专题椭圆的离心率解法大全之欧阳德创编

22或3m120.欧阳德创编22或3m120.

专题：椭圆离心率时间：

创作：欧阳德一，利用定求椭圆的离率（

e

ca

或

e

）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率

e

2，椭圆xy的离心率为1，则4m

[解析]当焦点在x轴上时，m1轴上时，m3

422，

3

；

当焦点在综上3已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

354，已知m,n,m+n成等差数列，m，n成等比数列，则椭圆

22m

1

的离心率为[解]由

2

m

，椭圆

22m

1

的离心率为225，已知

m欧阳德创编

则当

mn取得最小值时，椭

xy21与ABBF交于D,b欧阳德创编xy21与ABBF交于D,b

圆

22m2n

1

的的离心率为

6，设椭圆=1（a＞＞0）的右焦点为1右准2b线为l，若过F且垂直于轴的弦的长等于点F到111l1

的距离，则椭圆的离心率是。2二，运用几图形中线段几何意义结椭圆的定求离心率

e，在中，

，

，如果一个椭圆过A两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率

e3

2，如图所,圆中心在原点,F是左焦点,直线BDB,则椭圆的离心率为)1[解析]

)aac

2

2

e

523，以椭圆的右焦点F为圆心作圆，使该圆过椭圆的中2心并且与椭圆交于、N两点，椭圆的左焦点为F，直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是11

3变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是34,椭圆

x2y2+=1(a>b的两焦点为F、F，以ab12FF为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两12边，则椭圆的离心率e？解：∵｜FF｜=2c｜=c｜BF｜=3c1212欧阳德创编

1欧阳德创编1

cc+3c=2a∴e==3-1ax2y2变式（1）：椭圆+=1(a>b的两焦点为F、ab21F，点P在椭圆上，使△为正三角形，求椭圆离21心率？解：连接PF,则｜｜=｜OF｜=｜OP｜,∠FPF2211

2=90°图形如上图，e=3-1x2y2变式（2）椭圆+=1(a>b的两焦点为F、ab21F，AB为椭圆的顶点P是椭圆上一点，且PF21轴，PF∥AB,求椭圆离心率？2b2解：∵｜PF｜=｜FF｜=2c｜OB｜=b｜OA｜1a21｜PF｜b=aPF∴=又∵b=a2｜FF｜a21∴a2

e=

55变式(3):将上题中的条件“PF∥AB变换为“PO∥2AB(为坐标原点)”x2y2相似题：椭圆+=1(a>b>0)，A是左顶点，F是ab2右焦点，B是短轴的一个顶点，，求e?解：｜AO｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB=a2+b2a22=(a+c)=aa2-c两边同除以a

-1+5-1-5ee=e=(舍去)22变式(1):椭圆

x2y2-1+5+=1(a>b>0),A左ab2欧阳德创编

122，设椭圆2222PF9022欧阳德122，设椭圆2222PF9022

顶点，F是右焦点，是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°5-1引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。2性质：（1）（2）假设下端点为B,则ABFB四点共圆。11（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式2):椭圆(＞b的四顶点为、ab、D，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=

52

．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：abra

2

2

，但

r左、右焦点分别为FF，1如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。解：设P12法1：利用椭圆范。

12由

FP

得

x

2

2

2

，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得a22b2

a

2

(c

2e

2

2

)

。由椭圆的性质知

，得

附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类）欧阳德创编

12欧阳德创编12法2：判别式法。

由椭PF|2a|PF|FPF2

圆

定PF|42

义知，又因为可得PF|12

2

PF212

PF|22，

2

F|1

2

c

2

，

则PF1

，

2

是方程

2azb20

的两个根，则a22)e

22

2e2解法3：正弦定理设PFFF正弦定理有122|PF|FF||PF|PF|11FFsinsin又因为PFPFac，9012

则

记

0

2

4

4

4

则

2sin()2

，1

4

)所以

22

1解法5：用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6：巧用图形的几何特性

|12由

FPF点P在

FF|2c

为直径的圆上。有

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故22变式(：圆

x2y2+=1(a>b>0)的两焦点为F（-c，ab21欧阳德创编

12112121212=e1212(欧阳德创编12112121212=e1212(

0）、F(c,0)，P是以｜F｜为直径的圆与椭圆的一212个交点，且∠F=5∠PFF,求椭圆的离心率e1221分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。｜FF｜｜FP｜解：由正弦定理：=sinFPFsinFFP1212根据和比性质：

PFPF2｜FF｜｜FP｜+｜=变形得：sinFPFsinFFP+sinPFF121212｜FF｜sinFPF=｜PF｜F1P｜sinF1F2+sinPF12asin90°∠PFF=75°∠PFF=15°e=1221sin75°+sin15°=

63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可sinFPF知e=sinFFP+sinPFF1212x2y2变式(：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F（-ab21c，0）、F(c,0)，P是圆上一点，且∠FPF212=60°，求椭圆离心率e的值范围？分析：上题公式直接应用。解：设∠FF，则∠FP=120°-1221sinFPFsin60°e===sinFFP+sinPFFsinα+sin(120°-α)1212111≥∴≤e<12sin(α+30°)22变(3)：过椭圆

2y2a2b2

)的左焦点F作x

轴的垂线交椭圆于点

P

，

F

为右焦点，若

FPF12

，则椭欧阳德创编

b222221,欧阳德创编b222221,圆的离心率e的

解析：因为

b()a

，再由

FPF60

有从而得a

3a变式：若,B为椭圆点，Q为椭圆上一点，使

a0)长轴两端a221200求此椭圆离心率的最小值。{

}变式(：8、椭圆

a2

0

上一点

A关于原点的对称点为B，F为其右焦，若AFBF，设，且

4

，则椭圆的离心率的取值范围为解析：设F左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形AFBF行边形为形，

AB

，2c

,BFc

，

sin

ccos

2a

，所以c1

sin

，由

4

得2。236，如图，在平面直角坐标系

中，

A,BB为椭圆12ya2b2

的四个顶点，

F

为其右焦点，直线yTB

M欧阳德创编

A

x

,2(a)→→→→M,欧阳德创编,2(a)→→→→M,

AB2

与直线F

相交于点T，线段OT与椭圆的交点

M恰为线T

的中点，则该椭圆的离心率为.直线

1

2

的方程

xyb

，线

1

的方为xyc

，两式联立得T

的坐标acba

，所以中点M

的坐标为

ac(),

，因为点M在椭圆上，代人方程得

)

4a

则

e

ee所以x2y27，椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F（-c，ab210）、F(c,0)，满足MF·MF=0点M总在椭圆内212部，则e的值范围？分析：∵MF·MF=0∴以FF为直径作圆，M在圆1212O上，与椭圆没有交点。解：∴c<ba2=b2+c>2c2∴0<e<

22

M

如图所,图可知点的轨迹是以

F

为直径的圆，则

它

在

椭

圆

内

部,

故12c0222x2y28，椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F（-c，ab21a0）、F(c,0)，P为右准线上一点，FP的垂2c1直平分线恰过F点，求的取值范围？2分析：思路1,如图FP与FM垂直，根据向量垂直，12欧阳德创编

0→0→0→→0欧阳德创编0→0→0→→0找a、c的不等关系。

思路：根据图形中的边长之间的不等关系，求ea解法一：F（-c，0）F(c,0)P(,y)12c0M(

a-ccy,)22

M

2y既(,)则PF2c2

1

a=-(+c,y)c0MF2

2y=-(-c,2c2

)PF

a2·MF=0(+c,y)·(-12c02cc,

y02

)=0(

ac

2y23-c)+=0a2-3c2≤0∴≤e<12c23解法2：｜FF｜=｜PF｜=2c｜PF｜≥1222

ac

-c则a232c≥-c3c≥3c2≥a2则≤e<1cc3总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。9，如图，正六边形ABCDEF的顶点A为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是

31解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r则椭圆的半焦距欧阳德创编

FD

31两式相除=2(a22a+c23欧阳德创编31两式相除=2(a22a+c23

，易知Δ

为等边三角形，∴F（

,c22

，代入椭圆方程

xya2b

1

中，得：

2c4ab

1

，∴

2aa2

4

，即：

e

2

1e2

3

4e

2

3e1

2

4

，e2)e22),e4e4ee又e法二：如图，连结AE，易知

AED

，设AD2EAcEDc

，由椭圆定义，有：

EA2a(32a

，∴

2ea

x2y210，椭圆+=1(a>b>0)，过左焦点且倾斜角a2b21为的直线交椭圆与AB两点，若｜FA｜=2｜1BF｜,椭圆的离心率的值1解：设｜BF｜=m则｜AF｜BF｜=2a-122m在△AFF及△BFF中，由余弦定理得：1212：2a-c12e=练习题：，椭圆

2ya2

上有一点

，

1

是椭圆的欧阳德创编

．若以为焦点的3，已知_________.1(c欧阳德创编．若以为焦点的3，已知_________.1(c

两个焦点，若

MFMF

，求椭圆的离心率.解析:由定义

MFMF

又MFMF

，所以

MFMF

是方程

x2

的两根，由

)220

，

可得

a2

，即a

2

2(

2

2

所以

a

，所以椭圆离心率的取值范围是

[

22

,1)2，ABC中，，34椭圆经过点C，则该椭圆的离心率[解析]4k,AC,BCk,ACF,F为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,12F:PFF:FPF2:,则此椭圆的离心率为121[解析]

[三角形三边的比是

1:3:

]4，在平面直角坐标系中，椭圆

2a2

0)的焦距为2，以为圆心，a半径的圆，过的两切线互相垂直，则离心率e=．[解析]

a2

e

5，

ABC，

2,

ABC

3．若B为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率欧阳德创编

1||sinFa[解析∵在PFPFF，即，∴，∴，1(1||sinFa[解析∵在PFPFF，即，∴，∴，1(

[解析]

S

ABC

ABAC2

，

|23