2022-2023学年苏教版江苏高一数学上学期同步讲义第04讲三角函数应用（教师版）

第7章三角函数

第04讲三角函数应用

号目标导航

课程标准重难点

1.理解并掌握函数

y=Asin（0x+e）（A>0,。>0）中

4,包。的物理意义；

1.通过具体实例，掌握三角函数在现实生活中的应用

2.掌握解三角函数应用题的基本步骤；2.通过现实问题进行模型的构建求解

3.理解三角函数图象类问题：

4.理解并掌握三角函数模型的应用.

趣知识精讲

一、三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数

值，进而使实际问题得到解决.

步骤可记为：审读题意玲f根据题意求出某点的三角函数值玲解决实际问题.

这里的关键是建立数学模型，一般,再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函

数解析式.

1.三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，

进而使实际问题得到解决.

步骤可记为：审读题意一建立三角函数式一根据题意求出某点的三角函数值一解决实际问题.

这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的

三角函数解析式.

2.三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的

函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

二、三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的

函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

：：4运.2。.♦运.。*.：：源•*―•♦。尊°.♦*。•♦运.。#.：：卷「亳

参考答案

一、建模问题建立三角函数式先根据题意设出代表函数

二、散点图数据拟合

U能力拓展

考法01三角函数模型在生活中的应用

例估计某一天的白昼时间的小时数。⑺的表达式是O(t)=&sin二(-79)+12,其中&wZ)表

2365

示某天的序号，，=0表示1月1日，依此类推，常数％与某地所处的纬度有关.

(1)在波士顿，k=6,试画出当0羽上365时函数的图象；

(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？

(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时.

【思路分析】首先利用五点法作出图象，然后结合图象分析问题.

【解析】(1)先用五点法作出了⑺=3sin2(r-79)的简图，

365

27r27r

由一("79)=0及一"-79)=2兀，

365365

得f=79及£=444.

27r

若f=0,y(0)=3sin—(-79)®3sin(-1.36)=-2.9.

365

Vf(x)的周期为365,

・・・/(365)»-2.9.

将/⑺在［0,365］上的图象向上平移12个单位，就得。⑺的图象(如图所示).

(2)白昼时间最长的一天，即£>⑺取最大值的一天,

此时17170,对应的是6月20日(闰年除外)，

类似地，f*353时。⑺取最小值，

即12月20日(闰年除外)白昼最短.

(3)ZX0>10.5,

即3sin—(r-79)+12>10.5,

365

sin—(r-79)>--,re10,365J.

3652

A292>r...49,292-49=243.

故约有243天的白昼时间超过10.5小时.

【解题策略】该题已经知道了函数模型即函数的解析式，只需利用所学的三角函数知识对问题予以解答，

再将所得结论转译成实际问题的答案.

【跟踪训练】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈/.(x)=Asin(ox+s)+^

(A>0,3>0,|0<1)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5

千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()

jrjr

A.f(x)=2sin(—x——)+7(1领k12,xeN)

44

7tTt

B.f(x)=9sin(-x——)(1殁k12,XGN)

44+

C.f(JC)=2\/2sin4-7(1B!lr12,xeN+)

jrjr

D.f(x)=2sin(—x+—)+7(1效kN)

44

【答案】A

【解析】令x=3可排除D,

令x=7可排除B,

由A==9-5=2可排除C;

2

或由题意，可得4=9'-^5=2,b=7,周期T=2」7r=2x(7—3)=8,

2CD

.兀

••69=—

4

于是f(x)=2sin(—*+夕)+7,

4

再代入点(3,9)结合*的范围得*的值.

2.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心。距离地面40.5米，半径为40

米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间/(分钟)的函数关系式;

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

【思路分析】

确定模型类别____求函数解析式_______J利用模型解决实际问题

【解析】（1）由已知可设y=40.5-40cos<urj…0,

由周期为12分钟可知，

当f=6时，摩天轮第1次到达最高点，

即此函数第1次取得最大值，

所以6a）=n,

即oJ.

6

■jr

所以V=40.5-40cos7,r...0.

（2）设转第1圈时，第分钟时距地面60.5米，

7T

由6Q5=40.5-40cos-f。，

6°

得cos'=-g，

所以巴f0=@或0r0="，

解得力=4或乙,=8.

所以"8（分钟）时，第2次距地面60.5米，

故第4次距离地面60.5米时，用了12+8=20（分钟）.

【技巧点拨】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据己知条件确定函数解

析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.

考法02三角函数模型在物理学中的应用

例2】

1.弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间f（s）内离开平衡位置（静止时的位置）的距离耳（cm）

由下面的函数关系式表示：〃=3sin（2f+；）.

（1）求小球开始振动的位置；

（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置;

（3）经过多长时间小球往返振动一次？

（4）每秒内小球能往返振动多少次？

【思路分析】

【解析】

（1）令”0,

得〃=3sin二.

42

所以开始振动的位置为（0,殛）.

2

(2)由题意知，当人=3时，t=-,

8

即最高点为(二,3)；

8

当〃=一3时，t=—,

8

即最低点为(亚,-3).

8

O-jr

(3)T=一=7t«3.14,即每经过约3.14s小球往返振动一次.

2

(4)/=1«0.318,即每秒内小球往返振动约0.318次.

【易错警示】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关

系导致错解.

【规律总结】1.已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即

可.

【跟踪训练】

1.已知弹簧上挂着小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间f(s)的变化规律为

,v=4sin(2r+-),re[0,^o).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.

3

(1)小球在开始振动。=0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

【思路分析】在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ox+9)表示物体振动的位移y随时

间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T=0为周期，表示物体往复振动一次

(0

所需的时间，/=,为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.

T

【解析】列表如下:

n717T7兀兀

t5

~6123V2T

A717C3兀

2r+一0712兀

32T

71

sin⑵+—)010-i0

s040-40

描点、连线，图象如图所示:

s/cm

jx.............7

_2L°ir_IT\7ir/5TT

6123\12/T

-4

(1)将t=0代入s=4sin(2/+1)，

得s=4sin—=2>/3>

3

所以小球开始振动时的位移是2Gcm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和Tcm,

(3)因为振动的周期是n,所以小球往复振动一次所用的时间是TTS.

2.如图，某大风车的半径为2m,每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m.风车圆周上一点A从最

低点O开始，运动f(s)后与地面的距离为〃(m).

(1)求函数/i=/(力的关系式；

(2)画出函数力=/«)的图象.

【思路分析】本题主要考查逻辑思维能力和运算能力，由题意可知角速度。=型=二，建立适当的直角坐标

126

系,写出/7=/(力的表达式.

【解析】(1)如图①，以。为原点，过点O的圆的切线为X轴，建立直角坐标系.设点A的坐标为(x,y),

则〃=y+0.5.

设NOO|A=。，则cos，=^~->y=-2cos®+2.

又。=竺“，

12

即6=巴「，

6

兀7C

•*.y=-2cos—r+2,h=/(r)=-2cos—r4-2.5.

(2)函数〃=-2cos4+2.5的图象如图②所示.

6

【点评】此题的关键是建立适当的平面直角坐标系，综合圆周运动的相关知识写出函数解析式.

考法03函数解析式与图象对应问题

例31

如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间f(s)的函数关系式

A.2兀sB.KsC.0.5sD.1s

【答案】D

【解析】本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s(cm)和时间f(s)的函数关系式，单摆来回摆一次

所需的时间即为此函数的一个周期.

【点评】本题主要考查周期的物理意义，单摆来回摆动一次所需的时间即为周期，而y=Asin(ox+s)的周

由此即可求得单摆的周期.

【跟踪训练】

某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦曲线变化.

求出种群数量作为时间，的函数表达式.(其中f以年初以来的月为计量单位)

【思路分析】本题主要考查正弦曲线图象及解析式的求法，由于其符合正弦曲线，则可画出正弦曲线的示

意图，由图象结合实际意义可求解析式.

【解析】设我示该曲线的三角函数为y=Asin(azr+a)+Z?.

由已知平均数量为800,最高数量与最低数量差为200,数量变化周期为12个月，

二振琳A==100,co=——=—>〃=800,

2126

又月1日种群数量达最高，

.兀/n

.•—x6+a=一

62

.7C

•­a=-2-

则种群数量关于时间f的函数表达式为:

n

y=800+100sin-(/-3).

【点评】客观世界中许多观察的数量之间存在着三角函数关系，要注意数形结合解决实际应用题，并熟练

地掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题.

品分层提分

题组A基础过关练

1.“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载.如图所示，"牵星术"仪器主要是由牵

星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在木板的中心牵引组成.要确定航船在海上的位置，观察员一手持

一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持着线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水

平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬

度）.某航海观察员手持边长为20cm的牵星板，绳长70cm,观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则

航船所处的纬度位于区间（参考数据：tan10°a0.1763,tan15°®0.2679,tan20°«0.3640,

tan25°«0.4663）（）

A.[0°,10°]B.(10°,15°]c.(15°,20°]D.(20°,25°]

【答案】C

【解析】由题意可得，眼睛距离牵星板的距离为d=卜°?一(|)=406cm，

记北极星眼线与水平线的夹角为

则tane=^=^-=3a0.2887,

d40736

又0.2679<0.2887<0.3640,tan15。a0.2679,tan20。a0.3640,

所以15°<8<20°,故选：C.

2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量

稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示,

圆。的半径为4米，盛水筒用从点外处开始运动，。外与水平面的所成角为30。，且2分钟恰好转动1

圈，则盛水筒M距离水面的高度”（单位：米）与时间单位：秒）之间的函数关系式是（）

7171A.(冗乃]C

A.H=4sin一t----B.HRR=4sin——t----+2

6061306J

C.H=4sinf—r--K2D.H=4sin(-t--]+2

1.603J<303J

【答案】A

【解析】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为"=Asin(a+/)+&

2兀27r71

周期为120s,«=—=—=

T12060

71

最高点的纵坐标为4+4sin—=6,

6

TT

最低点的纵坐标为-4+4sin-=-2,

所以A+8=6,—A+B——2A=4,B=2,

当t=0时,H=0,4sin+2=0,.,.sin(p-——,：.(p-——

26

所以”=4sin(3,一[]+2.故选：A.

\6()6)

3.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120〜140mmHg和60〜90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或

减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数

120/80mmHg为标准值.高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高

考报考有一些影响.某同学测得的血压满足函数式pQ)=a+Asin&Gy>0),其中pQ)为血压

(mmHg),/为时间(min),其函数图像如上图所示，则下列说法望误的是()

A.收缩压为120mmHgB.3=80万C.舒张压为70mmHgD.a=95

【答案】B

【解析】由图象可知，函数的最大值为120,最小值为70,所以收缩压为120mmHg,舒张压为70mmHg,

所以选项AC正确；

周期7=上,由旦=［，知q=160不，所以选项B错误；

80co80

a+b=120

由题得〈，八，所以a=95,。=25.所以选项D正确.故选：B

a—Z?=70

4.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某

业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴

角A,C处作圆弧的切线，两条切线交于3点，测得如下数据：A3=6cm,5c=6cm,AC=10.392cm（其

中走。0.866）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等

2

于（）

兀

D.

6

【答案】C

【解析】依题意A3=BC=6,设NABC=2，.

则sin0==0.866»—.

62

28="

33

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a.

则a+28=;r,a=一.故选：C

3

5.比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球（球心记为。），地

球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，OA的方向即为A点处的竖直方向.已知比萨斜塔

处于北纬44。，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为4。，则中轴线与赤

道所在平面所成的角为（）

A.40°B.42°C.48°D.50°

【答案】A

【解析】解析如图所示，AP为比萨斜塔的中轴线，NAO£>=44。，N84P=4。，则ZR4C=40。，中轴

线与赤道所在平面所成的角为40°.

故选:A.

6.三国时期，吴国数学家赵爽绘制"勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四

个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角1为直角三角形中的一个锐角，若该

3万）

勾股圆方图中小正方形的面积、与大正方形面积邑之比为1：25,则cosa+彳J

A72nV2r772

101010

【答案】D

【解析】由题意得。C=5£”，因为CE=OCsina,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsina-—DC,

所以sina-cosa=1，则l-2sinacosa=，

525

24

所以2sinacosa=—,

25

2.49

所以(sina+cos。)’=l+2sin^zcosa=—

717

因为a£(0,5),所以sina+cosa=不

,(3］、3兀..3万

所以cosa+——=cosacos-----sm(7sin——

I4J44

V2

=———(sina+cosa)

7277V2

-------X——------，

2510

故选：D

7.心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的

最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数〃（。=110+25411（150加），其中p（f）为血

压（单位：mmHg）,t为时间（单位：min）,则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（）

1.111

B.----c,—D.一

1501107075

【答案】A

【解析】由题知,血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压,

又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期,

z,\I11

则T="=—,时间间隔为一T=——•故选：A.

150万752150

8.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离

地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时,

可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）

A.10分钟B.12分钟C.14分钟D.16分钟

【答案】B

【解析】由题意，可得如下图:

由图可知NABO=30.所以ZAOB=120°,

所以在运行的一圈里最佳观赏时长为唯二1^x18=12.故选：B

360

题组B能力提升练

1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一

个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心。距离水面的高度为2米.设筒车上的某个

盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则〃为负数)，若以盛水筒p刚浮出水面时开始计算时

间，则d与时间r(单位：s)之间的关系为〃=Asin(3+o)+K(A>0,a)>0,—<(p<^.则

以下说法正确的有()

7T

A.K=2B.CD-..

20

TT40

c.0=-D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为"S

63

【答案】ABD

【解析】••筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，二丁二丝=40,

1.5

2471

则CD-=,故BIE确；

4020

4+2+2-4

振幅A为筒车的半径，即A=4,K=---------=2,故A正确；

2

由题意，t=0时，d=0,.'.0=4sin(p+2,即si/0=-g,

冗冗冗

•：--<(p<—,(p^~—,故C错误；

226

d=4sin—t---+2,

1206J

由d=6,得6=4sin—t--+2,sin—t----=1,

1206j1206)

TTTT7T40

—t--=—+2Z)，2£2,得r=---b40亿keZ.

20623

4()

当k=0时，t取最小值为三(5),故D正确.

故选：ABD.

2.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光"摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点

离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时

针匀速旋转r分钟，当r=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为

()

A.摩天轮离地面最近的距离为4米

B.若旋转，分钟后，游客距离地面的高度为〃米，贝!|/2=-60COS（V，+68

C.若在A，时刻，游客距离地面的高度相等，则4+L的最小值为30

D.3/,,Z2e[0,20],使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米

【答案】BC

【解析】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128—120=8米，故A不正确；

）rI"）I7T

f分钟后，转过的角度为一r,贝i」/z=60—60cos—，+8=-60cos—r+68,B正确；

151515

42k_a。

力=-60cos—£+68周期为兀~，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，

1515

则./2«（）,30],又高度相等，则廿2关于£=15对称，则人关=15,则4+右=30：

JTJT

令0W石，4万，解得0W/W15,令万4行142万,解得15<fW30,

则力在fe[0』5]上单调递增，在3[5,20]上单调递减，当f=15时，//max=128,

当t=20时，h=-60cos^x20+68=98>90,所以〃=90在te[0,20]只有一个解；故选:BC.

3.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨

潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.

安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻

的水深.

时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3:007,512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若选用一个三角函数/（x）来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（）

A./(x)=2.5cosH+5B./(x)=2.5sinH+5

C.该货船在2：00至4：00期间可以进港D.该货船在13：00至17：00期间可以进港

【答案】BCD

【解析】依据表格中数据知，可设函数为〃x）=Asin5+Z,

27r7T

由已知数据求得A=2.5，k=5,周期T=12,所以0=—=-.

T6

所以有/(x)=2.5sin7工）+5,选项A错误；选项B正确;

看x)+526.25,得sin71

由于船进港水深至少要6.25,所以2.5sin

f.一c“,、7V.r,一冗兀5V..13九*7V177T

又0«xW24noW一则有一<—x<——或---<—x<----,

6666666

从而有或13WxW17,选项c,D都正确.故选：BCD

4.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，江面宽度d=1km,已知游船在静水中的航行速度7的大小

同=10km/h,水流的速度名的大小同=4km/h，设和1所成角为伙0＜夕〈外，若游船要从航行到

正北方向上位于北岸的码头8处，则下列说法正确的是（）

B

河流两岸示意

2

A.当。=一万，游船航行到达北岸的位置在3右侧

3

2

B.当。=一万，游船航行到达北岸的位置在3左侧

3

2

C.当cos6=—游船也能够达到3处

D.游船能到达B处时，需要航行时间为叵h

42

【答案】BCD

【解析】设船的实际速度为恐，匕和彩的夹角为。，

北岸的点8在A的正北方向，游船正好到达8处，则炉_Lg,

,A/mI%I42

|V,|105

此时游船垂直江岸方向的速度v=匕sin。=2后km/h,

...-tdV2T.

n时间r=_=-----//,

V42

所以当cos0=—2时，游船也能够达到3处，需要航行故CD正确；

542

当8=120?时，游船水平方向的速度大小为牛3（180。-。）-岭=1加/人，方向水平向左，故最终到达北岸

时游船在3点的左侧，故A错误，B正确.

故选：BCD

V

V，1\K

.v2

5.高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形ABC。为等

腰梯形，且AB//CD,BC^CD,ZABC=60,AB为圆。的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O

大小确定，OC最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆。的半径与BC长度的比值为.

【答案】V2

【解析】过点。作O£_LOC于E，交45于点R，过点。作的垂线，垂足为G，

设=OB=r.

所以BF=rcos0,OF=rsin0,

因为BC=CD,ZABC=60,所以BE=rcose=8G+FG='BC+,OC=BC,

22

所以=昱BC=叵rcos0，

22

\2

2

所以oc=7fc2+OE=卜2cos2e+rcos^+rsin^

7

，+^^sin26,

=d户+6产sinGcos。=

2

71

所以当sin28=l时，即。=一时，|0C|

4IImax

V|r

此时BF=BC=rcos0=~Tr

所以此时圆。的半径与8c长度的比值为V2

——r

2

故答案为：M

6.海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海

洋.某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）

TT

随时间X（单位：小时）的变化规律为y=0.8sin5+2（口cR）,其中0弱k-；然后，假设某货船空载

co

时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水

深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在

此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是.

①若3==,货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；

6

②若。=」，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；

6

③若。=1,货船于x=l时进入港口后，立即进行货物卸载，则x时，船底离海底的距离最大；

27r

④若0=1,货船于x=l时进入港口后，立即进行货物卸载，则x时，船底离海底的距离最大.

【答案】①④

【解析】①不卸货，则吃水恒为2米，

，船离海底为y-2=y=0.8sin&x=,

当/（x）20.4时，sin—x>—,则工<2x4苗，

解得l〈cW5,所以最多停留时间为5—1=4小时，故①正确：

②立即卸货，.•・吃水深度饱=2—0.4x,且2—0.4x20.5,

解得04x4身，

4

/、7C

此时船离海底/((x)=y-九=0.8sin—x+0.4龙,

6

A，(x)=—cos—x+0.4>0,0<x<—，

72v71564

所以力(x)在0,—上单调递增，且当尤=1时，力(1)=。8>0.4,

由一<x<6,y=0.8sin—%+2-0.5=0.8sin—x+1.5>1.5-0.8=0.7>0.4,

466

此段时间都可以停靠,

又力(1)=0.8>0.4,.•.6-1=5>4,故②错误:

③与④，y=O.8sin<yx+2(0eR),/z,=2-0.4(x-1),(1<x<^),

2%

;/(x)=0.8sinx+0.4(x-I),力'(x)=0.8cosx+0.4=0,解得了=彳,

当XW-2乃一时，力(*)>°；当'(一2乃7"一时，/

24

所以当x=—时，船底离海底的距离最大.

3

故答案为：①④

7.如图某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(3x+(p)+b.

(1)这一天的最大用电量为万度，最小用电量为一万度;

(2)这段曲线的函数解析式为.

【解析】由图知，最大用电量为50,最小用电量为30,

A+b=lQA=40

故.,所以《

-4+。=40Z?=10

又由图象可得半周期为6,/=22=工，故y=10sin(Mx+o]+40,

2x66<6)

.(]Ji

又x=8时，y=30,/.sinl—+l=-l,(p=--\-2k7r.kGZ.

故丁=心由(3+力+40”[8,14].

(jrjr\

故答案：50,30,y=10sin—x+—+40,XG[8,14].

8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下,

船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关

系表：

时刻0：003:006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00

水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5

（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y=Acos（cox+（p）+b,

（A>0,G>0力>0,一%<0<乃），画出函数图象，并求出函数解析式.

（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底

与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

参考数据：V3«1.7

【解析】（1）

*、

O65!215hi2124-x

.^-.6.5+2.5.__._2TC7i

由图象可r知A=2,/?=----------=4.5,7=12=—,co=—,

2co6

则有y=2cos(卜/+可+4.5

rr

又因为x=3时取最大值65可得夕=一,，

所以y=2cos+4.5

（2）货船需要的安全水深为4+2.2=62米，

所以当yN6.2时就可以进港.

令2cos》一5+4.5>6.2,

汨（71万L7

Lfcos—x---2—q—

<62J22

/口兀>7CTC7C-.._

得---f-2k7r<—x-----<——+2k7jkeZ,

6626

即2+12左VxV4+12左,

当％=0时，xe[2,4];当左=1时，xe[14,16],

所以，该船在2：00或14：00点可以进入港门，在港口可以停留2个小时.

题组C培优拔尖练

1.如图，正方形A8CD的长为2,。为边AO中点，射线0P绕点。按逆时针方向从射线OA旋转至射

线。£>,在旋转的过程中，记NAOP为x,射线0P扫过的正方形A8CD内部的区域（阴影部分）的面积

为/（x）,则下列说法正确的是（）

A.!B./（X）在与兀）上为减函数

C./（x）+/'（乃一x）=4D./（x）图象的对称轴是x

【答案】AC

【解析】对于A选项，当0<tanxW2时，设0P交于点E，

tanx=tanZAOE-=1^1,所以，/(X)=^|(M|-|A£|=-^tan%,

A选项正确;

对于B选项，当左时，射线0尸扫过的正方形A5C0内部的区域(阴影部分)的面积显然逐渐增

加，即函数/(%)在上单调递增，B选项错误;

12/

对于C选项，取8C的中点G,连接0G,

设射线0P与正方形的边的交点为E，作点E关于直线0G的对称点F，

则NFV9D=x，所以，ZAOF=TT-X,

将射线OF绕。点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S,由对称性可知5=./(%),

因为S+/(乃一x)=4,即/(x)+/(乃一x)=4,C选项正确;

/(x)+/(乃—x)=4,则/0+/用=4,

对于D选项，由C选项可知,

所以，/(个>4-/(£|=

所以，函数/(X)的图象不关于直线x=^对称，D选项错误.故选：AC.

2.某学校在一块圆心角为。，半径等于2km的扇形空旷地域（如图）组织学生进行野外生存训练，已知

在。，A,8处分别有50名，150名，100名学生，现要在道路。B（包括。，B两点）上设置集合地点P,

要求所有学生沿最短路径到P点集合，则所有学生行进的最短总路程为km.

【答案】150+100新

【解析】连接AP，当集合地点P在0处时，AP=OA,

所有学生行进的总路程为50x0+150x2