2022年湖南省湘潭市中考数学试卷真题及答案

2022年潮南懵湘潭市中考数学试题卷

no

考生注4

本诩毋图卷和密■卡商部分，全卷共四道大JR,26道小川,请考生将解答过程全浮填

（»）写在密・卡上，写在试星卷上无效，考试饴束后，将试I■卷和物■卡一并上交.

一、逸涮■（本大题共8个小XI,在每小题给出的4个皿中，只有一项是符合题目要求，

请将正确簪案的选项代号诠在锄・卡相应的位・上）

1.如图，点A、8表示的实数互为相反数，则点8表示的实数是（）

AB

-----•---------«-----►

-2-------0

I1

A.2B.-2C.-D.——

22

2.下列整式与为同类项的是（）

A.a2bB.-2ab2C.abD.ab2c

3.“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有

超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬拿冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎.某玩具店一个

星期销售冰墩墩玩具数量如下：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

玩具数量（件）35475048426068

则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（）

A.48,47B.50,47C.50,48D.48,50

4.下列几何体中，主视图为三角形的是（)

△0c©仁

5.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机

器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数

的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有X张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组

正确的是（）

x+y=40y=12

A.<“B.〈

4x+3y=124x+3y=40

x+y=40x+y=12

C.<”D.《

3x+4y=123x+4y=40

6.在口力BCD中（如图），连接/C,已知/氏4C=40。，ZACB=80°f则N8C0=（）

D工

AB

A.80°B.100°C.120°D.140°

7.在。中（如图），点。、E分别为/8、AC的中点，则SyADE：SvABC=（）

BC

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

8.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用

它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,1为

直角三角形中的一个锐角，则tana=（）

3iJs

A.2B.-C.：D.4

225

二、逸彝屋（样快4小jB,在每小题给出的4个选］«中，看多项符例|目要求，请将正确

售案的选项代号浊在售题卡相应的位■上）

9.若则下列四个选项中一定成立的是（）

Aa+2>b+2B.—3a>—3bC.—<—D.u—l<b—1

44

10.依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟.某中学为了解学生作业管理情

况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数直方图：（数据分成3

组：0<xW30,30<x<60,60<x<90）.则下列说法正确的是（）

A该班有40名学生

/

B.该班学生当天完成作业时长在30<x460分钟的人数最多

C.该班学生当天完成作业时长在0<xK30分钟的频数是5

D.该班学生当天完成作业时长在0<xW60分钟的人数占全班人数的80%

11.下列计算正确的是（）

325224624

A.4a-2a=2B.a-a^aC.（3a）=6aD.a^a=a

12.如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段43=2,分别以点A、B

为圆心，以Z8长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接/C、BC,作直线8,且8与N8相

交于点，.则下列说法正确的是（）

A.A/BC是等边三角形B.ABVCD

C.AH=BHD.NACD=45。

三、填空题（本J■共4个小题，省案写在密■卡相应的位■上）

13.四个数一1,0,G中，为无理数的是.

14.请写出一个V随x增大而增大的一次函数表达式.

15.2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与

离地面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米用科学记数法表示为米.

16.如图，一束光沿8方向，先后经过平面镜。8、反射后，沿E厂方向射出，已知乙4。8=120。，

ACDB=20°,则.

四、解葡■（本大加共io个小题，密继写出文字说明、证明过程璃演算步■,WN解答

过程写在锄・卡相应位・上）

17.如图，在平面直角坐标系中，己知"8C,三个顶点的坐标分别为力（一1,1）,8（-4,0）,

C（-2,2）.将ANBC绕原点。顺时针旋转90。后得到

(i)请写出4、4、G三点的坐标：4,B],c,

(2)求点B旋转到点片的弧长.

18.先化简，再求值：」一一-----土.亡其中x=2.

x-3X2-9X+1x2

19.如图，在。。中，直径48与弦8相交于点£,连接ZC、BD.

(1)求证：△/ECsXDEB；

(2)连接ZZ>,若/。=3,NC=30。，求。。的半径.

20.5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年

级(一)班由4、4、4三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛.

(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果;

(2)若4、4两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、。的3张卡片(如图，除编号和内容

外，其余完全相同)，放在一个不透明的盒子里.先由4随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由4

随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求4、沟两人恰好讲述同一名

科技英雄故事的概率.(请用“画树状图''或“列表”等方法写出分析过程)

4'杂交水稻之父”袁隆平廿'天眼之父"南仁东。‘航天之父"钱学森

21.湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学

兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示

r\Tf

的伞骨结构（其中——-0.618）：伞柄力"始终平分AB=AC=20cm,当/历iC=120。

AH

时，伞完全打开，此时N8OC=90。.请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：

22.百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，

传承"五四''精神.某中学在“做新时代好少年，强国有我系列活动中，开展了“好书伴我成长''的读书活

动.为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了

以下数据的整理与分析：

数据收集：25354615343675834734

数据整理：

本数0<A-<22<x<44<x<66<x<8

组别ABcD

频数2m63

数据分析：绘制成不完整的扇形统计图:

依据统计信息回答问题

(1)在统计表中，加=;

(2)在扇形统计图中，。部分对应,圆心角的度数为：

(3)若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人

数.

23.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长

12m)和21m长的篱笆墙，围成I、II两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙

外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度4E=1m的水池且需保证总种植

面积为32m2,试分别确定CG、的长；

(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问8C应设计为多长？此时最大面积为多

少？

(1)如图①，点P在线段上，以点尸为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达

式；

(2)如图②，点N是线段08上一点，连接4N,将A/ON沿力N翻折，使得点。与线段上的点M

重合，求经过A、N两点的一次函数表达式.

25.在A/BC中，NB4c=90。,AB=AC,直线/经过点A,过点8、。分别作/的垂线，垂足分别为

点、D、E.

(1)特例体验：

如图①，若直线/过8C,AB=AC=6,分别求出线段8。、CE和。E的长；

(2)规律探究：

①如图②，若直线/从图①状态开始绕点A旋转。(0<a<45。)，请探究线段6。、CE和QE的数量

关系并说明理由；

②如图③，若直线/从图①状态开始绕点力顺时针旋转a(450<a<90°),与线段8C相交于点〃，请

再探线段6。、CE和QE的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：

在图③中，延长线段8。交线段于点E，若CE=3,DE=T,求

26.已知抛物线yuV+bx+c.

⑴如图①，若抛物线图象与X轴交于点力(3,0),与>轴交点8(0,-3).连接

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点尸是抛物线上一动点(与点A不重合)，过点尸作/W_Lx轴于点4,与线段Z8交于点是

否存在点P使得点也是线段产〃的三等分点？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)如图②，直线y=gx+〃与y轴交于点C,同时与抛物线yuf+bx+c交于点。(一3,0),以线段

8为边作菱形C。产E,使点E落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范

围.

2022年湖甯省湘潭市中考数学试J・卷

考试时量，120分仲

考生注直，

本试舂分试题卷和寄■卡商部分，全叁共四道大题，26道小题・请考生将解答

过程全部填（»写在密K卡上，写在试■卷上无效，考试结束后，将试融卷

和物■卡一并上交.

一、3Ml（本大■共8个小11,在每小M出的4个选项中，只有一项是符

母■目要求，请将正确答案的选项代号海在霄・卡相应的位■上）

1.如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点8表示的实数是（）

AB

------------------------«----►

-2------------0

A.2B.-2C.gD.--

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据互为相反数的两个数的和为0即可求解.

【详解】解：因为数轴上两点48表示的数互为相反数，点/表示的数是-2,

所以点5表示的数是2,/

故选：A.

【点睛】此题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数形结合思

想解答.

2.下列整式与为同类项的是（）

222

A.abB.-2abC.ahD.abc

【答案】B

【解析】

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做

同类项，结合选项求解.

【详解】解：由同类项的定义可知，。的指数是1,6的指数是2.

A、。的指数是2,6的指数是1,与不是同类项,故选项不符合题意；

B、a的指数是1,的指数是2,与是同类项，故选项符合题意；

C、。的指数是1,6的指数是1,与“从不是同类项,故选项不符合题意；

D、。的指数是1,b的指数是2,C的指数是1,与a/不是同类项,故选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看

相同字母的指数是否相同.

3.“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将

熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩

玩具也很受欢迎.某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

玩具数量（件）35475048426068

则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（）

A.48,47B.50,47C.50,481）.48,50

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数和中位数的定义解答即可.

【详解】这组数据的平均数是：（35+42+47+48+50+60+68）-7=50；

将数据按照从小到大依次排列：35,42,47,48,50,60,68

处在中间位置的数是48,即中位数岁48；

故选：C.

【点睛】此题考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是把数据按照从小到大依次排

列.

【答案】A

【解析】

【分析】分别判断每个选项中”主视图是否满足条件即可

【详解】A.主视图是三角形，故此选项正确：

8、主视图是矩形，故此选项错误；

C、主视图是圆，故此选项错误；

D,主视图是矩形，故此选项错误；

故选4

【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别

5.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第

10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12

个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x

张桌子，有V条凳子，根据题意所列方程组正确的是()

x+y=40(x+y=12

A.<B.<

4x+3y=12[4x+3y=40

x+y=40x+y=12

C.sD."

3>x+4y=12[3x+4y=40

【答案】B

【解析】

【分析】根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x+片12,根据桌子腿数与凳

子腿数的和为40条可列方程4x+3y=40,组成方程组即可.

【详解】解：根据题意可列方程组，/

x+y=\2

4x+3y=40

故选：B.

【点睛】本题考查实际问题抽出二元一次方程组，解题的关键是要注意抓住题目中的一些

关键性词语，找出等量关系，列出方程组.

6.在中(如图)，连接NC,已知NA4c=4()0,NZC8=80°,则=

()

AB

A.80°B.100°C.120°D.140°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即

可求解.

【详解】解：•••四边形/8CO为平行四边形，

：.AB^.CD

NDCA=NCAB,

•：NBCD=NDCA+NACB,N8/C=40。，4c8=80°

ZBCD=40o+80°=120°,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运

用.

7.在中（如图），点。、E分别为4B、ZC的中点，则S\u°£：Sv，Bc=（）

A.1:1B.1:2C.1:31）.1:4

【答案】D

【解析】

【分析】证出OE是A48C的中位线，由三角形中位线定理得出。E〃8C,

DE=-BC,证出由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出

2

结论.

【详解】解：；点。、E分别为28、ACS中点,

.•.OE是A48c的中位线,

:.DE//BC,DE=-BC,

2

：.X)ADE-ABC,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理：熟练掌握三角形中位

线定理，证明三角形相似是解决问题的关键.

8.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形

（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图若“弦图”中小正方形面积与每个

直角三角形面积均为1,1为直角三角形中的一个锐角，则tana=（）

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设

直角三角形短的直角边为。，则较长的直角边为a+1,再接着利用勾股定理得到关于a的方

程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tana的值即可.

【详解】小正方形与每个直角三角形面积均为1,

大正方形的面积为5,

小正方形的边长为1,大正方形的2长为石，

设直角三角形短的直角边为“，则较长的直角边为。+1,其中a>0,

.,.a2+（a+l）2=5,其中a>0,

解得：。尸1,及=-2（不符合题意，舍去），

故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关

概念是解题关键.

二、逸异■（南・共4小建，在每小。出的4es值中，有多项符合题目支

求，请将正确簪案的触（代号诠在着力卡相应的位置上）

9.若a>6,则下列四个选项中一定成立的是（）

ab

A.。+2>/?+2B.-3a>-3bC.D.

44

a-\<h-\

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质1来判断A和D,根据不等式的基本性质2来求解B的

C.

【详解】解：A.因为。>6,不等边两边同时加上2得到a+2>b+2,故原选项正确，

此项符合题意；

B.因为a>6,不等边两边同时乘-3得到-3a<-3b,故原选项错误，此项不符合题意；

C.因为八b,不等边两边同时除以4得到区>2,故原选项错误，此项不符合题意；

44

D.因为a>6,不等边两边同时减1得到a-1>6-1,故原选项错误，此项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键.不等式

的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性

质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的

基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变.

10.依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟.某中学为了解

学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图

所示的频数直方图：（数据分成3组：0<x430,30<x<60,60<x<90）.则下列

A.该班有40名学生

B.该班学生当天完成作业时长在30<x460分钟的人数最多

C.该班学生当天完成作业时长在0<xW30分钟的频数是5

D.该班学生当天完成作业时长在0<xM60分钟的人数占全班人数的80%

【答案】AB

【解析】

【分析】根据频数直方图逐一判断各个选项即可.

【详解】解：因为10+25+5=40,故A选项正确，符合题意；

因为该班学生当天完成作业时长在30<x«60分钟的人数是25人，最多，故B选项正

确，符合题意；

该班学生当天完成作业时长在0<x430分钟的频数是10,故C选项错误，不符合题意；

该班学生当天完成作业时长在0<xW60分钟的人数为10+25=35,占全班人数的百分比

35

为：—X100%=87.5%,故D选项错误，不符合题意；

40

故选：AB.

【点睛】本题考查数据的整理与分析，涉及频数分布表、众数、用样本估计总体等知识，

解题的关键是掌握相关知识.

11.下列计算正确的是（）

32224

A.4。-2。=2B.a.aC.（3a）=6aI）.

tz6-i-a2-a

【答案】BD

【解析】

【分析】根据合并同类项法则，同底数曙相乘法则，积的乘方法则，同底数幕相除法则计

算判断即可.

【详解】解：A.4a-2。=2。，故选项错误，不符合题意；

B.故选项正确，符合题意；

C.（3/）2=91,故选项错误，不“合题意；

D.故选项正确，符合题意；

故选：BD.

【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幕相乘，积的乘方，同底数基相除，解题的关键

是正确掌握以上知识.

12.如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段/8=2,

分别以点A、8为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接4C、

BC,作直线8,且8与N8相交于点，.则下列说法正确的是（）

A.△NBC是等边三角形B.ABLCD

C.AH=BHD.ZACD=45°

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可.

【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC,

...△43C是等边三角形，故A选项正确

•.•等边三角形三线合一，

由作图知，8是线段18的垂直平分线，

ABLCD,故B选项正确，

AH=BH,48=30。，故C选项正确，D选项错误.

故选：ABC./

【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

三、填空■（南■共4个小fll,涮躇案写在锄■卡相应的位置上）

13.四个数一1,0,道中，为无理数"是.

【答案】上

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概

念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小

数是无理数.

【详解】解：一1，0,3是有理数；

百是无理数；

故答案为：

【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范

围内常见的无理数有三类：①万类，如2兀，炉等；②开方开不尽的数，如、石等；③虽有

规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）,

0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等.

14.请写出一个＞随x增大而增大的一次函数表达式.

【答案】N=x（答案不唯一）

【解析】

【分析】在此解析式中，当x增大时，、也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据

题意写一个即可.

【详解】解：如》=x,y随x的增大而增大.

故答案为：N=x（答案不唯一）.

【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数

的增减性是解题关键.

15.2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将

按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米用科学记数法

表示为米.

【答案】4X105

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1W同＜10,〃为整数.确定”的值

时，要看把原数变成。时，小数点，动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：400000=4X105,

故答案为：4X105.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其中

1W同＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

16.如图，一束光沿8方向，先后经过平面镜。8、反射后，沿瓦■方向射出，已知

405=120。，ZCDB=20°,则4EE=.

【答案】40。##40度

【解析】

【分析】根据入射角等于反射角，可得NCDB=NEDO/DEO=NAEF,根据三角形

内角和定理求得NOE0=4O°,进而即可求解.

【详解】解：依题意，/CDB=ZEDO,ZDEO=ZAEF,

,：ZAOB=120°,ZCDB=20°,

NCDB=/EDO=20°,

ZOED=180-NODE-ZAOB=40°,

ZAEF=NDEO=40°.

故答案为：40.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题

的关键.

四、解的I(本知供10个小解答应写出文字说明、证明过程事演算步

■,请将解答过程写在寄■卡相应位・上)

17.如图，在平面直角坐标系中，已知A/BC的三个顶点的坐标分别为Z(-1,1),

8(-4,0),。(一2,2).将18C绕原点。顺时针旋转90。后得到△44G.

(1)请写出4、Bi、G三点的坐标：4,B[,G

(2)求点3旋转到点4的弧长.

【答案】(1)4(1,1)；B\(0,4)；Cl(2,2)

(2)lit

【解析】

【分析】(1)将△48C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到点4,Bi,坐标

即为点4B,C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到的点，由此可得出结果.

(2)由图知点8旋转到点片的弧长所对的圆心角是90。，＜95=4,根据弧长公式即可计算

求出.

【小问1详解】

解：将△/8C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到△小81C”点4,Bi,G的坐标即为点

A,B,C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到的点，

所以小(1,1)；B\(0,4)；Ci(2,2)

【小问2详解】

解：由图知点B旋转到点片的弧长所对的圆心角是90度，。8=4,那么

90

点8旋转到点片的弧长=——x%x4=2乃

180

【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义

和弧长公式.

18.先化简，再求值：一!一十-----望三，其中x=2.

x-3X2-9X+1x2

【答案】x+2,4

【解析】

【分析】先运用分式除法法则和乘法法则计算，再合并同类项.

「详解】解：_------—

x—3厂—9x+1x

1(x+3)(x-3)xx(x+1)

=----x-------------------------

x-31x+lX

=x+3-l

=x+2./

当x=2时，

原式=2+2=4.

【点睛】此题考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则.

19.如图，在。。中，直径与弦CD相交于点E,连接4C、BD.

D

(1)求证：AAEC^ADEB；

(2)连接4。，若/。=3,ZC=30°,求。。的半径.

【答案】（1）证明见解析

（2）。。的半径为3

【解析】

【分析】（1）利用40=40,同弧所对的圆周角相等，得到NC=N8,再结合对顶角

相等，即可证明；

（2）利用ZC=Z5,得到Z5=30°,根据直径所对的圆周角是直角得到

ZADB=90°,再利用直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得。。

的半径.

【小问1详解】

证明：在。。中，

AD=AD，

ZC=ZS,

又,:NAEC=NDEB,

：.AAECsADEB.

【小问2详解】

解：•••"=30°,

由（1）可知，Z.B—Z,C-30°,

•.•直径

ZADB=90°,

...在我〃/。5中，AD=3,N8/0°,

AB-2AD—6,

OA——-AB-3,

2

即。。的半径为3.

【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含30角的直角三角形.主要

涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的

圆周角是直角：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半.

20.5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比

赛活动.八年级（一）班由4、4、4三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同

学参加学校决赛.

（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；

（2）若4、4两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如

图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里.先由4随机摸取1张

卡片记下编号，然后放回，再由4随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述

相关英雄的故事.求4、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率.（请用“画树状图”

或“列表”等方法写出分析过程）

々'杂交水稻之父”袁隆平天眼之父"南仁东。‘航天之父"钱学森

【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为:①4在外,②4ZM2,

③/乂]43,④4M341,⑤⑥

（2）4、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为g

【解析】

【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小4抽取的都是

同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【小问1详解】

解：画树状图如下：

开始

A

A3A2A3!AZAl

.,•共有6种等可能的结果，分别是：@AiAiA3>②N1N3/2,@AIA]A3>©AiAiA],

⑤心/2,⑥小

答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①小/乂3,②44M2,

③④/乂3小，⑤/34/2,@AiA2A,.

【小问2详解】

解：画树状图如下：

开始

Ai：ABC

/N/N不

A2:ABCABCABC

•.•由树状图知，共有9种等可能结果，其中4、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结

果有3种，

31

，P（4、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事）=§=§,

答：4、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为:.

【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可

能的结果及概率的计算方法.

21.湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某

中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设

r\Li

计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中——*0.618）：伞柄/〃始终平分

AH

ABAC,/8=/C=20cm,当N6/C=120°时，伞完全打开，止匕时/8。。=90°.请

问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：V3«1,732）

【答案】72cm

【解析】

【分析】过点8作8E14”于点E,解分别求得Z瓦ED,进而

求得力。，根据黄金比求得求得力”的长，即可求解.

【详解】如图，过点B作BE14H于点E

vAB^AC,N8/C=120°,〃〃始终平分N8ZC,

NBAE=ACAD=60°

AE=cos6(Tx48==10,BE=下)AE=10\/3

AB=AC,ABAD=NCAD,AD=AD

:.AADC知ADB

•••ZBDC=90°

ZADB=NADC=45°

BE=ED

ZO=ZE+EO=10+10Via27.32

PH

*0.618

~AH

PH

,0.618

DH+AD

解得。44.2

AH=AD+DH=27.32+44.2=71.52a72

答：最少需要准备72cm长的伞柄

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键.

22.百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，

继承先烈遗志，传承“五四”精神.某中学在“做新时代好少年，强国有我'’的系列活动中，

开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八

年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：

数据收集：25354615343675834734

数据整理：

本数0<x<22<x<44<x<66cx<8

组别ABcD

频数2m63

数据分析：绘制成不完整的扇形统计图:

依据统计信息回答问题

(1)在统计表中，m=；

(2)在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为；

(3)若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在

4本以上的人数.

【答案】(1)9(2)108°

(3)90

【解析】

【分析】(1)由随机调查的八年级20名学生读书数量的数据直接得出机的值；

(2)根据读书数量在4<x<6对应人数求出百分比再乘以360。即可得到对应的圆心角；

(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可.

【小问1详解】

解：满足2<x44的本数有3和4,匕这样的数据有9个，所以〃?=9；

故答案为：9.

【小问2详解】

解：—X100%=30%,360oX30%=108°,

20

故答案为：108。.

【小问3详解】

解：..即。人中共有6+3=9名学生读书在4本以上，

9

.\200X—xl00%=90(人)

20

答：该校八年级学生读书在4本以上的人数为90人.

【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，理解样本和总体的关系.

23.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用

围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成I、II两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组

设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答

下列问题：

I区II区

图①B3

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度NE=1m的水池且

需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、OG的长;

(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问8C应设计为多长？此

时最大面积为多少？

【答案】(1)CG长为8/n,OG长为

7147

(2)当8C=—加时，围成的两块矩形总种植面积最大=—而

24

【解析】

【分析】(1)两块篱笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为4>G〃=5C=(21-12)+3=3m,设CG

为am,OG为(12-a)m,再由矩形面积公式求解：

(2)设两块矩形总种植面积为y,8c长为xm,那么/D=HG=8C=xm,DC=(21-3x)m,由

题意得，围成的两块矩形总种植面物最大=8CxOC,代入有关数据再把二次函数化成顶点

式即可.

【小问1详解】

解：两块篱笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为4>G”=8C=(21-12)+3=3m,

设CG为am,£>G为(12-a)m,那么

AD^DC-AE^AH=32

即12x3-1x(12-a)=32

解得:a=8

CG=8m,Z)G=4m.

【小问2详解】

解：设两块矩形总种植面积为ym2,8c长为xm,那么/Z)="G=8C=xm,£>C=(21-3x)m,

由题意得，

两块矩形总种植面积

即y=x-(2\-3x)

.\y=-3x2+2lx

V21-3x^12

7147

.,.当8c=耳m时，y最大=一^―m2.

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出

方程.

24.已知4(3,0)、3(0,4)是平面直角坐标系中两点，连接

(1)如图①，点尸在线段上，以点尸为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反

比例函数表达式；

(2)如图②，点N是线段上一点，连接ZN,将A/CW沿NN翻折，使得点。与线

段A8上的点M重合，求经过A、7两点的一次函数表达式・

144

【答案】（1）y=——

49x

【解析】

【分析】(1)根据48的坐标，可得直线N8的解析式，根据题意点P为歹=》与"8的

交点，求得交点尸的坐标，即可求解；

(2)设N(0,〃)，0</?<4,根据题意求得/8=5,根据轴对称的性质结合图形求得

BM,MN,BN,在中，8N?=即〃+92即可求得〃的值，进而待定系数

法求解析式即可求解.

【小问1详