2022-2023学年苏教版江苏高一数学上学期同步讲义第01讲函数的概念和图象（教师版）

第5章函数概念与性质

第01讲函数的概念和图象

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课程标准重难点

1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建

立完整的函数概念；

2.体会集合语言和时应关系在刻画函数概

1函数定义域的求法

念中的作用；

3.了解构成函数的要素；2.函数的值域的求法

4.能求简单函数的定义域和值域.

册'知识精讲

一、函数的概念

一般地，设4,8是非空的—，如果对于集合A中的_____,按照某

概念种确定的对应关系方在集合B中都有—确定的数y和它对应，那么

就称/：A-B为从集合A到集合B的一个函数

对应关

系

三要素

定义域—的取值范围

值域与x对应的y的值的集合伏x)|xeA}

1次幻与尬)有何区别与联系？

2.在函数的概念中，如果函数)，=段)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？

【特别提醒】理解函数的概念应关注五点

(1)“A,8是非空的数集”，一方面强调了A,8只能是数集，即A,8中的元素只能是实数；另一方面指

出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的.

(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B

的子集.

(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,

在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足，便不能构成函数.

(4H=段)仅仅是函数符号，不是表示“y等于/与x的乘积”，也不一定就是解析式.

(5)除./U)外，有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.

二、区间

设a,bCR,且规定如下:

定义名称符号数轴表示

闭区间—1——1_.

—ab

{x\a<x<b]开区间—I___I_>

—ab

半开半闭区间-J___I_.

—ab

{x|a<xW}半开半闭区间-J___I_.

—ab

{小2〃}+0°)

[a,au_____.

{小>〃}(〃，+0°)a-1-----------

｛小＜。｝(-8,]______

aa

(-8,):_____j__

{小a<}aa

R(―0°,+°°)

三、同一个函数

1.前提条件：①定义域—；②对应关系—.

2.结论：这两个函数为同一个函数.

3.区间与集合有什么联系？

4.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？

运.、运」(：。.♦运J。＜.«莪运嗨•♦。运°.。富°意：：：冠•*.＜

帮知识参考答案

一、实数集任意一个数X唯一X

1./(X)与/⑷的区别与联系：/(a)表示当X=a时，函数/(X)的值，是一个常量，而/(x)是自变量x的函数，一

般情况下，它是一个变量，/(。)是/(x)的一个特殊值.

2.确定，——对应.

二、\a.b\(〃,6)［。⑼(〃,可

三、1.相同相同

3.区间实际上是一种特殊的数集（连续的）的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值

范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.

4.不是•函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域

也就随之确定.

能力拓展

考法01函数关系的判断

根据图形判断对应关系是否为函数的方法

（1）任取一条垂直于x轴的直线Z；

（2）在定义域内平行移动直线I；

（3）若I与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是

函数.

例

（1）（多选题）下列对应关系式中是A到8的函数的是（）

A.AUR,BUR,%2+/=1B.4={-1,0,1},B={\,2},f：x^y=\x\+\

C.A=R,B=R,f：x-—D.A=Z,8=Z,f：x^y=2x~\

x-2

【答案】BD

【解析】对于A,炉+产=i可化为y=±Jl—f,显然对任意xGA（x=±l除外），y值不唯一，故不符合函

数的定义；对于B,符合函数的定义；对于C,2CA,在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于

D,符合函数的定义.

（2）设时={疝）〈X忘2},N={.y|0Wy<2},给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关

系的有（）

①②③④

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】①错，x=2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x

=2时，对应元素y=3N,不满足任意性.④错，x=l时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.

【名师指点】判断一个对应关系是否为函数的方法

|~T两非空实数集4B|------

|函数的概念卜一I一对一或多国二］----------T作出判断|

T八中不能有剩余元素I-

【跟踪训练】（多选题）判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（）

A.4=N,8=N*,对应法则/：对集合A中的元素取绝对值与8中元素对应；

B.A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应法则6x—y=/,yeB-.

C.A={-],\,2,-2],B={1,2,4},对应法则/y&B；

D.A={三角形},B={4r>0},对应法则/：对A中元素求面积与B中元素对应.

【答案】BC

【解析】A中，对于A中的元素0,在/的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素。在8中没有元素与

之对应，所以不是函数.

B中，对于A中的元素±1,在/的作用下与8中的1对应，A中的元素±2,在/的作用下与8中的4对应，

所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数.

C中，对于A中的任一元素，在对应关系/的作用下，8中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1,±2对

应4,所以是函数.

D中，集合A不是数集，故不是函数.

考法02求函数值

求函数值的方法

（1）已知/（X）的解析式时，只需用〃替换解析式中的X即得式“）的值.

（2）已知yu）与g（x）,求y（g3））的值应遵循由里往外的原则.

已知_/(x)=」一(xCR且g(x)=x2+2(x£R).

1+x

（1）求/2）,g（2）的值；

（2）求人g（2））的值.

【解析】（1）因为凭0=」一,所以丸2）=」一=」

1+x1+23

又因为8（%）=4+2,所以g（2）=2?+2=6.

（2次以2））=<6）=，=!.

1+67

［星艮踪训练】人龙)=2^+2,g(x)=—^—,贝1142)=；g(/(2))=

x+2

g(o)+g(0)(o工-2)=

1」

【答案】10—

。+22

【解析】因为./)=*2+2,所以7(2)=2X22+2=10,

又因为g(x)=」■；；■，所以882))=8(10)=；；；1=1

x+210+212

g(a)+g(0)=—!(4户2).

。+22

考法03求定义域

求函数的定义域应关注四点

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为o；②偶次根

式的被开方数非负；③y=x0要求。0.

(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化.

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的

公共部分的集合.

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”

连接.

求下列函数的定义域：

(X+1)2n—

x+1|x|-3

【解析】(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足厂+1,°'解得xWl且xW-l,

1—x20,

即函数的定义域为{x仅W1,且X#—1}.

5-x>0,

(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足《解得xW5且xW±3,

|x|-3Ho.

即函数的定义域为{MrW5,且xW±3}.

考法04区间的应用

用区间表示数集的方法:

(1)区间左端点值小于右端点值;

(2)区间两端点之间用“，”隔开;

(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号;

(4)以“一8”，“+oo”为区间的一端时，这端必须用小括号.

将下列集合用区间以及数轴表示出来:

⑴｛小＜2｝；(2)｛4t=0或1WXW5｝；(3)｛x|x=3或4这xW8｝；

(4){x|2WxW8且xW5}；(5){x|3<x<5}.

【解析】(l){x|x<2}可以用区间表示为(一8,2)；用数轴表示如图①.

L・II-

2工015*

图①图②

(2){4r=0或1WXW5}可以用区间表示为{0}U[I,5J；用数轴表示如图②.

(3){巾=3或4WxW8}用区间表示为{3}U[4,8]；用数轴表示如图③.

348*258X

图③图④

(4){x|2WxW8且xW5}用区间表示为[2,5)0(5,8]；用数轴表示如图④.

(5){x[3<x<5}用区间表示为(3,5)；用数轴表示如图⑤.

图⑤

【跟踪训练】用区间表示下列数集：

(1){X|X>1}=;

(2){jr|2<r<4}=;

(3){Rx>-l,且;#2}=.

【答案】⑴口，+oo)(2)(2,4J(3)(-1,2)U(2,+a>)

考法05同一个函数

判断两个函数为同一函数应注意的三点

(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同

一函数.

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

(3)在化简解析式时，必须是等价变形.

园下列各组函数是同-函数的是()

A./x)=A/-2X3与g(x)=xy/-2xB.y(x)=x与g(x)=

C/x)=/与8(©=]D.於)=N—T—1与g⑺=产一2，一1

x

【答案】CD

【解析】A.Kv)=，-2/=卜|J-2x与g(x)=x[-2x的对应法则和值域不同,故不是同一函数.

B.g(x)=J7=卜|与九c)=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数.

CgOnjc0与g(x)=4都可化为y=l且定义域是{##0},故是同一函数.

D.凡r)=x2—2r—l与g⑺=1-2f-l的定义域都是R,对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同

一函数.由上可知是同一函数的是CD.

【跟踪训练】下列各组函数为同一函数的是()

x2

A.y(x)=x,g(x)=—B/x)=l,g(x)=(x-l)°

x

xx2-9

C式r)=，g(x)=

【答案】C

【解析】A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所

以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.

这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C.

考法06函数的值域

求函数值域的方法

求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类''的形式，便于求值域；

2x+l

(l)y=x+l,xG{1,2,3,4,5}；(2)y=x2~2x+3,x6[0,3)；(3)y=-----

x-3

【解析】(1)(观察法)因为xG{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.

(2)(配方法))，=炉一2X+3=(X-1)2+2,由XG[0,3),再结合函数的图象[如图(1)],可得函数的值域为[2,6).

(3)(分离常数法)y=~~3+1—二^一，+7=2+.-7,显然【•数0,所以yW2.故函数的值域为(一8,

x—3x—3x—3x—3

2)U(2,+0°).

【跟踪训练】求下列函数的值域:

5x+4I-------——

(l)y=；_]；(2)y=2—^/—x2+4x.

5r+45(r—1)+9oQ

【解析】(l)y=七7=,——=5+W，且士WO,・・・yW5,・・・函数的值域是{yb，W5}.

X1X1XAX1

⑵y=27T+4x=2-A/-(X-2)2+4,

---0(X-2)2+4<A/4=2,所以y=2-N-x2+4x的值域为[0,2].

M分层提分

题组A基础过关练

1.若函数y=〃x)的定义域是；,2则函数y="log?x)的定义域为()

A.—,2B.['^,4]&[-1,1]D.(0,4)

【答案】B

【解析】•.•函数y=/(x)的定义域为g,

2],

-«,jlog2x2,.一.仅卜4.故选：B.

2.函数/(x)=j2x+l+g的定义域为(

)

—1,0ju(0,+oo)、

B.

4°7

-1,0ju(0,+oo)1

C.D.——,4-00

27

【答案】C

【解析】函数/(x)=J2x+l+J有意义,2x+l>0解得xN」且XH0.

则必有，

X。02

函数.f(x)=12x+l+1的定义域为一;,o]u(O,+8).故选：c

工一乙)

=仁+7三的定义域是

3.函数/(%)()

A.(-2,0]B.(-2,1]

C.(F,—2)U(—2,0]D.S,—2)U(—2,1]

【答案】A

1-2A>0x<0

【解析】由题意，<，即《

x+2>0x>-2

所以一2<x40,

所以函数/（X）的定义域为（-2,0],

故选：A.

4.已知定义在R上的函数“X）满足：Vx,yeR,=且/⑴=2,则

〃0)+/(2)=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因Vx,ywR,/(x+y)=/(x>/(y),且/(1)=2,

取x=0,y=l有/⑴=/(1+0)=/(1>/(0),贝1」/(0)=1,

取x=y=l有/(2)=/(I+1)=/(I)./(I)=4,

所以/(0)+/(2)=5.故选：B

5.下列选项中，)'可表示为x的函数是()

W2

A.3-X=0B.x=yl

C.sin(arcsinx)=sinyD.Iny=x2

【答案】D

【解析】选项A,当x=3时，y=±2,故不正确;

选项B,当工=4时，y=±8,故不正确；

171

选项C,当工=一时;丁=7+2女乃等等，故不正确；

26

选项D,由lny=f,可得y=eF,为指数型函数，所以正确.

故选：D.

6.下列图形中，不可能是函数图象的是（）

【答案】D

【解析】根据函数的定义，一个自变量X对应唯一的函数值，

表现在图像上，用一条垂直于X轴的直线交函数图像，至多有一个交点.

所以D不是函数图像.故选：D

7.若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“李生函数"，那么函数/（X）=/+l,

xe｛（）』｝的"李生函数”个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】根据题意，/（x）=x2+l,定义域为｛0,1｝的"挛生函数"的定义域的情况有｛0,-1｝,｛0,-1,1｝,共2

个.故选：C.

3元一5

8.函数y=的值域为（)

5x+3

,35,

A.<jGR-B.

C..y>D.二，yeR

【答案】D

3z_34_34

-

【解析】3X-5十印一535，因为一5所以=,所以函数的值域为

5x+35x+355x+35x+3

<y故选：D

题组B能力提升练

1.（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）

A.y=-x+6B.y=-J—2X+5C.y=y/x—\D.y=------1

5x

【答案】AC

【解析】A函数的定义域和值域都是R,符合题意;

B.定义域为R,因为y=—f—2x+5=—(X+1)2+6W6,所以函数值域为(一8,6］,值域是定义域的真子

集不符合题意；

C.易得定义域为［1,+8),值域为［0,+8),定义域是值域的真子集；

D.定义域为{X|XNO},值域为{X|X¥-1},两个集合只有交集；故选：AC

2.下列各图中，是函数图像的是()

【答案】BD

【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个X只有一个y和它对应，满足条件的只有BD.故选：BD

3.已知函数/(X)的定义域为(1,+co),值域为R,贝！|()

A.函数/(f+l)的定义域为RB,函数/(V+1)—1的值域为R

C.函数7-7-的定义域和值域都是RD.函数/(/(幻)的定义域和值域都是R

Ve)

【答案】BC

【解析】对于选项A：令/+1>1可得XH0,所以函数/1+1)的定义域为{x|xwO},

故选项A不正确；

对于选项B：因为/(X)值域为R，%2+1>1，所以/(Y+l)的值域为R,可得函数的值

域为R.故选项B正确;

4.1(靖+1)Px4-1

对于选项c：令3U>1,因为，>o可得1>O恒成立，所以函数7——的定义域为R,因为幺

/\e)ex

建”+11

所以函数/-T-的值域为R，故选项C正确；

对于选项D：若函数/(7(x))的值域是R,则.“力>1,此时无法判断其定义域是否为R,故选项D不正

确，

故选：BC

4.函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821

年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其

他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集

合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A,B是两个非

空的数集，如果按某种对应法则力对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,

那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则/满足函数定义的有()

A./(x2)=|x|B.=xc./(cosx)=xD.=x

【答案】AD

【解析】对于A.令/=》2«20),/")=*4］=〃，符合函数定义；

对于B,令1=%2«20),/。)=±〃，设f=4,/(f)=±2,一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义;

1JT

对于1设才=COSX,当f=5,则X可以取包括±7等无数多的值，不符合函数定义；

对于D.令，=e*(f>o),/(r)=lnr,符合函数定义.

故选：AD

5,函数y=Jx2_2x—3的值域是.

【答案】［0,+8).

【解析】X2-2X-3>0.解得x4—l或X23,在此条件下，y^o.故答案为：［0,+8).

Y3尤2

6.函数/(》)=彳-----+—7的定义域________.

J1-2尤x+1

【答案】(-8,-l)U(T,g

x3x211—2,x>0

【解析】由=+―；可得：।八

VI-2xx+1[x+lwO

解得：x<-,且XH—l,

2

函数/(》)=,/"+2J的定义域为:(-00,-1),

\Jl-2xx+1I2)

故答案为：(一°°，-1)U(-L])

7.(1)已知y=/(x)的定义域为[0川，求函数y=/(/+1)的定义域；

(2)已知y=/(2x—1)的定义域为[0,1],求y=/(x)的定义域；

(3)已知函数y=/(x)的定义域为[0,2],求函数g(x)=2Q2的定义域.

【解析】(1)y=/(尤2+1)中的/+1的范围与3；=/(X)中的X的取值范围相同.

-0<%2+1<1.

**-x=0,

即>=/12+])的定义域为{0}.

(2)由题意知y=/(2x—l)中的xe[0,l],

'''—1<2x—1<1.

又y=/(2x-l)中2x-l的取值范围与y=/(%)中的x的取值范围相同，

y=/(x)的定义域为[-1」.

(3)•.•函数y="x)的定义域为[0,2],

由2xe[0,2],得OWxWl,

,y=f(2x)的定义域为[0,1].

又2x—1/0,即xw,，

2

・•・函数y=g(x)的定义域为[0,g)5g,l].

8.已知/(x)=-------(xWR,xw-2),g(x)=M+l(xeR).

x+2

(1)求/(2),g(2)的值；

(2)求他⑶)的值；

(3)作出f(x),g(x)的图象，并求函数的值域.

【解析】(1)/(2)=7]=!，g(2)=22+l=5：

2+24

(2)g(3)=32+l=10,f(g(3))=/(10)=—；

10+212

⑶函数/(x)的图象如图:

函数g(x)的图象如图:

观察图象得/(x)的值域为(-8,o)U(O,+8),g(x)的值域为［1,+8).

题组C培优拔尖练

1.对于定义域为D的函数y=/(X),若同时满足下列条件:①/(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区

间,,可=。，使/(x)在［a,以上的值域为句.那么把y=/(x)(xeD)称为闭函数.下列结论正确的是

A.函数y=/+l是闭函数

B.函数＞=一％3是闭函数

V*

C.函数〃力=/1是闭函数

D.A=—2时，函数旷=攵+而亍是闭函数

£.女=2时,函数.丫=%+而5是闭函数

【答案】BD

【解析】因为y=f+l在定义域R上不是单调函数，所以函数y=d+l不是闭函数，A错误;

h=—a3

a——\

y=—/在定义域上是减函数，由题意设［。,6仁，则｛。=一川，解得.

b-\

b>a

因此存在区间［T』，使＞=一%3在［-1』上的值域为［-1,1］,8正确；

V-1

/（%）=--=1——^在（-8,-1）上单调递增，在（一1,物）上单调递增，所以函数在定义域上不单调递

X+1XI1

增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；

a=k+1a+2

若y=Z:+475是闭函数，则存在区间［。,可，使函数/（X）的值域为目，即«.____，所以

b=k+>jb+2

。，b为方程x=+的两个实数根,

即方程f一（2Z+l）x+二-2=0（x2-2,x»Z）有两个不等的实根.

A>0

n

当左＜一2时，有，/(-2)>0,解得一一<k£-2；

2攵+1c'

----->-2

2

A>0

当人＞一2时，有＜,此不等式组无解.

2Z+1,

----->k

2

综上所述，Ze，*-2,因此。正确，E错误;

故选：BD

2.已知函数/(x)=xT,g(x)=&-(2Z+l)x+Z+l,其中左＞1.若对任意的％e[2,4],存在

%e[2,4],使得/a)/(w)=g(x,)g(w)成立，则实数Z的值等于.

4

【答案】-

3

【解析】由/(N)/(/)=g(xJg(X2)可得光，令秋x)=则=

而〃(加需kx2-(2Z+l)x+女+1

=kx-k-\,所以对任意的玉e［2,4］,存在毛e［2,4］,使得

X—1

他成立.因为，所以〃(%)=依一左一在［］上的值域为上一左一］又｝

kxx-k-1=1,_］A>112,41,31,j

在［2,4］上的值域为—,依题意有伏-1,3女—1仁占，故

3K—1K—1JK—1K—1

可得(攵一1)(3左一1)=1,得Z=±.

3攵一1k—13

4

故答案为：；

3

3.已知函数/(%)=1一3%在xe(5-病,〃2-1)的值域为目优〉a),则实数"?的取值范围为

【答案】(76,77］

［解析］由解析式知:f'(x)=3(x2-1),

•.(一8,-1)、(1,+8)上/'(x)>0,即f(x)单调递增；(一1,1)上/'(x)<0,即/(X)单调递减;

•.八力有极大值/(-1)=2,极小值/(1)=一2,

由题意知：。=一2,〃=2,即有:

m-l1>5厂-m2

5-w2<-l

<m-\>\,解得-76<m<y/l,

/(5-^2)>-2

/(m-D<2

故答案为：(6，/]

4.给出以下四个命题：

①若集合4={%,处，8={。,尤2},A=3，则X=1,>=0；

②若函数〃x)的定义域为(T1),则函数〃2x+l)的定义域为(—1,0):

③函数〃x)=J的单调递减区间是(7,0)U(0,”)；

④若〃，且/⑴

/(x+y)=/(x)y)=2‘瑞+瑞+-，+^5+^§=2()⑹

其中正确的命题有(写出所有正确命题的序号).

【答案】①②④

【解析】①A=B时，/工0，则XH0，,y=0，%=彳2r0，%=1,正确;

②若函数/(X)的定义域为(-1,1)，由-1<2X+1<1得—l<x<0,即/(2X+1)的定义域是(一1,0),正确;

③/(x)=L的减区间是(-8,0)和(0，+8),不能求并集，③错；

X

/U+1)

④若〃x+〉)=〃x)/(y)，且/⑴=2,则/(x+i)=/3/⑴,=/(D=2,

fM

,以犯+…+“2014)।.”2016)

=2x1008=2016,正确。.故答案为:①②④

./⑴/⑶7(2013)/(2015)

5.已知函数y(x)=jm+j匚7.

(1)求函数“X)的定义域和值域；

⑵设尸⑺、•[r(x)-2]+/(x)(a为实数)，求Rx)在"0时的最大值g(a)；

(3)对(2)中g(a),若-布+2碗+也4g(°)对a<0所有的实数。及小[-1,1]恒