2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第3讲三角形一边的平行线（解析版）

第3讲三角形一边的平行线

P三角形一边的平行线性质定理及推论

-（有形一边的平行线判定定理及推论）

知识梳理一

-重心:

I,平行线分线段成比例定理

「利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等

（利用平行线判定证明线段平行）

题型探究

-利用平行线分线段成比例求线段长

-构造"A"与"8"举

课后作业

知识梳理

1、三角形一边的平行线性质定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.

皿ADAE_^ADAE—DBEC

如图，直线DE〃BC,那么——=——或——=——或——=——

DBECABACABAC

2、三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

如图，点£＞、E分别在AABC的边A3、AC上,

那么三=四AE

DE//BC,

BCABAC

B

3、三角形的重心

定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.

性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.

如图，G是&48c的重心===2

GFGEGD

思考：如何证明？（联结0E,则：-=—=—=-）

BCGCBG2

4、三角形一边的平行线判定定理

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

任=任或任=江或空=生=小〃8c

ABACDBECABAC

5、三角形一边的平行线判定定理推论

如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例,

那么这条直线平行于三角形的第三边.

生=生或也=任或吧="nBC〃DE

ADAEDBCEADAE

6、平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

…所截，那么老=言

如图，直线/]〃4〃/3，直线机与直线〃被直线乙、

7、平行线等分线段定理

两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等.

平行线分线段成比例常见模型:

图形结论逆命题

AC_BDAC_BD

CE-DF*宝一茄’

不成立

CEDF

A成立

AD_AEAD_AE

访一W方一就‘/e"二”,4DDE

（但若已知一=—

ABBC

BD_CE

tAEDEh/、

或——=——不成乂）

AACBC

成立

EOFOEOFO

~OC"~OB'正"而'（但若已知空=空或

OCBC

PCOB

正二百9=名不成立）

BC

AOBBC

题型探究

题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等

【例1】如图，在A48C中，DE//BC,AB=\8,AC=12,BD=6,求CE.

【解析】"=上2，代入可得：CE=4.

ABAC

【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F,AB=2.BE=3EC,

那么DF的长为1

Q

【答案】

3

CFCE12_

【解析］.,四边形ABCD为平行四边形，；.DC=AB=2,又：CF〃AB,，BE3,；.CF=3，则DF=2+CF=

8

3

An

【例3】如图，在AABC中，CD平分ZAC8,DEIIBC,AC=5厘米，——=3:5,

AB

求£>E的长.

A

------\E

BC

【答案】2cm.

【解析】DE//BC,...任=丝=3.

ACAB5

由AC=5C〃2,代入可求得：AE=3cm,CE=2cm.

XvDEIIBC.\ZEDC=ZDCB.

又CD平分ZACB，ZECD=ZJDCB.

ZECD=/EDC，:.DE=CE=2cm.

【例4】如图，在^ABC中，点G是AABC的重心，过点G作DE〃AC分别交AB、BC于点D、E,

过点D作DF〃BC交AC于点F,如果DF=4,那么BE=.

【答案】8.

【解析】•••点G是AABC的重心，DE〃AC,...罢=黑=2,由题意可得，四边形CEDF为平行四边形,

贝ijDF=CE=4,；.BE=2CE=8.

4

Mt【例5】如图，已知在入3c中，DE//BC,EF//AB,AE=2CEtAB=6,BC=9,

求四边形皮班尸的周长.

A

【答案】16.

.AE_2CE1

【解析】-.-AE^CE,•'AC=3，AC=3.

又DEiIBC,EFUAB,

ADAE2EFCE\

,,益一就一5'罚一就一3,

四边形双死下为平行四边形.

代入可求得：DE=6EF=2,

'''Ga边形BW=2（Z）£+£F）=16,

【例6】如图，在AABC中，AB>AC,ADLBC于点D,点厂是BC中点，过点尸作BC的垂线交他

于点、E,BD:DC=3:2,^\BE:EA=.

【答案】5:1.

【解析】由Q:DC=3:2,BF=FC,

BF+FD3阳BF5

即得:--------=-,可得：——=-

BF-FD2FD1

又AZ)_LBC,EF工BC,

:.EFHAD<

：.BE:EA=BF:FD-5:\.

【例7】如图，在等腰AABC中，AB=AC,AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F,

若BE=6,FD=3,贝的面积

【答案】977.

【解析】：点F是ziABC的重心，...左=,=2,，AF=2FD=6,AD=9,BF=4,

FDEF

XVAB-AC,AD是边BC上的中线，；.AD垂直于BC,.•.由勾股定理得，BD=CD=«,

S；xBCxA。=；x2近x9=9万.

题型二、利用平行线判定证明线段平行

Hl【例8】如图，AABC中，E点在边至上，F点在边AC上，下列命题中不正确的是（）

AEAF

(A)若EF〃BC,贝ijEBFC

AEAF

(B)若EBFC,则EF//BC

AEEF

(C)若EF“BC,贝i"8BC

AEEF

(D)若ABBC,则防〃3c

【答案】D

【解析】A、B、C选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D选项不符合定理

判定内容.故选:B.

AFAD

网【例9】如图，点。、/在'BC的边他上，点£在边AC上，旦DE〃BC,而一茄.

求证：EF“DC.

A

【答案】见解析.

.ADAEADAE

【解析】证明：.・.OE//3C,..DB-EC,贝IJA^-AC.

AFADtAFAE

又AD一AB,"AD~AC,EF//DC.

【例10】点。、E分别在AABC的边AB、AC上，且DE〃BC,以£)E为一边作平行四边形DEFG,

延长BG、C/交于点”，连接AH,求证：AH//EF.

【答案】略.

DEAE

【解析】证明：•.・DE//8C,

BC-AC

又四边形DEFG为平行四边形,:.DEHFG,DE=FG.

FGHFAEHFAEHF

----=-----，

BCHCAC~HC~EC~~FC

AHIIEF.

惠题型三、利用平行线分线段成比例求线段长

【例11】如图，/J/。/。，AB=3,AC=8,DF=1(),求£>E、印的长.

ARn/715

【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性，可得丝=43,代入求得。石=2,则

ACDF4

EF=DF-DE=—.

4

4L【例12】如图，直线《、4、4分别交直线于点A、B、C,交直线，5于点。、E、F,且/1〃4〃

/3.已知A5=3,AC=5,DF=9,求DE、防的长.

【答案】DE=—,EF=—.

55

【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性,

可得空=2与，代入求得。E=ZZ

ACDF5

1Q

则=3尸一。£二、.

5

^^题型四、构造“A”与“8”字型

Kt【例13］如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4.

若EF〃BC,且EF=7,求AE和DF的长.（用两种方法解决）

【解析】方法1：如图，过点A作AG〃CD,交EF于点H,交BC于点G,易得FH=CG=AD=3,AG=CD=4,

AEEH4DFAE8

，EH=EF-FH=4,BG=BC-CG=6,：EF〃BC,；.——=——=一，——=——.AAEM,DF=-.

ABAG6CDAB3

…4Tl-r/AQQDAD11-1八"

方法2：延长BA、CD交于点Q,可得RAD〃EF〃BC,・・・^=^=——=—,...AQ=—AB=3,QD=-£)C

QBQCBC322

=2,

,AD3QAQD148

VAD/7EF,；.——=一="=三­,；.QE=7,QF=——，；.AE=7-3=4,DF=QF-QD=—.

EF7QEQF33

【例14］如图，。是线段8c上一点，且28£>=3£>C,CE交AB于点尸，AE:ED=\:3,求A尸：8尸的

值.

【答案】2:15.

［解析］过点A作A"//8c交CF的延长线于点M，

根据三角形-边平行线的性质定理，

meAMAE1

则有——=—=-.

DCED3

又2BD=3DC,即2（8C-OC）=3OC.

」汨DCAM

可得——=-2,则mu——=—2.

BC5BC15

由AW//5C可得：AF:BF=AM:BC=2：］5.

■^举一反三

1.AA8C中，直线。E交他于点£）,交AC于点E,以下能推出/宏〃BC的条件是（）

AB2EC_1AO_2DE2

AD-3'AE-2AB-3'BC"3

AD2CE2AD4AE4

DB3AE3AB3EC3

【答案】A

ABAE

___=___=20

【解析】根据比例的性质，可知只有A选项中满足即EC，根据三角形一边平行

线的判定定理可知A选项正确，其它都不满足.

2.（2021•醴陵市模拟）如图，直线《///,///3，直线4c和。尸被（，4,4所截，如果钻=2,BC=3,EF=2,

那么。E的长是（）

43

A.2B.-C.1D.-

34

【答案】B

【解析】解：・・・直线/"4//小

，旦三，

BCEF

・・・AB=2,BC=3,EF=2,

,2=三，

32

:.DE=-,

3

故选：B.

3.（2021•松北区模拟）如图，AABC中，DEIIBC.GFIIAC,下列式子错误的是（）

.4

Dpv

A,丝=，B.四=空GMAE门FCAG

BGBFABACMFECDMDG

【答案】C

【解析】辘：YDEUBC,GFIIAC,

.-.AADE^AABC.ABGF^ABAC,ADGM^ADAE,且四边形MECF是平行四边形.

AGCFADAEMEAG”厂「厂

/.----=-----，-----=-----，------=-----，MH=rC.

BGBFABACDMDG

FC_AG

…~DM~~DG'

所以ABOIE确，C错误.

4.（2021•温岭市模拟）如图，AB//CD//EF,AF与庞:相交于点G,且AG=2,GD=\,DF=5,则

BC:CE=（

一

VE尸\

A.3:5B.1:3C.5:3D.2:3

【答案】A

【解析】解：♦.•AB//8//EF,

.,.BC=AD-2+1——3.

CEDF55

故选：A.

5.在AABC中，点。、石分别在边A3和5c上，4)=2,DB=3,BC=10,要使O£V/AC,则鸵=.

【答案】6.

则必有筹=费

【解析】根据三角形•边平行线的判定定理，要得到OE〃AC,

即旦3二B迫E，即可求得BE=6.

2+310

spAn

6.如图，A4BC中，DE//BC,—=——，求证：EFUCD.

DFDBA

【答案】略.

AnAF

【解析】证明：・・・DE〃BC,.•.把=生.

DBEC

「AFADAFAE

DFDBDFECBC

EFUCD.

7.如图，已知AD//BEHCF,它们依次交直线(4于点A、B、C和点。、E、F.

(1)如果他=6,BC=10,EF=8,求DE的长;

(2)如果DE:斯=3:5,AC=24,求AB、3C的长.

【答案】（1）—；（2）AB=9,BC=15.

5

【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有

DEAB代入可求得OE=*

~EF~^C5

（2）根据平行线等分线段成比例定理，则有空=丝=3,

BCEF5

根据比例的合比性，则有丝=三，代入可得/$=9,BC=AC-AB^\5

AC8

8.如图，在平行四边形/WC。中，点E在边。C上，若DE:EC=1:2,则

【答案】3:5.

【解析】DE:EC=1:2,可知名=笠=2,

CDAB3

RFAR7

由CE//AB,可知一=—=-,故3F:8E=3:5.

EFCE2

9.如图，AABC中，在BC上取一点P,CA上取一点Q,使得BP:PC=2:5,CQ:QA=3:4,AP与BQ交

于点R,则AR:RP=.

【答案】14:3.

【解析】过点P作PO//8Q交AC于。，

根据三角形一边平行线性质定理，则有理=丝，

PRQD

丝=0=2,又CQ:QA=3:4,令AQ=4a,

PCDC5

则CQ=3a,QD=-CQ^a,

由此即可得：AR:RP=AQ:QD=4a:^a=14:3.

A

10.如图，在梯形ABC。中，AD/IBC,AD=3,BC=5,E、/是两腰上的点，EFIIM）,

AE:EB^\:2,求所的长.

【答案】

3

【解析】过点A作AH/ADC交BC于〃，交所于G,

则有CH=FG=4)=3,BH=2,又EG11BH,

—T4HEGAE1ATJ/

可得：一=—=一，解得H:EG=-

BHAB33

^EF=EG+GF=—

3

J课后作业

1.（2020年•黄浦区一模）如图1,点Q、E分别在AABC的两边区4、C4的延长线上，下列条件能判定EQ

的是（）.

ADDEADAE

(A)z(B)x=

~AB~~BCACAB

(C)AD.AB=DEBC；(D)ADAC=ABAE.

图1

【答案】D

-A-D-=-A--E双^A--D-=-A--E豉—-D--B=-E--C

【解析】根据三角形一边的平行线判定定理以及推论，如果ELABAC^ABAC,那么直线

DE//BC,逐一验证可得A、B、C均不正确，故选：D.

2.如图，点F是团ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是（)

EDEFBCBFBFBC

B.------------C.------------D.------------

EAABBCFBEDBEBEAE

【答案】C

【解析】【解答】解：：四边形ABCD是平行四边形,

EDDF

ACD#AB,AD〃BC,CD=AB,AD=BC,——=------,故A符合题意;

EAAB

.DEEFEDEF......

•0•-----=•,*---=----,故B苻合感Q3意；

ADFBBCFB

BCBF

•«-----=故C不符合题意；

EDEF

BFADBFBC..小人*

••-----=----,**•---=----,故D符合题忌.

BEAEBEAE

故答案为：C.

3.（2020年•浦东新区一模）］如图，已知直线4,24分别交直线乙于点A,B,C,交直线&于点D,E,F,

且4〃’2〃4,若AB=4,AC=,,DF=9,则DE的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

空=匹即二匹

【解析】VAB=4,AC=,,DF=9,ACDF%9DE=6.故选B.

4.(2020年•徐汇区一模)如图，AB//CD//EF,AC=2,A£=5,BD=1.5,那么下列结论正确的

(B)EF=—；

4

(D)BF=—

4

【答案】D

_A__C___B__D_paJn_2—__1_.5__1_5

【解析】；AC=2,A£=5,BD=L5所以AEBF5BE,；.BF=4.故选

D.

5.（2021•洪泽区二模）如图，/,///2///3,AC交八4、4分别于A、B、C,且AC=6,BC=4,DF交

4、＜分别于。、E、F,则D丝F二一.

EF

【解析】解：,/AC=6,BC=4>

.-.AB=AC-BC=2,

OAB1

)£=-=

£78c2-

故答案为：

2

AC_1

6.（2020年•吉林中考）如图，AB//CD//EF.若CE2,80=5,则。尸=

【答案】10

ACBD1

【解析】,：AB//CD//EF,：.CEDF2,

：.DF=2BD=2x5=\0.故答案为10.

7.（2020年•虹口区一模）如图4,在梯形AE/B中，AB//EF,AB=6,EF=10,点C、。分别在边4E、BF

上且CD〃AB,如果AC=3CE,那么CO长为.

【答案】9

【解析】如图所示，过点B作BN〃AE交EF于点N,交CD于点M,

；AB〃EF〃CD,BN〃AE,；.四边形AENB为平行四边形，.^.EN=CM=AB=6,FN=IO-6=4,又^.^DM〃FN,

ACMD3

：.AEFN4,所以MD=3,则CD=3+6=9.

8.（2020年•静安区一模）在ZVIBC中，边BC、AC上的中线40、2E相交于点G,AD=6,那么AG=.

【答案】4

【解析】:边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G,.,.点G为AABC的重心，，AG：AB=2:3,：AD=6,

，AG=4.

9.如图，在4ABC中，若BD:DC=CE:EA=2:1,AD与BE交于F,则AF:FD=.

【答案】3：4

【解析】过点D作。，交AC于点儿

EHBD>213.AF_AE_3

——=——=2,；.EH=—CE,VBD：DC=CE:EA=2：1,.,.AE=-CE=-EH,

HCDC324

10.（2019年•长宁区月考）如图，平行四边形ABCD中，点E在CD上，点F在CD的延长线上，AF交

BD于点O,交BC于点G,且DF:CD=DE:EC,

求:OE〃BC

【答案】见解析.

【解析】：四边形ABCD为平行四边形，AAB=CD,AB//CD,二变=变，即至=变，乂；

ABOBCDOB

DEOD

DF:CD=DE:EC,——=——，/.OE//BC.

ECOB

11.（2020秋•浦东新区期中）如图，已知AD//8E//B,它们依次交直线4、4于点A、B、C和点£）、

E、F

(1)如果AB=6,8c=8,DF=21,求。E的长；

(2)如果£>££>尸=2:5,AD=9,C产=14,求BE的长.

【答案】(1)DE=9；(2)BE=\\.

【解析】解：(1)•.•A/)//8E〃CF,

DEAB

•*.-------,

DFAC

-AB=6,BC=8,DF=21,

•DE_6

一五一iTT

..DE=9.

(2)过点。作。G//AC,交BE丁点、H,交CF于点G,

则CG=BH=AD=9,

.•6=14—9=5,

.HENGF,

.HEDE

GF-DF'

,:DE.DF=2:5、GF=