四边形，再利用有

一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题.

本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌

握菱形的性质.

20.【答案】188

【解析】解：（1）抽取的总人数为：14+28%=50（人），

m=50x36%=18,

n=50—6—14—18—4=8,

故答案为：18,8：

（2）频数分布直方图补全如下：

13

(3)1000x^=240(A),

答：估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生有240人;

(4)列表如下：

男1男2女1女2

男1（男1,男2）(男1，女1)（男1.女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2）

女1（女1.男1）(女1，男2)（女1,女1）

女2（女2,男1）（女2,男2）（女1,女2）

由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8

种，

二抽取的两名同学恰好是一男一女的概率=*=|.

(1)由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；

(2)由(1)的结果，补全频数分布直方图即可：

(3)由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生所占的比

例即可：

(4)列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8

种，再由概率公式求解即可.

本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识.列表

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】（1）证明：如图2,过点4作4DBC于点Q,

在Rt/MBD中，AD=csinB,

在Rt△4co中，AD=bsinC,

・•・csinB=hsinC,

...bc.

sinSsinC,

（2）解：如图3,过点A作AE_LBC于点E,

・••Z-BAC=67°,乙B=53°,

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/.ZC=6O°,

在Rt△ACE中,AE=AC-sin60°=80xy=40V3(m),

又...AC_=BC

sinFsin£BACf

即吧=££,

0.80.9

:.BC=90m,

S4ABe=1x90X40^3=180V3(m2).

【解析】(1)根据题目提供的方法进行证明即可；

(2)根据(1)的结论，直接进行计算即可.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是

解决问题的前提.

22.【答案】(1)证明：连接4C,

•••4B为直径，

Z.ACB=Z.ACE=90°,

又•••点C是筋的中点

:.Z-CAE=Z-CAB^CD=CB,

XvAC=AC

:.CE=CB,

**.CE=CD；

(2)W：・・•△AC8,AB=3,

・•・AE=AB=3,

又,••四边形ABCD内接于圆O,

・•・Z,ADC+/.ABC=180°,

又丫Z.ADC4-/-CDE=180°,

・•・Z-CDE=Z.ABE,

又1乙E=LE,

•••△EDCs公EBAi

DE_CD

•T•~~—―，

BEAB

15

解得：DE=2,

AD=AE-DE=1.

【解析】(1)连接AC,通过证明AACE岭AACB,利用全等三角形的性质分析推理；

(2)通过证明^EDCs^EBA,利用相似三角形的性质分析计算.

本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关

性质定理，正确添加辅助线是解题关键.

23.【答案】解：(1)设二次函数表达式为：'=。，+故+3,

将4(1,0)、8(4,0)代入y=ax2+bx+3得:

(a+b+3=0

116a+4b+3=0'

解得，花」，

抛物线的函数表达式为：y=fx+3,

,44

又.._2__戈三4ac———4、2-(一%一27

2a2x-24a4x-16

44

二顶点为。(|,-施；

(2)依题意,r秒后点M的运动距离为CM=3则ME=3-t,点N的运动距离为EN=2t.

①当△EMNs^OBC时，

3-t2t

43