2022-2023学年九年级上学期数学同步精讲（北师大版）1.1菱形的性质与判定分层讲义

1.1菱形的性质与判定

分层训练提分要义

【基础题】

1.下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边

C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形

【答案】D；

2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【答案】D

【解析】♦.•菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

.,•菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.

故选D.

3.下列命题中，正确的是（）

A.两邻边相等的四边形是菱形

B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线垂直的四边形是菱形

【答案】B；

4.菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）

A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°

【答案】A；

【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°,另一个内角为150。.

5.已知菱形的周长为40c7〃，两条对角线的长度比为3:4,那么两条对角线的长分别为（）

A.6cm,8cmB.3cm,4cmC.12cm,16c〃？I）.24cm,32cm

【答案】C；【解析】设两条对角线的长为6A,8%.所以有（3%丫+（4左丫=102,.•.左=2,

所以两条对角线的长为12,16.

6.如图,在菱形ABCD中，NADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,

连接CP,则NCPB的度数是（)

B.72°C.90°D.100°

【答案】B；

【解析】连接PA,如图所示:

•.•四边形ABCD是菱形,

ZAI)P=ZCDP=-ZA1)C=36°,BD所在直线是菱形的对称轴,

2

；.PA=PC,

VAD的垂直平分线交对角线BD于点P,

，PA=PD,

.-.PD=PC,

AZPCD=ZCDP=36°,

AZCPB=ZPCD+ZCDP=72°；

故选：B.

7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点。，点E是CD中点，连接。E,则下列

结论中不一定正确的是（)

AB=ADB.OE=-ABC.ZDOE=ZDEO

2

D.ZEOD=ZEDO

【答案】c

【分析】

由菱形的性质可得AB=AD=CD,AC±BD,由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=gcD=gAB,

即可求解.

【解析】

解：；四边形ABCD是菱形，

；.AB=AD=CD,AC±BD,故选项A不合题意，

•.•点E是CD的中点，

.,.OE=DE=CE=yCD=^AB,故选项B不合题意；

.,.ZEOD=ZEDO,故选项D不合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键.

8.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2,那么菱形ABCD的周长

是()

A

A,4B,8

C.12D.16

【答案】D；

【解析】BC=2EF=4,周长等于4BC=16.

8.已知菱形的周长为40c7〃，两个相邻角度数之比为1：2,则较长对角线的长为cm.

【答案】10A/3；

【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°,较长对角线为2,1。2—52=106.

9.已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为

()

A.2圾B.275C.472D.2^/10

【答案】C.

【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA=1,AC±BD,然后山勾股定

理求得0B的长，继而求得答案.

【解答】解：如图，

•.•四边形ABCD是菱形，

.•.OA=OC=1.AC=1,OB=OD,AC±BD,

2

OB=VAB2-OA2=V32-12=2^2'

.*.BD=20B=4&；

故选：c.

R10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,过点A作AHJ_BC于

点H,已知B0=4,S菱形AIO=24,则AH=.

A

【答案】24

5

【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC,再根据勾股定理求出BC,然后由菱形的

面积即可得出结果.

【解答】解：..•四边形ABCD是菱形，

.'.B0=D0=4,A0=C0,AC±BD,

BD=8,*/S逑形ABCD=l.ACXBD=24,

；.AC=6,

；.0C=LC=3,

2

,',BC=VOB2+OC2=5,

,*'S菱形ABCH=BCXAH=24,

，AH=丝：

5

故答案为：24.

5

【中档题】

11.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且BE=2AE,DF=2CF,点G,H分

别是AC的三等分点，则S四边形EHFG+S箜形ABCD的值为（）

【答案】A

【分析】

由题意可证EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解.

【解析】

解：VBE=2AE,DF=2FC,

.AECF_1

"BC"2J~DF~2

・・・G、H分别是AC的三等分点，

・任_!CH_1•AE_AG

**GC-2*~AH~2r^~BE~~GC'

：.EG//BC

.EGAE1

••一——，

BCAB3

HF1

同理可得HF〃AD,—

AD3

.S『q边形由FG1-1_1

,•q339'

。菱形ABCDJy

故选:A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，由题意可证EG〃BC,HF〃AD是本题的关键.

12.如图，菱形ABC。的对角线AC与相交于点。，点E在2D上，连接AE,CE,

ZABC=60°,NBCE=15°,ED=2+2y/3,则/1£>=()

【答案】A

【分析】

根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得OB=@BC,进而根据

2

NBCE=15°,可得NECO=45°,进而可得0c=0E,根据Q£=OE+OD,a=2+2后,

AD=BC,即可求得AD.

【解析】

•••四边形A8co是菱形，

ACYBD,AO=OC,BO=0D,AB=BC,

•••ZABC=60°,

,行

，△ABC是等边三角形，ZACBZBAC=60°,OC=-BC,0B=BC-sinZACB=—BC,

22

■：/BCE=15°,

ZECO=ZACB=60°-15°=45°,

AC±BD,

:.ZCEO=45°,

OC=OE,

•/DE=OE+OD=OE+OB=2+2>/3,

EP-BC+—BC=2+2>/3,

22

5c=4,

...AD=BC=4.

故选A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解宜角三角形，等腰直角三角形的性质，

综合运用以上知识是解题的关键.

13.如图，在菱形A8CO中，ZA=60°,G为AO中点，点E在BC延长线上，F、H分别为

CE、GE中点，ZEHF=ZDGE,CF=y/l,则A3=

【答案】4

【分析】

连接CG,过点C作CM1AD,交AD的延长线于M,利用平行线的性质和三角形中位线定

理可得CG=2HF=25，由AB//CD,得NCDM=NA=60。，设DM=x,则CD=2x,CM=gx,

在RtACMG中，借助勾股定理得CG=\lGM2+CM2=3x=2万，即可求出x的值，从而

解决问题.

【解析】

如图，连接CG,过点C作CM1AD,交AD的延长线于M,

•••F、H分别为CE、GE中点,

FH是ACEG的中位线,

.■•HF=1CG,

••・四边形ABCD是菱形，

AD//BC,AB//CD,

ZDGE=ZE,

ZEHF=ZDGE,

ZE=ZEHF,

.-.HF=EF=CF,

CG=2HF=2万，

AAB//CD,

ZCDM=NA=60°,

设DM=x,则CD=2x,CM=^x,

,・•点G为AD的中点，

DG=x,GM=2x,

在RtACMG中，由勾股定理得：

CG=JGM+CM，=/ix=2币,

x=2,

•.AB二CD=2x=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅

助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键.14.如图，四边形ABCD是平行四边形,

延长DA,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.

(1)求证：

(2)连接BD,Nl=30。，Z2=20°,当/ABE=。时，四边形BFDE是菱形.

四边形BFDE是菱形

【分析】

(1)根据平行四边形的性子和"SAS"可证4ABE丝△CDF；

(2)先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE=DE,可得结论.

【解析】

解：(1)证明：♦.•四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD,ZBAD=ZBCD,

AZ1=ZDCF,

在AABE和ACDF中,

AE=CF

-Z1=ZDCF,

AB=CD

.,.△ABE^ACDF(SAS)；

(2)当NABE=：LO°时，四边形BFDE是菱形,

理由如下：VAABE^ACDF,

；.BE=DF,AE=CF,

；.BF=DE,

四边形BFDE是平行四边形，

VZ1=3O°,Z2=20",

.,.ZABD=Z1-Z2=1O",

/DBE=20°,

，NDBE=NEDB=20°,

；.BE=DE,.,.平行四边形BFDE是菱形,

故答案为10.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的

判定是解题的关键.

15.如图，在中，G为BC边上一点，DG=DC,延长DG交AB的延长线于点E,过

点A作AF〃“交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是菱形.

【答案】见解析

先证四边形AEDF是平行四边形，再证/BAZANADE,则即可得出结论.

【解析】

证明：•・・四边形ABCD是平行四边形,

：.ZBAD=ZC,AD//BC,ABHCD、

-AF//ED,

••・四边形AEDF是平行四边形,

\-ADHBCy

...ADGC=ZADE,

•：DG=DC,

：,/DGC=/C,

:.ZBAD=ZADEf

AE=DE,

二平行四边形AEDF是菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何性质是解

题的关键.16.已知：如图，在。ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分NABC,EF

〃AB.求证：四边形ABFE是菱形.

【分析】

先证四边形ABFE是平行四边形，山平行线的性质和角平分线的性质证AB=AE,依据有一组

邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【解析】

证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

又；EF〃AB,

四边形ABFE是平行四边形，

；BE平分NABC,

AZABE=ZFBE,

；AD〃BC,

AZAEB=ZEBF,

ZABE=ZAEB,

；.AB=AE,

平行四边形ABFE是菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关

知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形.

【综合题】

17.如图所示，是一种长0.3加，宽0.2〃?的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、

DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2m,宽2.8加

的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖.试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？

(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形？

【解析】解：墙壁长4.2加，宽2.8m,矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m,

4.2+0.3=14,2.8+0.2=14,则可知矩形骁砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙

面.

(1)则至少需要这种瓷砖14X14=196(块).

(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一

半.另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷嵇面积

的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13X13=

169个，面积相等的菱形一共有196+169=365(个).

【总结】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和

阴影菱形的个数.将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不

要忽略周围图形的拼接.

18.如图所示，菱